การค้นหาองค์ประกอบที่เล็กที่สุดของ k'th จากลำดับที่กำหนดไว้เฉพาะกับหน่วยความจำ O (k) เวลา O (n)

สมมติว่าเราอ่านลำดับของตัวเลข $n$ ทีละตัว วิธีค้นหาองค์ประกอบที่เล็กที่สุดของ $k$ เพียงแค่ใช้หน่วยความจำเซลล์ $O(k)$ และในเวลาเชิงเส้น ( $O(n)$ ) ผมคิดว่าเราควรบันทึกแรก $k$ แง่ของลำดับและเมื่อได้รับ $k+1$ 'ระยะ TH ลบคำซึ่งเราแน่ใจว่ามันไม่สามารถที่ $k$ ' องค์ประกอบที่เล็ก TH แล้วบันทึก $k+1$ 'ระยะ TH ดังนั้นเราควรมีตัวบ่งชี้ที่แสดงคำที่ใช้ไม่ได้ในแต่ละขั้นตอนและตัวบ่งชี้นี้ควรได้รับการอัปเดตในแต่ละขั้นตอนอย่างรวดเร็ว ฉันเริ่มต้นด้วย"สูงสุด"; แต่มันไม่สามารถอัพเดทได้อย่างรวดเร็ว หมายความว่าหากเราพิจารณาค่าสูงสุดแล้วในการลบครั้งแรกเราพลาดค่าสูงสุดและเราควรค้นหาค่าสูงสุดใน $O(k)$ และสาเหตุ $(n-k)\times O(k)$ เวลาที่ไม่เป็นเชิงเส้น บางทีเราควรบันทึกลำดับของ $k$ ลำดับแรกอย่างชาญฉลาดยิ่งขึ้น

ฉันจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร

data-structures search-algorithms quicksort

— Shahab_HK
แหล่งที่มา

คุณสนใจอัลกอริทึมออนไลน์หรืออัลกอริทึมใด ๆ จะทำอย่างไร

— Yuval Filmus

หาก

k = θ (n)

$k = \theta(n)$ คุณสามารถทำได้โดยใช้อัลกอริทึมสถิติการสั่งซื้อ ถ้า

k = o (n)

$k = o(n)$ คุณสามารถทำมันได้หน่วยความจำ

O (k)

$O(k)$ และเวลา

O (n \log k)

$O(n\log k)$ โดยใช้ต้นไม้ที่มีความสมดุลสูง

— Shreesh

มันเรียกว่าปัญหาการเลือกen.wikipedia.org/wiki/Selection_algorithm

— xavierm02

มีขั้นตอนวิธีการเชิงเส้นในสถานที่ซึ่งคุณสามารถ google แต่พวกเขาค่อนข้างซับซ้อน

— Yuval Filmus

@ xavierm02 ไม่ใช่ปัญหาการเลือกเหมือนกัน เนื่องจากมีข้อ จำกัด ของหน่วยความจำ

— Shahab_HK

คำตอบ:

สร้างบัฟเฟอร์ขนาด kอ่านในองค์ประกอบจากอาร์เรย์ ใช้ ขั้นตอนวิธีการเลือกเส้นเวลาพาร์ทิชันบัฟเฟอร์เพื่อให้องค์ประกอบที่เล็กที่สุดเป็นครั้งแรก นี้จะใช้เวลาเวลา ตอนนี้อ่านในอีกรายการจากอาร์เรย์ของคุณลงในบัฟเฟอร์เปลี่ยนรายการใหญ่ที่สุดในบัฟเฟอร์พาร์ทิชันบัฟเฟอร์เป็นมาก่อนและทำซ้ำ $2k$ $2k$ $k$ $O(k)$ $k$ $k$

นี้จะใช้เวลาเวลาและพื้นที่ $O(k * n/k) = O(n)$ $O(k)$

— jbapple
แหล่งที่มา

+1 นี่เหมาะกับ asymptotics ที่ถูกถาม ที่ถูกกล่าวว่าฉันไม่เชื่อว่ามันเร็วกว่าการทำอัลกอริทึมการเลือกเวลาเชิงเส้นเดียว ... ยกเว้นเมื่อ

เป็นค่าคงที่ขนาดเล็กแล้วมันให้มุมมองที่น่าสนใจ ตัวอย่างเช่นสำหรับ

อัลกอริทึมนี้สร้างฟังก์ชั่น

k

$k$

k = 1

$k = 1$ min

— orlp

บางครั้งอัลกอริทึมการเลือกเวลาเชิงเส้นใช้พื้นที่มากเกินไป ตัวอย่างเช่นไม่เหมาะสำหรับใช้ในบริบทการสตรีมหรือเมื่ออาร์เรย์อินพุตไม่เปลี่ยนรูป

— jbapple

นั่นคือคะแนนที่ถูกต้อง

— orlp

$O(k)$ $O(n \log k)$ $k$ $O(k)$ $O(\log k)$ $O(k + n\log k)$ $O(n \log k)$

$O(\log n)$ $O(n)$ $k$ $k$

$O(\log n)$ $O(k)$ $O(\log n)$ $2^{64}$ $\log 2^{64}= 64$ $k$ $n$

— orlp
แหล่งที่มา

O (n \times \log min (k, n - k))

$O(n \times \log\min (k, n - k))$

@ xavierm02 =(k) พิสูจน์: กรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับเป็นnกรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับเป็น2 พวกเขาเป็นคนเดียวที่อยู่ในปัจจัยคงจึง =(k)

O (m i n (k, n - k))

$O(min(k, n-k))$

O (k)

$O(k)$

k

$k$

n

$n$

m i n (k, n - k)

$min(k, n-k)$

\frac{n}{2}

$n \over 2$

O (m i n (k, n - k))

$O(min(k, n-k))$

O (k)

$O(k)$

— orlp

@ xavierm02 ที่ถูกกล่าวว่าก็ยังคงเป็น speedup ดี :)

— orlp

u_{n, k} = k

$u_{n,k}=k$ คือแต่ก็ไม่ได้NK)) สมมติว่ามันเป็น จากนั้นมีและบางส่วนเพื่อให้ทุกเรามีซึ่งเป็นเท็จอย่างชัดเจน (เพราะเราสามารถใช้ ดังนั้น(k)

O (k)

$O(k)$

O (min (k, n - k))

$O(\min (k, n-k))$

C

$C$

M

$M$

M \leq k \leq n

$M\le k\le n$

k \leq C (n - k)

$k\le C (n-k)$

n = k \to + \infty) .

$n=k \to +\infty).$

O (min (k, n - k)) ⊊ O (k)

$O(\min(k, n-k))\subsetneq O(k)$

— xavierm02

@ xavierm02 ฉันไม่คุ้นเคยกับคุณ เพื่อความเป็นธรรมผมโดยทั่วไปค่อนข้างคุ้นเคยกับหลายมิติ big-สัญกรณ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งการพิจารณาว่ามิติไม่ได้ที่ไม่เกี่ยวข้องกัน

u_{n, k}

$u_{n, k}$

O

$O$

n, k

$n, k$

— orlp