จะบรรจุรูปหลายเหลี่ยมในรูปหลายเหลี่ยมอื่นได้อย่างไร

ฉันสั่งแผ่นหนังสองสามผืนซึ่งฉันต้องการสร้างลูกเล่นกลโดยเย็บขอบด้วยกัน ฉันใช้ของแข็งเพลโตโตเพื่อรูปร่างของลูกบอล

ฉันสามารถสแกนแผ่นหนังและสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่ใกล้เคียงกับรูปร่างของแผ่นหนัง (อย่างที่คุณรู้มันเป็นหนังสัตว์และมันไม่ได้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า)

ดังนั้นตอนนี้ฉันต้องการที่จะเพิ่มขนาดของลูกเล่นกล

ในตัวอย่างของฉันรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปแบบปกติ แต่ฉันกำลังมองหาวิธีแก้ปัญหาด้วยรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย

ตัวประกอบสเกลที่ใหญ่ที่สุดที่ฉันสามารถใช้กับรูปหลายเหลี่ยมของฉันคืออะไรเพื่อให้พอดีกับแผ่นด้านใน

ฉันพยายามลดขยะโดยใช้วัสดุให้ได้มากที่สุด

เห็นได้ชัดว่าการตัดตาข่ายรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมแต่ละอันจะเพิ่มพื้นที่ของชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ แต่ยังลดคุณภาพของรูปทรงเรขาคณิตสุดท้ายเนื่องจากมีการตัดเย็บที่เกี่ยวข้องมากขึ้นและมีข้อผิดพลาดสะสม แต่คำถามนี้ไม่ได้เกี่ยวกับการแจกแจงหลายวิธีในการตีแผ่รูปทรงหลายเหลี่ยม พวกเขาสามารถพิจารณาได้อย่างอิสระ รูปหลายเหลี่ยมจึงเป็นรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย

อย่างเป็นทางการ:

การป้อนข้อมูล:

• $P$ : รูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย (เป้าหมาย)
• $S$ : ชุดรูปหลายเหลี่ยมที่ฉันต้องการวาง
• $G$ : กราฟของเหลี่ยมง่าย - แต่ละโหนดแสดงให้เห็นถึงรูปหลายเหลี่ยมที่เรียบง่ายในและมีขอบขอบหนึ่งระหว่างคู่ของรูปหลายเหลี่ยมแต่ละที่ใช้ขอบทั่วไป $n$$S$
• $\alpha >= 0, \beta >= 0$ (การใช้วัสดุและการเชื่อมต่อ)

เอาท์พุท:

• ปัจจัยขนาด$f$
• $H$ , กราฟย่อยของ$G$
• : ตำแหน่งและมุมสำหรับแต่ละเหลี่ยมใน V ( G $Loc$$V(G)$
• เป็นวัดที่มีคุณภาพของการแก้ปัญหา: M = α ฉ+ β | E ( H ) $m$$m = \alpha.f + \beta. {|E(H)|\over|E(G)|}$

เพิ่มภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้:$m$

• (1)$| V(H) | = |V(G)|$
• (2)$| E(H) | <= |E(G)|$
• สำหรับรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดในS , S ฉันปรับสัดส่วนโดยปัจจัยfที่ตำแหน่งL o c ( S i )อยู่ภายในP (3)$S_i$$S$$S_i$$f$$Loc(S_i)$$P$
• รูปหลายเหลี่ยมในไม่ทับซ้อนกัน (4)$V(H)$

(V (G) คือจุดยอดในกราฟและ S คือชุดของรูปหลายเหลี่ยม แต่พวกเขาอธิบายชุดของวัตถุเดียวกันบางทีอาจมีวิธีที่กระชับกว่านี้ในการทำเช่นนี้)

คำอธิบายของเงื่อนไข:

• (1) ฉันต้องการให้รูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดอยู่ในเค้าโครงสุดท้าย
• (2) การเชื่อมต่อบางอย่างอาจใช้งานไม่ได้หากจำเป็น
• (3) (4) ลูกบอลทำจากหนัง

นี่คือรูปหลายเหลี่ยมเป้าหมาย

นี่คือชุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ฉันต้องการแพ็ค:

นี้เป็นระดับการเพิ่มประสิทธิภาพของปัญหาที่เรียกว่าบรรจุปัญหา ในกรณีของคุณแทนที่จะเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นคอนเทนเนอร์คุณมีรูปแบบไม่สม่ำเสมอ แต่ความคิดยังคงเหมือนเดิม
ปัญหาการปรับให้เหมาะสมเหล่านี้มักจะเกิดปัญหา NP-hard ดังนั้นฉันไม่คิดว่าจะมีวิธีที่ง่ายในการหาวิธีแก้ไขปัญหาที่แน่นอนและการลองชุดค่าผสมทั้งหมดจะแพงเกินไป
มีบางคนที่สนใจปัญหาประเภทนี้ ฉันพบลิงค์ของปัญหาการบรรจุเฉพาะที่แก้ไขแล้วนี้: http://www2.stetson.edu/~efriedma/packing.html

วิธีที่ง่ายที่สุดที่ฉันเห็นคือการกำหนดศูนย์กลางโดยประมาณของแผ่นหนังเพื่อย้ายชุดรูปหลายเหลี่ยมไปที่นั่นและโดยการปรับขนาดขึ้นและลงและตรวจสอบว่าชุดรูปหลายเหลี่ยมนั้นอยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมเป้าหมายหรือไม่ ยิ่งใกล้ชิดยิ่งขึ้นและมีอัตราส่วนสเกล 'f' สำหรับชุดรูปหลายเหลี่ยมที่คุณต้องการ

แต่ถ้าคุณไม่ได้ใช้ปัจจัยนี้สำหรับการผลิตลูกบอลขนาดใหญ่ที่เล่นกลการทำด้วยมืออาจจะเพียงพอ