เหตุใดประเภทการเรียกซ้ำจึงเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการพิสูจน์ในระบบชนิดที่ขึ้นต่อกัน

ฉันค่อนข้างใหม่ในการพิมพ์ทฤษฎีและการเขียนโปรแกรมขึ้นอยู่กับ ฉันกำลังศึกษาแคลคูลัสของการก่อสร้าง (CoC) และระบบบริสุทธิ์อื่น ๆ ฉันสนใจเป็นพิเศษที่จะใช้มันเพื่อเป็นสื่อกลางในการเก็บรักษาหลักฐานสำหรับการแปล

ผมเข้าใจว่า(ร่วม) ประเภท recursive เป็นแทนได้ , คอมพิวเตอร์โดยใช้เป็นชนิดคอนสตรัคเท่านั้น ฉันได้อ่านแล้วว่าพวกเขาไม่สามารถใช้ในการสร้างหลักฐานโดยการเหนี่ยวนำ (ยกโทษให้ฉันฉันไม่สามารถหาที่ตอนนี้!) เช่นว่าฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าใน CoC ธรรมดา (แม้ว่าสามารถพิมพ์ได้เช่น ) $\Pi$ $0\neq 1$ $\texttt{Nat}$ $\Pi(\mathbb{N}:*).\Pi(S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}).\Pi(Z:\mathbb{N}).\mathbb{N}$

ฉันคิดว่านี่คือเหตุผลที่พวกเขาสร้างแคลคูลัสของการสร้างแบบอุปนัย (CIC) ถูกต้องหรือไม่ แต่ทำไม ฉันไม่พบเนื้อหาใด ๆ ที่อธิบายว่าทำไมการพิสูจน์ดังกล่าวจึงไม่สามารถแสดงได้โดยไม่ต้องใช้ (ร่วม -) ประเภทอุปนัยเป็นพื้นฐาน หากสิ่งนี้ไม่เป็นจริงทำไมจึงเพิ่มพวกเขาเป็นดั่งเดิมใน CIC

type-theory dependent-types coq

— paulotorrens
แหล่งที่มา

ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ แต่ฉันจะแบ่งปันสิ่งที่ฉันเข้าใจด้วยตัวอย่าง

ลองพิจารณาชนิดบูลีนใน CoC โดยใช้การเข้ารหัสมาตรฐาน: เราอาจคาดว่าจะสามารถพิสูจน์

\begin{array}{l} B = Π_{τ : * * * *} τ \to τ \to τ \\ เสื้อ เสื้อ = λ τ : * * * *, x : τ, Y : τ . x \\ ฉ ฉ = λ τ : * * * *, x : τ, Y : τ . Y \end{array}

$\begin{array}{l} \mathbb{B} = \Pi_{\tau:*} \tau \to \tau \to \tau \\ \mathsf{tt} = \lambda \tau:*,x:\tau,y:\tau.\ x \\ \mathsf{ff} = \lambda \tau:*,x:\tau,y:\tau.\ y \end{array}$

จริง ๆ แล้วสิ่งนี้ได้อย่างรวดเร็วตามหลักการกำจัด / การเหนี่ยวนำที่เรามีเช่นใน CiC

Π_{ข : B} ข = เสื้อ เสื้อ \lor ข = ฉ ฉ (* * * *)

$\Pi_{b : \mathbb{B}} b={\sf tt} \lor b = {\sf ff} \qquad(*)$

B_{ผม n d} : Π_{P : B \to * * * *} P (เสื้อ เสื้อ) \to P (ฉ ฉ) \to Π_{ข : B} P (ข)

$\mathbb{B}_{ind} : \Pi_{P:\mathbb{B}\to*} P({\sf tt}) \rightarrow P({\sf ff}) \rightarrow \Pi_{b:\mathbb{B}} P(b)$

อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถคาดหวังได้ (*) ในทุกรุ่นของ CoC! สัญชาตญาณค่าในประมาณควรจะเป็นครอบครัวของฟังก์ชัน มอบหมายให้แต่ละประเภทค่าในการตีความของ τแต่นี้ไม่ได้บังคับจะเป็นหนึ่งระหว่างค่าของฉเราสามารถมีเช่น (ไม่เป็นทางการ) $\mathbb{B}$ $\{f_\tau\}_{\tau}$ $\tau$ $\tau\to\tau\to\tau$ $f_\tau$ $\sf tt,ff$

ฉ_{ยังไม่มีข้อความ} (n) (ม.) = n + ม.

$f_{\mathbb{N}}(n)(m) = n+m$

เพื่อให้แน่ใจว่าค่าของเป็นค่าที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวเราจำเป็นต้อง จำกัด ตัวเองเป็นแบบจำลองพารามิเตอร์ อันที่จริง (ฉันคิด) ทรัพย์สินสามารถพิสูจน์ได้จากทฤษฎีบทฟรีที่เกี่ยวข้องกับ polytype B $\sf tt,ff$ $(*)$ $\mathbb{B}$

$(*)$ $(*)$ $\mathbb{B}_{ind}$

— ไค
แหล่งที่มา

(λ (N a t : *) . (. . .)) (Π (N : *) . Π (S : N \to N) . Π (Z : N) . N)

$(\lambda(Nat:*).(...)) (\Pi(\mathbb{N}:*).\Pi(S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}).\Pi(Z:\mathbb{N}).\mathbb{N})$

S

$S$

Z

$Z$

— paulotorrens

N a t

$Nat$

S, Z

$S,Z$

n

$n$

n (T) (S_{T}) (Z_{T}) = Z_{T}

$n(T)(S_T)(Z_T) = Z_T$

T

$T$

T = B

$T=\mathbb{B}$

n (B) (S) (Z) = S (Z)

$n(\mathbb{B})(S)(Z) = S(Z)$

n

$n$

λ T : * . i f T = B t h e n \dots

$\lambda T:*. {\sf if}\ T=\mathbb{B}\ {\sf then}\ \ldots$

n

$n$

Π_{T : *} T \to T

$\Pi_{T:*} T\to T$

v (T) (x) = x

$v(T)(x) = x$

T

$T$

T = N

$T=\mathbb{N}$

v (N) (x) = x + 1

$v(\mathbb{N})(x) = x+1$