เวลาที่ซับซ้อนของการเพิ่ม

Wikipedia แสดงความซับซ้อนของเวลาในการเพิ่มเป็นโดยที่nคือจำนวนบิต$n$$n$

นี่เป็นขอบเขตล่างที่แข็งทฤษฏีหรือไม่? หรือนี่เป็นเพียงความซับซ้อนของอัลกอริทึมที่เร็วที่สุดที่รู้จักกันในปัจจุบัน ฉันต้องการทราบว่าเนื่องจากความซับซ้อนของการเพิ่มให้ขีดการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ทั้งหมดและอัลกอริทึมทั้งหมดที่ใช้พวกเขา

มันเป็นไปไม่ได้ในทางทฤษฎีหรือไม่ที่จะได้อัลกอริธึมเพิ่มเติมที่ทำงานใน ? หรือเราผูกพันกับความซับซ้อนเชิงเส้นเพื่อเพิ่มเติม$o(n)$

หากอัลกอริทึมของคุณใช้ asymptotically น้อยกว่าเวลาแสดงว่ามันไม่มีเวลามากพอที่จะอ่านตัวเลขทั้งหมดของตัวเลขที่เพิ่มเข้ามา คุณจะจินตนาการว่าคุณกำลังจัดการกับตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มาก (เก็บไว้ในไฟล์ข้อความ 8MB) แน่นอนการเพิ่มสามารถทำได้อย่างรวดเร็วมากเมื่อเทียบกับค่าของตัวเลข มันจะทำงานในเวลาO ( log ( N ) )ถ้าNเป็นค่าของผลรวม$n$$\mathcal{O}(\log(N))$$N$

นี่ไม่ได้หมายความว่าคุณจะเร่งความเร็วของสิ่งต่าง ๆ ได้เล็กน้อย หากตัวประมวลผลของคุณจัดการ 32 บิตในแต่ละการดำเนินการคุณจะใช้เวลา แต่ที่ยังคงเป็นO(n)และไม่ได้o(n)$\frac{n}{32}$$\mathcal{O}(n)$$o(n)$

เพื่อให้การวิเคราะห์ความซับซ้อนเป็นไปได้อย่างเป็นทางการคุณต้องระบุรูปแบบการคำนวณอย่างเป็นทางการภายในอัลกอริทึมในวัตถุที่กำลังดำเนินการหรืออย่างน้อยที่สุดแบบจำลองต้นทุนซึ่งระบุว่าการดำเนินงานพื้นฐานคืออะไรและ ค่าใช้จ่ายของพวกเขา

$\Theta(1)$

$\Theta(|x|)$

ตอนนี้การดำเนินการสามารถมีค่าใช้จ่ายที่น้อยกว่านั้นได้ไหม อาจเป็นไปได้ แต่คุณจะต้องกำหนดรูปแบบการคำนวณที่สามารถเกิดขึ้นได้อย่างเป็นทางการ

$\Omega(n)$

ลองนึกภาพอัลกอริทึมของคุณเพิ่ม 1010100110 และ 0010010110 โดยไม่อ่านแต่ละบิต เพื่อให้อัลกอริทึมของคุณสามารถเพิ่มอินพุตโดยพลการฉันควรจะสามารถสุ่มเลือกบิตใดบิตหนึ่งเหล่านี้และอัลกอริทึมยังคงเอาท์พุทที่ถูกต้อง (แต่แตกต่างกัน) แต่ถ้าอัลกอริทึมของคุณไม่อ่านทุกบิตมันจะบอกได้อย่างไรว่าอินพุตอินพุทนั้นแตกต่างจากอินพุตดั้งเดิมอย่างไร