การปรับเปลี่ยนอัลกอริธึมของ Dijkstra สำหรับน้ำหนักขอบที่ดึงจากช่วง

สมมติว่าฉันมีกราฟกำกับที่มีน้ำหนักขอบถูกดึงมาจากช่วง$[1,\dots, K]$โดยที่$K$คงที่ หากฉันพยายามค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดโดยใช้อัลกอริทึมของ Dijkstraฉันจะแก้ไขอัลกอริทึม / โครงสร้างข้อมูลและปรับปรุงความซับซ้อนของเวลาเป็น$O(|V|+|E|)$อย่างไร

$\{0,1,\ldots,K\}$$O(K|V|+|E|)$

$\{D,D+1,\ldots,D+K\}$$D$$D$$D+K$$d[u] + wt(u,w)$$(u,w)$$d[u]$$u$$d[u]\le D$

$A[0..K]$$K+1$$k$$A[h(k)]$$h(k)=k \bmod (K+1)$$D$

• ลบนาที : ในขณะที่ว่างเพิ่มขึ้นDแล้วลบและกลับจุดสุดยอดจาก(D)]$A[h(D)]$$D$$A[h(D)]$

• แทรกด้วยกุญแจ : เพิ่มจุดสุดยอดถังของ(k)]$k$$A[h(k)]$

• ลดคีย์ เพื่อ : ย้ายจุดสุดยอดจากเพื่อ(k)]$k$$k'$$A[h(k)]$$A[h(k')]$

แทรกและการลดลงที่สำคัญมีการดำเนินงานอย่างต่อเนื่องเวลาดังนั้นเวลาทั้งหมดที่ใช้ในการดำเนินงานเหล่านั้นจะ|) รวมเวลาที่ใช้ในการลบนาทีจะเป็นบวกค่าสุดท้ายของDค่าสุดท้ายของคือระยะทางสูงสุด (จำกัด ) จากแหล่งที่มาถึงจุดสุดยอดใด ๆ (เพราะลบนาทีที่ใช้เวลาทำซ้ำเพิ่มโดย ) ระยะทางสูงสุดคือมากที่สุดเนื่องจากแต่ละเส้นทางจะมีขอบมากที่สุดดังนั้นเวลาทั้งหมดที่ใช้โดยอัลกอริทึมคือ|)$O(|V|+|E|)$$O(|V|)$$D$$D$$i$$D$$i$$K(|V|-1)$$|V|-1$$O(K|V|+|E|)$

ฉันสมมุติว่าเป็นจำนวนเต็มและน้ำหนักขอบเป็นส่วนสำคัญ ไม่เช่นนั้นจะไม่ซื้ออะไรให้คุณเลยคุณสามารถลดน้ำหนักได้เสมอเพื่อให้ค่า min edge มีราคาและค่าสูงสุดมีค่าดังนั้นปัญหาจึงเหมือนกับปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดมาตรฐาน$K$$1$$K$

อัลกอริธึม / การร่างภาพร่าง: ใช้คิวลำดับความสำคัญในลักษณะบ้าแบบนี้เป็นอาร์เรย์ของรายการที่คีย์ค่าใช้จ่ายและใช้อัลกอริทึมของ Dijkstra มาตรฐาน เก็บตัวนับที่ติดตามต้นทุนของรายการขั้นต่ำในฮีป แก้ไขโทร dequeue หลังจากที่รายการจะถูกลบออกจากการสแกนเชิงเส้น ใช่เสียงแบบนี้บ้า แต่คงที่ให้คุณโกงและหลอกสัญชาตญาณอัลกอริทึมของคุณจากการสแกนเชิงเส้น คุณต้องสแกนจากเครื่องหมายนาทีสุดท้ายเนื่องจากอัลกอริทึมของ Disjkstra นั้นดีต่อการใช้คิวของคุณ ตามเวลาที่ร้องขอ dequeue รายการที่แทรกลงในคิวมักจะมากกว่าหรือเท่ากับขั้นต่ำก่อนหน้านี้ เส้นทางที่สั้นที่สุดที่ยาวที่สุดที่เป็นไปได้มีความยาว$K\times |V|$$K$$K\times |V|$ดังนั้นค่าสแกนที่ถูกตัดจำหน่ายของคุณคือถ้า K คงที่$K\times |V| = O(|V|)$

คุณสามารถใช้การจัดเรียงทอพอโลยีเพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาปล่อยให้แหล่งที่มามีระดับ 0 จากนั้นไปจากแต่ละแหล่งจากขอบถ้าแหล่งข้อมูลอื่นมี 0 องศาจากนั้นวางลงในคิวและทำเช่นนั้น ในกรณีนี้ (ไม่มีวงรอบในกราฟ) สามารถบรรลุ V + E ได้เหมือนที่ผ่านทุกจุดยอดและขอบหนึ่งครั้ง