อัลกอรึทึมของ Bellman-Ford - เหตุใดจึงสามารถปรับปรุงขอบให้ล้าสมัยได้?

อัลกอริทึม Bellman ฟอร์ดเป็นตัวกำหนดเส้นทางที่สั้นที่สุดจากแหล่งเพื่อจุดอื่น ๆ ทั้งหมด ในขั้นต้นระยะห่างระหว่างและจุดอื่น ๆ ทั้งหมดถูกตั้งค่าให้∞จากนั้นคำนวณเส้นทางที่สั้นที่สุดจากถึงจุดสุดยอดแต่ละจุด สิ่งนี้ดำเนินต่อไปสำหรับ ซ้ำ คำถามของฉันคือ: $s$ $s$ $\infty$ $s$ $|V|-1$

ทำไมต้องมีซ้ำ $|V|-1$
มันจะสำคัญไหมถ้าฉันตรวจสอบขอบตามลำดับอื่น
พูดถ้าฉันตรวจสอบขอบ 1,2,3 เป็นครั้งแรก แต่จากนั้นในการทำซ้ำครั้งที่สองฉันตรวจสอบ 2,3,1

MIT Prof. Eric กล่าวว่าคำสั่งไม่สำคัญ แต่สิ่งนี้ทำให้ฉันสับสน: อัลกอริทึมจะอัปเดตโหนดบน edge ไม่ถูกต้องหรือไม่หากค่าของมันขึ้นอยู่กับ edge แต่นั้นได้รับการอัปเดตหลังจากหรือไม่ $x_2$ $x_1$ $x_1$ $x_2$

algorithms shortest-path

— user1675999
แหล่งที่มา

คุณพิจารณาการใช้งานใด การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกไม่ได้มีปัญหากับการสั่งซื้ออย่างเห็นได้ชัด; สำหรับคนอื่นมันอาจจะไม่สำคัญ

— ราฟาเอล

คำตอบ:

พิจารณาเส้นทางที่สั้นที่สุดจากไป , Tเส้นทางนี้ประกอบด้วยมากที่สุดขอบเนื่องจากการทำซ้ำจุดสุดยอดในเส้นทางที่สั้นที่สุดนั้นเป็นความคิดที่ไม่ดีเสมอ (หรืออย่างน้อยก็มีเส้นทางที่สั้นที่สุดซึ่งไม่ได้ทำจุดยอดซ้ำ) ถ้าเราไม่มีวงจรน้ำหนักเชิงลบ $s$ $t$ $s, v_1, v_2, \dots, v_k, t$ $|V|-1$

ในรอบที่หนึ่งเรารู้ว่าขอบจะผ่อนคลายดังนั้นการประมาณระยะทางสำหรับจะถูกต้องหลังจากรอบนี้ โปรดทราบว่าเราไม่ทราบว่าคืออะไร ณ จุดนี้ แต่เนื่องจากเราได้ผ่อนคลายทุกขอบเราต้องผ่อนคลายสิ่งนี้ด้วยเช่นกัน ในรอบที่สองเราผ่อนคลายในบางจุด เรายังไม่รู้ว่าหรือคืออะไร แต่เรารู้ว่าการประมาณระยะทางนั้นถูกต้อง $(s, v_1)$ $v_1$ $v_1$ $(v_1, v_2)$ $v_1$ $v_2$

ทำซ้ำสิ่งนี้หลังจากรอบเราผ่อนคลายหลังจากนั้นระยะทางประมาณสำหรับนั้นถูกต้อง เราไม่รู้ว่าคืออะไรจนกระทั่งอัลกอริทึมทั้งหมดจบลง แต่เรารู้ว่ามันจะเกิดขึ้นในบางจุด $k+1$ $(v_k, t)$ $t$ $k$

ดังนั้นการสังเกตที่สำคัญคือว่าหลังจากที่รอบที่ -th โหนดของเส้นทางที่สั้นที่สุดจะต้องมีการตั้งค่าระยะทางประมาณในการค่าที่ถูกต้อง เป็นเส้นทางที่มากที่สุดยาวขอบรอบพอเพียงเพื่อค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดนี้ ถ้า a รอบที่ยังคงมีการเปลี่ยนแปลงบางสิ่งบางอย่างแล้วสิ่งที่แปลกที่เกิดขึ้น: เส้นทางทั้งหมดควรจะ 'ตัดสิน' เป็นค่าสุดท้ายของพวกเขาแล้วดังนั้นเราต้องมีสถานการณ์ที่มีรอบน้ำหนักเชิงลบอยู่ $i$ $i$ $|V|-1$ $|V|-1$ $|V|$

— อเล็กซ์สิบบริงค์
แหล่งที่มา

ฉันมีข้อสงสัยเล็กน้อยที่นี่ฉันเชื่อว่า | v | -1 เป็นจำนวนกรณีที่เลวร้ายที่สุดของรอบหลังจากนั้นเส้นทางที่สั้นที่สุดจะถูกคำนวณจาก s ถึง t สมมติว่าเรามีจุดยอด s, v1, v2 .. vn, t ถ้า ขอบถูกเลือกตามลำดับนี้บอกว่า (s, v1), (v1, v2) .. (vn, t) จากนั้นในการวนซ้ำครั้งเดียวเราจะมีเส้นทางที่สั้นที่สุดจาก s ถึง t นี่เป็นเพียงเพื่อความเข้าใจและ คำศัพท์ที่เป็นประโยชน์เราไม่ทราบว่าคำสั่งของขอบถูกเลือกและด้วยเหตุนี้ | v | -1 rounds.Am ใช่ไหม?

— ประกาศ

@ ผู้โชคดี: ใช่คุณอาจได้รับโชคดีและพบเส้นทางที่สั้นที่สุดในรอบแรก คุณไม่รู้แน่จนกระทั่งถึงรอบสุดท้ายว่าคุณค่าที่คุณพบนั้นเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุด แต่อาจเป็นไปได้ อัลกอริทึมของ Dijkstra นั้นทำให้เกิดสิ่งนี้เกิดขึ้น: หากขอบทั้งหมดมีน้ำหนักไม่เป็นลบดังนั้นลำดับความสำคัญที่ใช้ในอัลกอริทึมของ Dijkstra 'คาดการณ์' ลำดับที่คุณควรผ่อนคลายขอบเพื่อหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในรอบแรก

— Alex สิบ Brink

ขอขอบคุณสำหรับการอัปเดตฉันได้รับมาหนึ่งในเนื้อหาที่กล่าวถึงใน <br> Slide 6: ตัวเลือกการสั่งผ่อนคลายที่ไม่ดีสามารถนำไปสู่การผ่อนคลายที่ชี้แจงมากมาย: <br> สไลด์ 8: คำสั่งผ่อนคลายขอบ <br>

— whokares

โดยไม่คำนึงถึงลำดับของขอบในแต่ละการวนซ้ำเส้นทางที่สั้นที่สุดจะถูกคำนวณใน | v | -1 การทำซ้ำใช่ไหม? ทำไมเขาถึงบอกว่าเลขชี้กำลังเขาหมายความว่าถ้าเราเลือกคำสั่งเดียวกันสำหรับการทำซ้ำทั้งหมดที่เราทำปกติรหัสการผ่อนคลายจะถูกเรียก แต่การอัปเดตฉลากสำหรับจุดสุดยอดอาจเกิดขึ้นเพียงไม่กี่ครั้งเท่านั้น เวลา

— whokares

@whokares: อัลกอริทึมแรกที่พวกเขานำเสนอ (ที่มีเวลาทำงานแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล) ไม่ได้ผ่อนคลายขอบทั้งหมดในรอบ แต่แทนที่จะพบขอบบางอย่างที่การดำเนินการผ่อนคลายจะเปลี่ยนอะไรบางอย่างและผ่อนคลายขอบนี้ หากคุณทำเช่นนี้และไม่มีวงจรน้ำหนักติดลบในที่สุดก็ไม่มีขอบที่จะช่วยคุณได้อีกแล้วหยุด อย่างไรก็ตามเนื่องจากคุณไม่มีรอบและไม่มีการสั่งซื้อที่ขอบที่จะผ่อนคลายต่อไปคุณอาจจบลงด้วยการผ่อนคลายจำนวนชี้แจง อัลกอรึทึมที่ได้รับการปรับปรุงที่พวกเขานำเสนอคือ Bellman-Ford ซึ่งมีรอบ

— Alex สิบ Brink

ที่ยาวที่สุดเส้นทางที่สามารถจะไม่รอบใด ๆ |V|ที่เป็น เราเริ่มต้นด้วยแหล่งที่มาดังนั้นเราจึงมีเส้นทางที่มีความยาว 1 ดังนั้นเราจึงต้องการ|V| - 1โหนดเพิ่มเติมเพื่อให้ได้เส้นทางที่ยาวที่สุด

คำสั่งซื้อไม่สำคัญเนื่องจากทุกคำสั่งจะรักษาค่าคงที่: หลังจากnการวนซ้ำค่าสำหรับแต่ละโหนดจะน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าใช้จ่ายของเส้นทางต้นทุนขั้นต่ำจากsไปยังโหนดที่มีค่ามากที่สุดnขอบ

หากที่จุดเริ่มต้นของการทำซ้ำค่าใช้จ่ายจะถูกต้องขึ้นอยู่กับnโหนดจากนั้นในตอนท้ายของการทำซ้ำมันถูกต้องขึ้นอยู่กับn+1โหนด การเรียงลำดับใหม่อาจทำให้บางโหนดมีต้นทุนที่ต่ำกว่าก่อนที่พวกเขาจะได้รับการปรับปรุงตามปกติ แต่ในที่สุดพวกเขาก็จะได้รับการอัปเดตต่อไป

— FGB
แหล่งที่มา

ฉันไม่รู้ว่าเป็นแค่ฉันหรือไม่สามารถจินตนาการถึงข้อเท็จจริงเหล่านี้ได้อย่างง่ายดาย สำหรับฉันฉันยังคิดว่าอาจมีบางโหนดที่ไม่ได้อัปเดตภายในการทำซ้ำ V-1

— user1675999

ไม่คุณมี | E | = | V | -1 ขอบเมื่อคุณมี | V | โหนดเชื่อมต่อโดยเส้นทางที่เรียบง่ายโดยไม่ต้องวงจร และคุณมี | V | -1 ซ้ำลบคำตอบของคุณเพราะมันผิด

— แซมส.

@sam คุณเป็นใครและคุณพูดอะไรเกี่ยวกับคำตอบบ้าง?

— fgb