ตัวอย่างของอัลกอริทึมที่ไม่มีข้อพิสูจน์ความถูกต้อง

เรามีตรรกะของ Hoare ทำไมจึงเป็นไปได้ว่าอัลกอริทึมนั้นถูกต้อง แต่ไม่มีข้อพิสูจน์ว่าถูกต้องหรือไม่? สมมติว่าอัลกอริธึมแสดงออกเป็นซีจากนั้นเราสามารถโต้แย้งทีละขั้นตอนว่ามันทำในสิ่งที่ควรทำ

ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

ให้ตัวอย่างของอัลกอริทึมที่ถูกต้อง แต่ไม่มีข้อพิสูจน์ความถูกต้อง

แก้ไข: ฉันคิดว่าพื้นหลังเล็กน้อยสามารถช่วยชี้แจงว่าฉันจะไปที่ไหน ให้ฉันพูด Scott Aaronson:

ตั้งแต่ปี 1970 มีการคาดเดาว่า P NP อาจเป็นอิสระ (นั่นคือไม่สามารถพิสูจน์ได้หรือพิสูจน์ไม่ได้) จากระบบสัจพจน์มาตรฐานสำหรับคณิตศาสตร์เช่นทฤษฎีเซตของ Zermelo-Fraenkel เพื่อความชัดเจนนี่ก็หมายความว่าอย่างใดอย่างหนึ่ง$\ne$

1. อัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหา NP-complete ไม่มีอยู่ แต่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ (อย่างน้อยไม่ได้อยู่ในระบบปกติของเรา) หรืออย่างอื่น

2. ขั้นตอนวิธีการพหุนามเวลาสำหรับปัญหา NP-สมบูรณ์ไม่อยู่ แต่ทั้งที่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าการทำงานหรือเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามันหยุดในเวลาพหุนาม

ฉันหมายถึงความเป็นไปได้ที่สอง เนื่องจาก Aaronson สามารถระบุว่าเป็นไปได้อย่างมั่นใจดังนั้นฉันจึงคิดว่าต้องมีตัวอย่างประเภท 2 ที่มีอยู่นั่นคือสาเหตุที่ฉันถามคำถามนี้ แต่ดูเหมือนว่าคำตอบที่รวดเร็วและชัดเจนไม่ได้อยู่ในมุมมอง

นี่คืออัลกอริทึมสำหรับฟังก์ชันตัวตน:

• อินพุต: $n$
• ตรวจสอบว่าสตริงไบนารี่ที่เข้ารหัสการพิสูจน์0 > 1ใน ZFC หรือไม่และถ้าเป็นเช่นนั้นเอาต์พุตn + $n$$0 > 1$$n+1$
• มิฉะนั้นเอาต์พุต$n$

คนส่วนใหญ่สงสัยว่าขั้นตอนวิธีนี้คำนวณฟังก์ชั่นตัวตน แต่เราไม่ทราบและเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ในกรอบที่ยอมรับกันทั่วไปสำหรับคณิตศาสตร์ZFC

อัลกอริทึมส่วนใหญ่ไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าถูกต้องในตรรกะของ Hoare เหตุผลหลักคือการพิสูจน์ความถูกต้องดังกล่าวมีราคาแพงมากในเดือนมกราคมปี 2017 ซึ่งอาจเป็นเพราะขนาดของคำสั่งที่หลากหลายเมื่อเทียบกับการเขียนโปรแกรม 'เพียง' มีงานจำนวนมากที่ดำเนินการอย่างต่อเนื่องเพื่อลดค่าใช้จ่ายนี้ด้วยระบบอัตโนมัติ แต่เป็นการต่อสู้ที่ยากลำบาก

อีกเหตุผลหนึ่งที่อัลกอริทึมอาจไม่มีการพิสูจน์ความถูกต้องและสิ่งหนึ่งที่เกี่ยวข้องในทางปฏิบัติมากกว่าปรากฏการณ์ที่ไม่สมบูรณ์ที่ Yuval และ Chi กล่าวถึงคือเราอาจไม่รู้ว่าข้อกำหนดนี้คืออะไร ปัญหานี้มีสองมิติ

• ลูกค้าไม่รู้ว่าต้องการอะไร นี่เป็นปัญหาที่รู้จักกันดีในวิศวกรรมซอฟต์แวร์และวิศวกรซอฟต์แวร์ได้พัฒนาวิธีการมากมายในการจัดการกับปัญหานี้

• $n$อาหารกว่าจำนวนธรรมชาติและศัตรูเป็นพหุนามเวลาน่าจะเป็นเครื่องจักรทัวริง เพื่อความรู้ที่ดีที่สุดของฉัน (โปรดแก้ไขให้ฉันถ้าฉันผิด) มีความไม่ตรงกันระหว่างทฤษฎีและการปฏิบัติและอัลกอริทึมที่เป็นรูปธรรมเช่น AES และ SHA256 นั้นไม่ได้อยู่ในขอบเขตของข้อกำหนดทางทฤษฎีเหล่านั้น ฉันไม่คิดว่ามีคุณสมบัติครบถ้วนสำหรับอัลกอริทึมดังกล่าวดังนั้นเราจึงไม่สามารถตรวจสอบได้ในหลักการในแง่ของเหตุผลเช่น Hoare logic

$P(n)$$P(0)$$P(1)$$P(2)$$\forall n\in \mathbb{N}.\ P(n)$

$M$$n$$P(n)$$M$$\forall n.\ P(n)$$M$$\forall n.\ P(n)$

ปัญหา: พิมพ์ "ใช่" หากทุกหมายเลขคู่≥ 4 คือผลรวมของสองช่วงเวลาและ "ไม่" หากมีจำนวนคู่≥ 4 ที่ไม่ใช่ผลรวมของสองช่วง

อัลกอริทึม: พิมพ์ "ใช่"

คนส่วนใหญ่คิดว่าอัลกอริทึมนั้นถูกต้อง ไม่มีข้อพิสูจน์ที่รู้จักและเป็นไปได้ค่อนข้างที่จะไม่มีข้อพิสูจน์

อัลกอริทึมใด ๆ ที่ถูกต้อง แต่เราไม่ทราบว่าต้องใช้เวลานานเท่าใดจึงจะสามารถแปลงเป็นอัลกอริทึมที่หยุดในระยะเวลารับประกัน แต่เราไม่แน่ใจว่าถูกต้องหรือไม่

$n$$n+1$$0$$\log(n)^2$$0$$\sqrt{n}$

$P=NP$