ซุปเปอร์จักรวาลคืออะไร?

ฉันอ่านนี้กระดาษที่รู้จักกันดีในจักรวาลในประเภททฤษฎี ตอนแรกฉันคาดหวังบางอย่างที่คล้ายกันSetωใน Agda แต่ปรากฎว่ามันเป็นอะไรที่ธรรมดากว่า ดูเหมือนว่าจะพูดถึงการสร้างเอกภพจากประเภทอุปนัยแบบเรียกซ้ำ - ซ้ำไปเป็นตัวยึด (คล้ายกับและ ) คำถามหลักที่ฉันต้องการถามคือความตั้งใจเบื้องหลังคืออะไร$\Pi$$\Sigma$

นี่คือรหัส Idris บางตัวที่กำหนดจักรวาลสไตล์ Tarski ตามปกติ:

mutual

  public export data U : (level : Nat) -> Type where
    GroundU : Ground -> U level
    BinderU : Binder -> (a : U level) -> (b : (x : T {level} a) -> U level) -> U level
    UnivU   : U (S level)
    LiftU   : U level -> U (S level)

  public export T : {level : Nat} -> (code : U level) -> Type

ฉันพยายามที่จะทำให้เป็นเรื่องทั่วไป

mutual

  public export data U : (a : Type) -> (b : (x : a) -> Type) -> Type where
    GroundU : Ground -> U a ???
    ...

สิ่งที่ควร???เป็น ผู้เขียนบทความเพิ่งกล่าวว่าจักรวาลควรจะปิดภายใต้ formers ชุด

แก้ไข: ฉันคิดว่า???เป็นเพียงb...

หนึ่งความตั้งใจที่อยู่เบื้องหลังการมีตัวดำเนินการจักรวาลและซุปเปอร์ปิดจักรวาลภายใต้มันคือการให้รุ่นสัจพจน์เชิงทฤษฎีของพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่ที่รู้จักจากทฤษฎีเซต พระคาร์ดินัลไม่สามารถเข้าถึงได้เป็นเหมือนจักรวาลประเภททฤษฎี ชนิดที่น่าสนใจต่อไปของพระคาร์ดินัลเป็นพระคาร์ดินัล Mahlo พูดอย่างสังหรณ์ใจพระคาร์ดินัล Mahlo เป็นหนึ่งที่มี "มากทั้ง" ของพระคาร์ดินัลไม่สามารถเข้าถึงได้ด้านล่าง สิ่งนี้จะอยู่ในรูปแบบของทฤษฎีเชิงทฤษฎี? มันควรจะเป็นจักรวาล$U$มีจักรวาลมากมายในนั้น นี่คือสิ่งที่ Palmgren กำลังพูดถึงเมื่อเขาพิจารณาซุปเปอร์ - จักรวาล

นอกจากนี้ยังมีด้านการปฏิบัติมากขึ้นในการมีหลายจักรวาล มันมีประโยชน์ที่จะมีประเภทอุปนัยซ้ำในทฤษฎีประเภทสำหรับวัตถุประสงค์ทุกประเภท แต่พวกเขาให้เรานิยามจักรวาลใหม่ดังนั้นคำถามคือมีกี่เรื่อง ? หากต้องการรับรู้ถึงสิ่งที่ Palmgren กำลังทำอยู่แทนที่จะถ่ายภาพให้กับเอกภพในทันทีให้ลองลำดับการสร้างต่อไปนี้ใน Agda (โดยใช้การเหนี่ยวนำซ้ำ)

1. กำหนดหนึ่งจักรวาล $U_0$มี (รหัส) $\mathbb{N}$ และปิดภายใต้ $\Pi$ และ $\Sigma$. จักรวาลประเภทนี้สอดคล้องกับพระคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้

2. กำหนดผู้ประกอบการ $U$ ซึ่งใช้รูปแบบใดก็ได้ $A$ และกำหนดจักรวาลที่มี (รหัส) $A$ และถูกปิดภายใต้ $\Pi$ และ $\Sigma$. การเรียงลำดับของผู้ประกอบจักรวาลนี้จะคล้ายกับความจริง Grothendieck ของจักรวาล เราสามารถนำจักรวาลมาใช้ได้กี่ครั้งด้วยการใช้ซ้ำ ๆ$U$, เริ่มจาก $\mathbb{N}$?

3. เพื่อให้ได้จักรวาลมากยิ่งขึ้นเราอ้างว่าเป็นซุปเปอร์ - จักรวาล $V$ ซึ่งประกอบด้วยจักรวาลมากมายดังนี้:

   • $V$ มี $\mathbb{N}$และถูกปิดภายใต้ $\Pi$ และ $\Sigma$
   • ได้รับ (รหัส) ประเภท $A : V$ และครอบครัว $B : A \to V$มีจักรวาล $U$ซึ่งเป็นองค์ประกอบของ $V$มันมีครอบครัวทุกประเภท $B$และถูกปิดภายใต้ $\Pi$ และ $\Sigma$.

   มีกี่จักรวาล $V$มี? โปรดทราบว่าเราสามารถรับครอบครัวได้$B : \mathbb{N} \to V$ ดังนั้น $B(n)$ คือ $n$จักรวาลที่ -th และอื่น ๆ $V$ จะต้องมีจักรวาล $U_\omega$ซึ่งมีทั้งหมดเหล่านี้ และนี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้น!