อัลกอริทึมการเรียงลำดับนี้เป็นอย่างไร³ (n³) และไม่Θ (n²) เป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุด?

ฉันเพิ่งเริ่มเรียนหลักสูตรโครงสร้างข้อมูลและอัลกอริธึมและผู้ช่วยสอนของฉันให้รหัสหลอกต่อไปนี้สำหรับการเรียงลำดับอาร์เรย์ของจำนวนเต็ม:

void F3() {
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (A[i-1] > A[i]) {
            swap(i-1, i)
            i = 0
        }
    }
}

อาจไม่ชัดเจน แต่ที่นี่คือขนาดของอาร์เรย์ที่เราพยายามเรียงลำดับ$n$A

ในกรณีใด ๆ ผู้ช่วยสอนอธิบายให้ชั้นเรียนรู้ว่าอัลกอริทึมนี้อยู่ในเวลา (แย่ที่สุดฉันเชื่อ) แต่ไม่ว่าฉันจะผ่านมันไปกี่ครั้งด้วยอาเรย์เรียงกลับด้าน มันดูเหมือนว่าฉันที่มันควรจะเป็นและไม่ได้3)$\Theta(n^3)$$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$

คนที่จะสามารถอธิบายให้ฉันทำไมนี้เป็น$Θ(n^3)$และไม่$Θ(n^2)$ ?

อัลกอริทึมนี้สามารถเขียนใหม่ได้เช่นนี้

1. สแกนAจนกว่าคุณจะได้พบกับการผกผัน
2. หากคุณพบหนึ่งแลกเปลี่ยนและเริ่มต้นใหม่
3. หากไม่มีให้ยุติ

ขณะนี้มีได้มากที่สุด inversions และคุณต้องการสแกนเชิงเส้นเพื่อค้นหาแต่ละครั้งดังนั้นเวลาที่เลวร้ายที่สุดคือ3) ตัวอย่างการสอนที่สวยงามในขณะที่มันเข้าใกล้การจับคู่รูปแบบที่หลายคนยอมแพ้!$\binom{n}{2} \in \Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$

หมายเหตุ:เราต้องระวังนิดหน่อย: ผู้รุกรานบางคนปรากฏขึ้น แต่เช้า, ช้าไปแล้ว, ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกใจเลยที่ค่าใช้จ่ายจะเพิ่มขึ้นตามที่กล่าวอ้าง (สำหรับขอบเขตล่าง) นอกจากนี้คุณยังต้องสังเกตว่าสัญญาไม่เคยแนะนำใหม่ inversions การวิเคราะห์รายละเอียดเพิ่มเติมของกรณีที่มีอาร์เรย์ที่เรียงกลับกันจะให้ผลลัพธ์เหมือนกับกรณีกำลังสองของสูตรของเกาส์

ในฐานะที่เป็น @ gnasher729 ความคิดเห็น aptly มันง่ายที่จะเห็นเวลาทำงานที่เลวร้ายที่สุดคือโดยการวิเคราะห์เวลาทำงานเมื่อเรียงลำดับอินพุต (แม้ว่าการป้อนข้อมูลนี้อาจจะไม่กรณีที่เลวร้าย)$\Omega(n^3)$$[1, 2, \dots, n, 2n, 2n-1, \dots, n+1]$

ระวัง: อย่าคิดว่าอาเรย์ที่เรียงกลับกันนั้นจะต้องเป็นอินพุทที่แย่ที่สุดสำหรับอัลกอริธึมการเรียงลำดับทั้งหมด ขึ้นอยู่กับอัลกอริทึม มีอัลกอริธึมการเรียงลำดับบางอย่างที่อาร์เรย์เรียงกลับกันไม่ใช่กรณีที่เลวร้ายที่สุดและอาจใกล้เคียงกับกรณีที่ดีที่สุด

อีกทางเลือกหนึ่งในการคิดเกี่ยวกับสิ่งนี้คือสิ่งที่ค่าสูงสุดของiก่อนที่จะถูกรีเซ็ต สิ่งนี้ตามที่ปรากฏทำให้ตรงไปตรงมามากขึ้นเกี่ยวกับเหตุผลว่าลำดับการเรียงลำดับก่อนหน้าของAส่งผลกระทบต่อเวลารันไทม์ของอัลกอริทึมอย่างไร

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสังเกตว่าเมื่อiตั้งค่าสูงสุดใหม่แล้วเรียกมันว่า N อาร์เรย์[A[0], ..., A[N-1]]จะเรียงตามลำดับจากน้อยไปมาก

แล้วจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราเพิ่มองค์ประกอบA[N]ลงในส่วนผสม

คณิตศาสตร์:

ดีช่วยบอกมันเหมาะกับที่ตำแหน่งp_Nแล้วเราต้องการทำซ้ำห่วง (ซึ่งผมจะแสดง ) เพื่อย้ายไปวาง ,การทำซ้ำที่จะย้ายไปยังสถานที่และโดยทั่วไป:$p_N$$N$$\text{steps}$$N-1$$N + (N-1)$$N-2$

$$\text{steps}_N(p_N) = N + (N-1) + (N-2) + \dots + (p_N+1) = \tfrac{1}{2}(N(N+1) - p_N(p_N+1))$$

สำหรับอาร์เรย์ที่เรียงลำดับแบบสุ่มรับการแจกแจงแบบสม่ำเสมอบนสำหรับแต่ละด้วย:$p_N$$\{0, 1,\dots, N\}$$N$

$$\mathbb{E}(\text{steps}_N(p_N)) = \sum_{a=1}^{N} \mathbb{P}(p_N = a)\text{steps}_N(a) = \sum_{a=1}^{N}\tfrac{1}{N}\tfrac{1}{2}(N(N+1) - a(a+1)) = \tfrac{1}{2} ( N(N+1) - \tfrac{1}{3}(N+1)(N+2)) = \tfrac{1}{3} (N^2-1) = \Theta(N^2)$$

ยอดรวมสามารถแสดงได้โดยใช้สูตรของ Faulhaber หรือลิงก์ Wolfram Alpha ที่ด้านล่าง

สำหรับอาร์เรย์ที่เรียงกลับกันสำหรับทั้งหมดและเราได้รับ:$p_N=0$$N$

$$\text{steps}_N(p_N) = \tfrac{1}{2}N(N+1)$$

ว่าการอย่างเคร่งครัดนานกว่าค่าอื่น ๆ ของp_N$p_N$

สำหรับอาร์เรย์ที่เรียงลำดับแล้วและโดยที่คำที่มีลำดับต่ำกว่ามีความสัมพันธ์กัน$p_N = N$$\text{steps}_N(p_N) = 0$

เวลารวม:

ที่จะได้รับเวลาทั้งหมดที่เราสรุปขั้นตอนเหนือทั้งหมดที่ยังไม่มี(ถ้าเราระมัดระวังอย่างยิ่งเราจะสรุปการแลกเปลี่ยนเช่นเดียวกับการวนซ้ำและดูแลเงื่อนไขการเริ่มต้นและสิ้นสุด แต่เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าพวกเขาไม่ได้มีส่วนร่วมในความซับซ้อนในกรณีส่วนใหญ่) .$N$

และอีกครั้งโดยใช้เส้นตรงของความคาดหวังและสูตรของ Faulhaber:

$$\text{Expected Total Steps} = \mathbb{E}(\sum_{N=1}^n \text{steps}_N(p_N)) = \sum_{N=1}^n \mathbb{E}(\text{steps}_N(p_N)) = \Theta(n^3)$$

แน่นอนถ้าด้วยเหตุผลไม่ใช่ (เช่นการกระจายของอาร์เรย์ที่เรากำลังดูอยู่นั้นใกล้จะเรียงแล้ว) สิ่งนี้ไม่จำเป็นเสมอไป เป็นกรณี แต่ต้องใช้การแจกแจงที่เฉพาะเจาะจงอย่างมากในเพื่อให้ได้สิ่งนี้!$\text{steps}_N(p_N)$$\Theta(N^2)$$p_N$

การอ่านที่เกี่ยวข้อง:

• https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+a(a%2B1)+from+a%3D1+to+a%3DN
• https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula - สูตรของ Faulhaber

Disclaimer:

นี่ไม่ใช่ข้อพิสูจน์ (ดูเหมือนว่าบางคนคิดว่าฉันโพสต์มันราวกับว่ามันเป็น) นี่เป็นเพียงการทดลองขนาดเล็กที่ OP สามารถดำเนินการเพื่อแก้ไขข้อสงสัยของเขาหรือเธอเกี่ยวกับการมอบหมาย:

ไม่ว่ากี่ครั้งที่ผมผ่านมันไปกับอาร์เรย์สลับเรียงมันดูเหมือนว่าฉันที่มันควรจะเป็นและไม่3)$Θ(n^2)$$Θ(n^3)$

ด้วยรหัสง่าย ๆ ความแตกต่างระหว่างและไม่ควรมองเห็นได้ยากและในกรณีที่ใช้งานได้หลายกรณีนี่เป็นวิธีที่มีประโยชน์ในการตรวจสอบลางสังหรณ์หรือปรับความคาดหวัง$\Theta(n^2)$$\Theta(n^3)$

---

@Raphael ตอบคำถามของคุณแล้ว แต่เพียงสำหรับการเตะกระชับของโปรแกรมนี้ส่งออกไปยังใช้สคริปต์ gnuplot นี้รายงานค่าตัวแทนของและและผลิตแปลงดังต่อไปนี้ ( ครั้งแรกคือขนาดปกติและที่สองคือระดับล็อกบันทึก):$f(x) = a\cdot x^b + c\cdot x$$2.99796166833222$$2.99223727692339$

ฉันหวังว่าสิ่งนี้จะช่วย$\ddot\smile$

สมมติว่าคุณมีอาร์เรย์

array a[10] = {10,8,9,6,7,4,5,2,3,0,1}

อัลกอริทึมของคุณทำสิ่งต่อไปนี้

Scan(1) - Swap (10,8) => {8,10,9,6,7,4,5,2,3,0,1}  //keep looking at "10"
Scan(2) - Swap (10,9) => {8,9,10,6,7,4,5,2,3,0,1}
...
Scan(10) - Swap(10,1) => {8,9,6,7,4,5,2,3,0,1,10}

โดยทั่วไปแล้วมันจะเลื่อนไปยังจุดสิ้นสุดของอาเรย์ซึ่งเป็นองค์ประกอบที่สูงที่สุดและในการทำเช่นนั้นมันจะเริ่มต้นที่การสแกนแต่ละครั้งอย่างมีประสิทธิภาพขณะทำการO(n^2)เคลื่อนไหว .. สำหรับองค์ประกอบนั้นเพียงครั้งเดียว อย่างไรก็ตามมีองค์ประกอบ n องค์ประกอบดังนั้นเราจะต้องทำซ้ำในnเวลานี้ นี้ไม่ได้เป็นหลักฐานอย่างเป็นทางการ แต่มันจะช่วยให้เข้าใจในทางที่ "unformal" O(n^3)ทำไมเวลาทำงานคือ

ตรรกะดูเหมือนว่าจะเรียงลำดับองค์ประกอบในอาร์เรย์ตามลำดับจากน้อยไปมาก

สมมติว่าจำนวนที่น้อยที่สุดอยู่ที่ท้ายอาร์เรย์ (a [n]) เพื่อให้มันมาถูกที่ - ต้องใช้การดำเนินงาน (n + (n-1) + (n-2) + ... 3 + 2 + 1) = O (n2)

สำหรับองค์ประกอบเดียวในอาร์เรย์ O (n2) จำเป็นต้องมี ดังนั้นสำหรับ n eements มันคือ O (n3)