ผลงานบางส่วนของ Conor McBride, Diff , Dissect , เชื่อมโยงอนุพันธ์ของชนิดข้อมูลกับ "ชนิดของบริบทหนึ่งหลุม" ของพวกเขา นั่นคือถ้าคุณหาอนุพันธ์ของประเภทที่คุณเหลือด้วยชนิดข้อมูลซึ่งจะแสดงให้คุณเห็นว่าชนิดข้อมูลดูจากด้านใน ณ จุดใดก็ตาม

ตัวอย่างเช่นถ้าคุณมีรายการ (ใน Haskell)

data List a = [] | a : List a

สิ่งนี้สอดคล้องกับ

data List a = 1 + a * List a

และด้วยเวทมนตร์ทางคณิตศาสตร์เล็กน้อยอนุพันธ์คือ

data ListDeriv a = List a * List a

ซึ่งตีความว่าหมายความว่า ณ จุดใดในรายการจะมีรายการทางด้านซ้ายและรายการทางด้านขวา เราสามารถซิปผ่านรายการต้นฉบับโดยใช้โครงสร้างข้อมูลอนุพันธ์

ตอนนี้ฉันสนใจที่จะทำสิ่งที่คล้ายกับกราฟ การแสดงกราฟทั่วไปเป็นชุดของจุดยอดและขอบซึ่งอาจนำไปใช้อย่างไร้เดียงสากับชนิดข้อมูลเช่น:

data Gr a b i = Gr [(i,a)] [(i,i,b)]

หากฉันเข้าใจอย่างถูกต้องอนุพันธ์ของชนิดข้อมูลนี้ที่เกี่ยวกับดัชนีกราฟiควรเป็นอะไรที่คล้ายกัน

data GrDeriv a b i = d/di (Gr a b i)
     = d\di ( [a*i] * [b*i^2] )
     = (d\di [a*i]) * [b*i^2] ) + [a*i]*(d/di [b*i^2])
     = (a* [a*i] * [a*i]) * [b*i^2] ) 
       + [a*i] * (2*b*i) *[b*i^2]*[b*i^2])
     = InNodes { nodesLeft :: [(a,i)]
               , nodeLbl :: a
               , nodesRight :: [(a,i)]
               , edges :: [(b,i,i)] }
     | InEdges { nodes :: [(a,i)]
               , adjNode :: Either (b,i) (b,i)
               , edgesLeft :: [(b,i,i)]
               , edgesRight :: [(b,i,i)] }

ฉันได้สิ่งนี้ผ่านการใช้กฎผลิตภัณฑ์และกฎลูกโซ่สำหรับอนุพันธ์และถึงแม้ว่าอาจมีข้อผิดพลาดบางอย่างดูเหมือนว่าจะเป็นไปตามรูปแบบทั่วไป ในโครงสร้างนี้คุณจะมุ่งเน้นไปที่โหนด (ตัวสร้าง InNodes) หรือขอบ (ในขอบ) และให้สถานที่ที่คุณจะเห็นข้อมูลที่เกี่ยวข้อง

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งที่ฉันหวังไว้ ฉันหวังว่าจะสร้างสิ่งที่เกี่ยวข้องกับอินเทอร์เฟซของ Martin Erwigs Functional Graph Library มากขึ้น โดยเฉพาะฉันต้องการเห็นโหนดที่บริบทแสดงถึงเลเบลของโหนดและสองรายการ adjacency หนึ่งรายการสำหรับขาออกหนึ่งรายการสำหรับขาเข้า

Node a b = ([(i,b)],a,[(i,b)])

ฉันเห็นความหวังอย่างไรก็ตามเนื่องจากการเป็นตัวแทนของ adjacency มีบางคำที่เหมือนกันกับอนุพันธ์ lone lable aที่ตำแหน่งของแต่ละหลุมการแทน / การแยกของแต่ละขอบ

เนื่องจากอนุพันธ์ไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวกับต้นฉบับ แต่การรวมกันของอนุพันธ์คือ (ชนิดของ) มีอะนาล็อกการรวมกลุ่มบางประเภทที่จะให้บริการเพื่อแปลงอนุพันธ์เป็นชุดของบริบทของโหนดหรือไม่ ไม่ใช่การบูรณาการโดยตรงเพื่อกู้คืนโครงสร้างเดิม แต่คุณต้องคำนึงถึงโครงสร้างที่เทียบเท่ากับโครงสร้างดั้งเดิม

หากมีฉันหวังว่าโครงสร้างชนิดความสัมพันธ์สามารถระบุได้ด้วยภาษา "ชุดจุดยอดและขอบ" แบบง่าย ๆ และฉันสามารถหาไลบรารีที่มีประสิทธิภาพสำหรับการทำงานกับโครงสร้างนั้นได้ การดำเนินการดังกล่าวสามารถใช้ในการศึกษาโครงสร้าง "เกินกว่าทฤษฎีกราฟ": กราฟไฮเปอร์คอมเพล็กซ์อย่างง่าย ...

ดังนั้น. แนวคิดนี้เป็นไปได้หรือไม่? มีประโยชน์หรือไม่ มีการศึกษาเกี่ยวกับสิ่งประเภทนี้ที่ฉันสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับอะไร

ภาคผนวก

$G=(V,E)$

$G=(V,E)$$I$$V$$E$

$$G = I \to (V * I \to E)$$

นี่ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าสามารถแสดง (ทฤษฎีหมวดหมู่?) เป็น

$$G = (V * E^{I})^{I} \tag{1}$$

หรือ

$$G = V^I * E^{I*I}$$

$(1)$

$$G' = \ln(V * E^{I}) * (V * E^{I})^{I} * (\ln(E) * V * E^{I})$$

ฉันคิดว่ามันแสดงให้เห็นถึงคำสัญญาบางอย่าง แต่ฉันขาดความซับซ้อนที่จะไปไกลกว่านี้ ฉันรู้ว่าต้องมีผลงานออกมาสำรวจการเชื่อมต่อต่อไป

* ในกรณีที่ลิงค์แตกการอ้างอิง: Rhee, Injong และอื่น ๆ "DRAND: กระจายการกำหนดเวลา TDMA แบบสุ่มสำหรับเครือข่ายเฉพาะกิจไร้สาย" ธุรกรรม IEEE บนคอมพิวเตอร์มือถือ 8.10 (2009): 1384-1396

ประเภทของคุณGrไม่ตรงกับกราฟเพราะมีหลายกรณีที่ไม่ใช่กราฟชัดเจนเพราะดัชนีขอบไม่จำเป็นต้องเป็นดัชนีจุดยอดจริง

ตัวอย่างเช่น,

$$V = \{A, B\} \;\;\;\; E = \{(C, D, e)\}$$

ไม่ใช่กราฟ แต่ได้รับอนุญาตในประเภทของคุณเป็น

Gr [(1, A), (2, B)] [(3, 4, e)]

ค่อนข้างGrสอดคล้องกับรายการดัชนีที่มีป้ายกำกับและรายการดัชนีที่มีป้ายกำกับแยกต่างหากที่ไม่เกี่ยวข้อง นี่คือเหตุผลที่คุณได้รับอนุพันธ์ "ตามตัวอักษร" Grซึ่งไม่ตรงกับ "รู" ในกราฟ

นอกจากนี้ยังมีปัญหาโชคร้ายของการดูแลเกี่ยวกับลำดับของจุดยอด / ขอบ (มองเห็นได้ในnodesLeft/RightและedgesLeft/Rightความแตกต่าง) แต่สามารถแก้ไขได้โดยใช้Setแทนรายการ

---

นี่คือประเภทที่แสดงใน Haskell ที่ฉันคิดว่าใกล้เคียงกับกราฟ (ไม่ว่าง):

data Graph v e = Lone v | Joined v (Graph (v, ([e], [e])) e)

เพื่อความเรียบง่ายฉันจะพิจารณากราฟที่สมบูรณ์แบบเรียบง่ายและไม่มีทิศทาง

data Graph v e = Lone v | Joined v (Graph (v, e) e)

(เพื่อเป็นการผ่อนคลายอย่างสมบูรณ์ให้วางe = Boolขอบเครื่องหมายไว้)

โปรดทราบว่าGraphเป็นแบบเรียกซ้ำ (และอันที่จริงเรียกซ้ำแบบพารามิเตอร์) นี่คือสิ่งที่ช่วยให้เราสามารถ จำกัด ประเภทของเราเพียงกราฟและไม่ใช่แค่รายการ adjacency รวมกับรายการจุดสุดยอด

เขียนเพิ่มเติมเกี่ยวกับพีชคณิต

$$G(v, e) = v + v * G(v * e, e)$$

$e$$v$$G$

$$G(v) = v + v * G(v * e)$$

ด้วยการขยายตัวซ้ำ ๆ เราจะได้รับจุดคงที่

$$G(v) = v^1 e^{\binom 1 2} + v^2 e^{\binom 2 2} + v^3 e^{\binom 3 2} + v^4 e^{\binom 4 2} + \dots$$

เรื่องนี้สมเหตุสมผลเนื่องจากกราฟ (สมบูรณ์) เป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง

• หนึ่งจุดยอดและไม่มีขอบ
• สองจุดยอดและหนึ่งขอบ
• สามจุดยอดและสามขอบ
• สี่จุดยอดและสี่เลือก 2 = 6 ขอบ
• ....

เรียกประเภทของขนาดกราฟ2} จากนั้น$k$$G_k(v) = v^k e^{\binom k 2}$$G(v) = G_1(v) + G_2(v) + \dots$

ซึ่งมีอนุพันธ์

$$\frac d {dv} G(v) = \sum_{i=1} G_i'(v)$$

อนุพันธ์

$$G_k'(v) = \frac d {dv} \left[ v^k e^{\frac {k(k-1)} 2} \right] = k v^{k-1} e^{\frac {k(k-1)} 2}$$

โปรดทราบว่าดังนั้น$G_{k-1}(v) = v^{k-1} e^{\frac {(k-1)(k-2)} 2}$$G_k'(v) = G_{k-1}(v) * k * e^{k-1}$

นั่นคืออนุพันธ์ของ -node กราฟเป็นโหนดกราฟรวมกับขอบจากโหนดที่ถูกลบออกไปที่เหลือโหนดและดัชนีที่โหนดครอบครองในรายชื่อของ จุด$k$$k-1$$k-1$$k-1$$k$

data SimpleGraph v e = Lone v | Joined v (SimpleGraph (v, e) e)

data SimpleGraphHole v e = Empty
                         | InsertLater v (SimpleGraphHole (v, e) e)
                         | InsertHere (SimpleGraph (v, e) e)

แก้ไขคำสั่งซื้อในกราฟนี้

โครงสร้างข้อมูลกราฟรุ่นนี้เป็นรายการพื้นฐานที่เชื่อมโยงและดังนั้นจึงเข้ารหัสลำดับของจุดยอด ในขณะที่สามารถแก้ไขได้ในรายการ adjacency-list ของคุณโดยการใช้ Set มันไม่ได้ตรงที่นี่

ฉันคิดว่าคุณสามารถปรับเปลี่ยนต้นไม้ข้อมูลโครงสร้างที่จะทำแบบเดียวกับการเรียกซ้ำพารากับรากเล่นบทบาทที่ "หัว" SimpleGraphไม่อยู่ใน โดยอินเทอร์เฟซของชุดผลลัพธ์ที่เป็นต้นไม้โครงสร้างลำดับ / ต้นแบบจะมองไม่เห็น (หรือแม้แต่เป็นที่ยอมรับหากคุณไม่สนใจในการอัปเดตที่รวดเร็ว)

อนุพันธ์ที่คุณเสนอ

คุณเสนอประเภทตราสารอนุพันธ์; ฉันจะเปลี่ยนมันเพื่อทำให้ป้ายกำกับและดัชนีของฉันยุบตามที่ฉันได้:([(v,e)], [(v,e)])

นี้สามารถรวมเป็นซึ่งเป็น หรือเพียงแค่ ข้อมูลนี้มีข้อมูลไม่เพียงพอที่จะสร้างกราฟใหม่ทั้งหมดเนื่องจากข้อมูล "edge" ระบุเฉพาะจุดยอดเดียวเท่านั้น$\int \frac 1 {(1 - ve)^2}$$C + \frac v {1 - ve}$(v, [(v, e)])