ฉันเข้าใจว่า "โครงสร้าง" ของข้อมูลขึ้นอยู่กับพีชคณิตแบบบูลทั้งหมด แต่:

ทำไมข้อมูลจึงถูกพิจารณาว่าเป็นเอนทิตีทางคณิตศาสตร์แบบแยกส่วนแทนที่จะเป็นแบบต่อเนื่อง

เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้:

อะไรคือข้อเสียหรือค่าคงที่ที่ถูกละเมิดในการจัดโครงสร้างข้อมูลเป็นเอนทิตีต่อเนื่องในมิติ$r$ ?

ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในสาขานี้เพราะฉันเป็นนักเรียนคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีดังนั้นฉันจึงซาบซึ้งจริงๆถ้ามีคนจะอธิบายเรื่องนี้กับฉันเหมือนฉันอายุห้าขวบ

ตอบ

เหตุใดข้อมูลจึงถูกพิจารณาว่าเป็นเอนทิตีทางคณิตศาสตร์แบบแยกส่วนแทนที่จะเป็นแบบต่อเนื่อง

นี่ไม่ใช่ทางเลือก; มันเป็นไปไม่ได้ทั้งทางทฤษฎีและทางปฏิบัติที่จะเป็นตัวแทนของค่านิยมที่ต่อเนื่องเป็นรูปธรรมในคอมพิวเตอร์ดิจิตอลหรือในการคำนวณทุกประเภท

โปรดทราบว่า "ไม่ต่อเนื่อง" ไม่ได้หมายถึง "จำนวนเต็ม" หรืออะไรทำนองนั้น "ไม่ต่อเนื่อง" เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับ "ต่อเนื่อง" ซึ่งหมายความว่าหากมีคอมพิวเตอร์ที่สามารถจัดเก็บสิ่งที่ไม่ต่อเนื่องได้อย่างแท้จริงคุณจะต้องสามารถเก็บตัวเลขสองตัวaและbที่abs(a-b) < εใดก็ตามที่มีค่าεน้อย แน่นอนว่าคุณสามารถไปได้ลึกเท่าที่คุณต้องการ (โดยใช้พื้นที่เก็บข้อมูลมากขึ้น) แต่คอมพิวเตอร์ทุกเครื่อง (ทางกายภาพ) จะมีขอบเขตบนเสมอ ไม่ว่าคุณจะทำอะไรคุณไม่สามารถสร้างคอมพิวเตอร์ (ทางกายภาพ) ที่เก็บหมายเลขที่ได้รับการแก้ไขอย่างเด็ดขาด

แม้ว่าคุณจะสามารถแสดงตัวเลขด้วยการสร้างทางคณิตศาสตร์ (ตัวอย่างπ) สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย หากคุณจัดเก็บกราฟหรือสิ่งใดก็ตามที่แสดงถึงสูตรทางคณิตศาสตร์นี่คือการแยกจากกันเป็นอย่างอื่น

ภาคผนวก

ที่เหลือเป็นเพียงมุมมองเล็กน้อยนอกเหนือจากวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ตามที่แสดงความคิดเห็นหัวข้อทางกายภาพไม่ได้ถูกโต้แย้งและอย่างที่คุณเห็นฉันได้กำหนดย่อหน้าถัดไปของฉันในลักษณะที่ค่อนข้างปราศจากข้อผูกมัดว่าเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ลองคิดดูว่าแรงบันดาลใจที่แนวคิดของ "ความต่อเนื่อง" นั้นไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย คำตอบที่ให้ไว้ข้างต้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าพื้นที่ว่างหรือไม่

โปรดทราบว่าทั้งหมดนี้ไม่ใช่ปัญหาของคอมพิวเตอร์ แต่เป็นปัญหาที่มีความหมายของ "ต่อเนื่อง" ยกตัวอย่างเช่นไม่ใช่ทุกคนที่เห็นด้วยหรือเห็นด้วยในอดีตว่าจักรวาลนั้นต่อเนื่อง (เช่นสเกลพลังค์บ่งบอกว่ากาลอวกาศไม่ต่อเนื่องกันหรือไม่ ) สำหรับบางสิ่ง (เช่นสถานะพลังงานของอิเล็กตรอนและคุณสมบัติอื่น ๆ ในกลศาสตร์ควอนตัม (sic)) เรารู้ด้วยซ้ำว่าจักรวาลไม่ต่อเนื่อง สำหรับคนอื่น ๆ (เช่นตำแหน่ง ... ) คณะลูกขุนยังคงออก (อย่างน้อยเกี่ยวกับการตีความผลการวิจัย ... ) (แม้จะมีปัญหาว่าแม้ว่ามันจะเป็นแบบต่อเนื่องก็ตามเราไม่สามารถวัดได้อย่างแม่นยำตามอำเภอใจ => ไฮเซนเบิร์ก ฯลฯ )

ในทางคณิตศาสตร์การศึกษาต่อเนื่อง (เช่น reals) ที่เปิดขึ้นมากในแง่มุมที่น่าสนใจเช่นทฤษฎีการวัดซึ่งจะทำให้มันเป็นไปไม่ได้อย่างเต็มที่ในการจัดเก็บจริง "อย่างต่อเนื่อง" ชนิดของหมายเลข / ข้อมูล

$\pi$$\pi$$\mathbb{R}$

เพื่อเพิ่มคำตอบที่ยอดเยี่ยมทั้งหมดเหล่านี้มีค่าควรสังเกตว่า Alan Turing เมื่อกำหนดเครื่องของเขาระบุว่าจำนวนของสัญลักษณ์จะต้องมี จำกัด (แม้ว่าจะใหญ่มาก) เนื่องจากคอมพิวเตอร์ (ความหมาย: มนุษย์) ไม่สามารถแยกแยะได้ สัญลักษณ์ทั้งหมดเป็นอย่างอื่น

นี่คือข้อความที่ตัดตอนมาบางส่วนจากกระดาษ 2479 ของเขา "ในจำนวนที่คำนวณได้ด้วยแอปพลิเคชันเพื่อ Entscheidungsproblem":

จากนั้นในส่วนที่ 9:

ทุกอย่างในการนำไปใช้

ถ้าคุณคิดเกี่ยวกับมันคอมพิวเตอร์เป็นอุปกรณ์ต่อเนื่องจริงๆ สิ่งนี้แสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายจากความจริงที่ว่าสมการ EM ทั้งหมดควบคุมการทำงานของมันอย่างต่อเนื่อง สิ่งที่ไม่ต่อเนื่องคือแบบจำลองที่เราใช้ในการตัดสินใจว่าจะใช้อุปกรณ์คอมพิวเตอร์เหล่านี้อย่างไร เครื่องนามธรรมที่เราใช้เพื่ออธิบายการคำนวณนั้นไม่ต่อเนื่องทั้งหมด

ข้อได้เปรียบเชิงปฏิบัติที่ยิ่งใหญ่ของสิ่งนี้คือการมีความเป็นอิสระจากความท้าทายในการควบคุมคุณภาพ หากคอมพิวเตอร์ของเราใช้ประโยชน์จากธรรมชาติอย่างต่อเนื่องอย่างเต็มรูปแบบของทรานซิสเตอร์และตัวเก็บประจุพวกเขาจะต้องใส่ใจว่าเราสร้างทรานซิสเตอร์ทุกตัวได้ดีแค่ไหนในระดับที่มหาศาล เราสามารถเห็นสิ่งนี้ในโลกแห่งเสียง ในโลกของออดิโอไฟล์ที่อาศัยอยู่ก็สมเหตุสมผลที่จะใช้จ่าย$ 2,000 ในเครื่องขยายเสียงที่อาจมี 10 อย่างที่เลือกอย่างระมัดระวังและจับคู่ทรานซิสเตอร์ที่ทำสิ่งต่อเนื่องที่พวกเขาต้องการ เปรียบเทียบสิ่งนี้กับ 1,400,000,000 ทรานซิสเตอร์ใน Core i7 CPU ในราคา 400 ดอลลาร์

เนื่องจากแบบจำลองการคำนวณของเราไม่ต่อเนื่องเราจึงสามารถสร้างแบบจำลองสัญญาณทั้งหมดที่เราเห็นในคอมพิวเตอร์เป็นสัญญาณแบบไม่ต่อเนื่องบวกกับข้อผิดพลาดบางอย่างต่อเนื่อง จากนั้นเราสามารถกรองข้อผิดพลาดได้ง่ายๆโดยการสังเกตว่าพวกมันไม่ใช่รูปร่างที่เหมาะสมที่จะเป็นส่วนหนึ่งของสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่อง

ส่วนสำคัญของสิ่งนี้คือการลบคำศัพท์เวลาในแบบจำลองนามธรรมของเรา โมเดลของเราจำนวนมากไม่ได้วัดเวลาเทียบกับกระบวนการทางกายภาพ แต่เทียบกับสัญญาณ "ตรรกะ" บางอย่างที่รู้จักกันในชื่อนาฬิกา หากคุณขัดจังหวะนาฬิการะบบจะหยุดเคลื่อนไหว แต่จะไม่หยุดลง มันเพิ่งเสร็จสิ้นการกำจัดข้อผิดพลาดแบบอะนาล็อกที่อาจเกิดขึ้นและรอสัญญาณชีพจรที่ไม่ต่อเนื่องครั้งถัดไปของนาฬิกา ถอดแง่เวลาอย่างต่อเนื่องอย่างเห็นได้ชัดลดความยุ่งยากในการคำนวณและการพิสูจน์เกี่ยวกับการคำนวณ แต่แนวคิดเรื่องเวลาของเรานั้นถูกวัดแยกกันตามที่เห็นในหมวดหมู่ P และ NP ของอัลกอริทึม

เพราะ:

• คอมพิวเตอร์ดิจิทัลไม่สามารถจัดเก็บหมายเลขจริงตามอำเภอใจ

• คอมพิวเตอร์อะนาล็อกจะเกิดจากเสียงความร้อน (ถ้าอิเล็กทรอนิกส์), แรงเสียดทาน (ถ้ากลไกหรือไฮดรอลิก), รบกวน, ความไวต่อการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ, ความไม่สมบูรณ์ที่หลีกเลี่ยงไม่ได้และอายุ การจัดการกับปัญหาดังกล่าวคือสิ่งที่นักฟิสิกส์และวิศวกรทำการทดลอง วิทยาการคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่เป็นนามธรรมฟิสิกส์ออกไป

นี่คือเอกสารบางส่วนเกี่ยวกับการคำนวณจริง :

• Mark Braverman, Stephen Cook, การคำนวณเหนือ reals: รากฐานสำหรับการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ , ประกาศของ AMS, มีนาคม 2006

• Mark Braverman, ในความซับซ้อนของฟังก์ชั่นการใช้งานจริง , arXiv: cs / 0502066

• Lenore Blum การคำนวณเหนือ reals: ที่ทัวริงพบนิวตันประกาศของ AMS, ตุลาคม 2004

• Vasco Brattka แบบจำลองความสามารถในการคำนวณที่แท้จริงเกี่ยวกับจำนวนจริงเมษายน 2000

• Vasco Brattka, Peter Hertling, เครื่องเข้าถึงแบบสุ่มที่เป็นไปได้จริง , ธันวาคม 1998

• Lenore Blum, Mike Shub, Steve Smale, ในทฤษฎีของการคำนวณและความซับซ้อนเหนือจำนวนจริง: NP-ครบถ้วน, ฟังก์ชั่น recursive และเครื่องจักรสากล , Bulletin ของ AMS, กรกฎาคม 1989

และนี่เป็นบทความเกี่ยวกับการคำนวณแบบอะนาล็อก :

• Hava Siegelmann, Eduardo Sontag, การคำนวณแบบอะนาล็อกผ่านเครือข่ายประสาทเทียม , กันยายน 1994

คำว่า "คอมพิวเตอร์" ในสำนวนสมัยใหม่หมายถึง "คอมพิวเตอร์ดิจิทัล"; สาระสำคัญของคอมพิวเตอร์ดิจิตอลก็คือมันมีสถานะไม่ต่อเนื่องจำนวน จำกัด อาจมีการถกเถียงที่น่าสนใจเกี่ยวกับเหตุผลที่คอมพิวเตอร์ดิจิตอลได้รับความนิยมมากกว่าคอมพิวเตอร์แบบอะนาล็อกส่วนใหญ่เกี่ยวกับความเป็นจริงทางวิศวกรรมหรือส่วนใหญ่เกิดจากการสนับสนุนที่ดีกว่าจากวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี แต่ไม่ว่าจะด้วยเหตุผลใดก็ตามคอมพิวเตอร์ดิจิทัลคือสิ่งที่เราได้ลงเอยด้วยและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ที่มีประโยชน์ของคอมพิวเตอร์ดิจิตอล (และดังนั้นข้อมูลของมัน) ก็จะไม่ต่อเนื่องมากกว่าที่จะเป็นแบบต่อเนื่อง

คำdataนี้มาจากคำภาษาละตินdatumซึ่งหมายถึงบางสิ่งที่ได้รับ เมื่อเวลาผ่านไปรูปแบบพหูพจน์มีการเปลี่ยนแปลงการใช้งานและตอนนี้ใช้กันทั่วไปเป็นทั้งเอกพจน์และพหูพจน์ นอกจากนี้ยังมีการเชื่อมโยงกับข้อมูลโดยเฉพาะ

โปรดทราบว่ามีความแตกต่างระหว่างรายการข้อมูล (ตัวเลข) และการเป็นตัวแทนของ

ทฤษฎีข้อมูลเกี่ยวกับ (เหนือสิ่งอื่นใด) ชิ้นส่วนของข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่องที่แสดงโดยตัวแปร เหล่านี้เป็นหน่วยงานที่นับได้ ตัวอย่างเช่นความเร็วตำแหน่งมวลและอื่น ๆ เป็นปริมาณต่อเนื่องทั้งหมด แต่ไม่ต่อเนื่องกัน: ไม่มีการเปลี่ยนแปลงระหว่างมวลและตำแหน่ง เมื่อปริมาณเหล่านี้แสดงเป็นตัวเลขรายการข้อมูลของพวกเขา แต่จะถูกแสดงก็ไม่ต่อเนื่องกัน

ในทางกลับกันคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ในปัจจุบันของเราใช้ประจุไฟฟ้าบางรูปแบบเพื่อแสดงข้อมูล ค่าใช้จ่ายเป็นปัจจุบันหรือไม่; มีกระแสอยู่ในวงจรหรือไม่มี นี่คือการแยก แต่ก็ไม่จำเป็นต้องเป็น! มันเป็นเพราะวิธีการที่เทคโนโลยีของเราพัฒนาขึ้นมาซึ่งเราใช้การแทนแบบไบนารี่ เป็นไปได้ว่าการพัฒนาใน Quantum Computing จะเปลี่ยนสิ่งนี้ในอนาคตอันใกล้ นอกจากนี้ยังเป็นไปไม่ได้ที่คอมพิวเตอร์อะนาล็อกจะกลับมามีชีวิตอีกครั้งและความคิดของเราว่าตัวเลขจะต้องถูกแสดงด้วยเลขฐานสองจะถูกล้างออก!

เพื่อสรุป: dataประกอบด้วยรายการข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งแต่ละรายการเป็นข้อมูล; ในขณะที่แต่ละตัวเลขไม่จำเป็นต้องแสดงโดยใช้คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง แต่ในปัจจุบันมีความบังเอิญร่วมสมัยอย่างหมดจด

ฉันต้องการท้าทายหลักฐานพื้นฐานของคุณ:

ทำไมข้อมูลจึงถูกพิจารณาว่าเป็นเอนทิตีทางคณิตศาสตร์แบบแยกส่วนแทนที่จะเป็นแบบต่อเนื่อง

มันไม่ใช่

ตัวอย่างเช่นการศึกษาอัลกอริทึมเป็นสาขาย่อยที่สำคัญของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และมีอัลกอริทึมมากมายที่ทำงานกับข้อมูลอย่างต่อเนื่อง คุณอาจคุ้นเคยกับอัลกอริทึมของ Euclid ในการคำนวณตัวหารสามัญที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลขธรรมชาติสองตัว แต่คุณรู้หรือไม่ว่า Euclid ยังมีรุ่นเชิงเรขาคณิตของอัลกอริทึมเดียวกันซึ่งคำนวณการวัดร่วมที่ยาวที่สุดของสองบรรทัด นี่คือตัวอย่างของอัลกอริทึม (และเป็นวัตถุของการศึกษาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์) เหนือจำนวนจริงเช่นข้อมูลต่อเนื่องแม้ว่า Euclid จะไม่คิดเช่นนั้น

มีหลายวิธีในการจำแนกอัลกอริทึม แต่วิธีหนึ่งที่ใช้คือการจำแนกพวกมันด้วย "ความต่อเนื่อง":

• อัลกอริธึมแบบดิจิตอล (อัลกอริธึมแบบแยกเหตุการณ์เหนือข้อมูลดิจิตอล):
  • ตัวแปรที่เป็นตัวเลขของอัลกอริทึมของ Euclid
  • การหารระยะยาวการคูณและอื่น ๆ ตามที่สอนในโรงเรียน
  • โปรแกรมคอมพิวเตอร์, โปรแกรม calcul-แคลคูลัส, ทัวริง
• ข้อมูลที่ไม่ใช่ดิจิตอลอัลกอริธึมที่ไม่ต่อเนื่องเหตุการณ์ (อัลกอริทึมเหนือข้อมูลต่อเนื่องซึ่งอย่างไรก็ตามยังมีความคิดของ "ขั้นตอน" คือข้อมูลต่อเนื่อง แต่เวลาไม่ต่อเนื่อง):
  • ตัวแปรเชิงเรขาคณิตของอัลกอริทึมของ Euclid
  • อัลกอริธึมเกี่ยวกับจำนวนจริง (เช่นขั้นตอนการกำจัดของเกาส์)
  • อัลกอริธึมในฟังก์ชั่นต่อเนื่อง (เช่นอัลกอริธึม bisection)
• Analog Algorithms (เวลาต่อเนื่อง, ข้อมูลต่อเนื่อง):
  • วงจรไฟฟ้า
  • ลูกข่างกล
• ไฮบริดอัลกอริทึม (ชุดใด ๆ ข้างต้น)
  • หุ่นยนต์

คำตอบอื่น ๆ ได้กล่าวถึงการคำนวณจริงในทฤษฎีการคำนวณซึ่งเป็นอีกสาขาย่อยที่สำคัญของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

$r$

ข้อเสียเปรียบที่แท้จริงเพียงอย่างเดียวคือการที่ข้อมูลดังกล่าวไม่สามารถแสดงด้วยคอมพิวเตอร์ดิจิทัลทั่วไป คุณสามารถคิดเกี่ยวกับอัลกอริทึมผ่านข้อมูลต่อเนื่อง แต่คุณไม่สามารถเรียกใช้บนเครื่องมาตรฐานที่เรามักจะใช้เพื่อเรียกใช้อัลกอริทึม

นั่นเป็นเหตุผลหลักที่ข้อมูลต่อเนื่องไม่ได้เป็น "มองเห็น" เป็นข้อมูลดิจิตอล

อย่างไรก็ตามการใช้อัลกอริทึมแบบอะนาล็อกไม่จำเป็นต้องซับซ้อนในการจินตนาการหรือแม้กระทั่งการสร้าง ตัวอย่างเช่นนี่เป็นการใช้อัลกอริทึมแบบอะนาล็อก: โดยAndrew Dressel  - งานของตัวเอง, CC BY-SA 3.0 , ลิงก์

$r$$q$$r$$q×r$ q × $π$$q×π$

หากต้องการใช้วิธีที่เป็นนามธรรมมากขึ้นการคำนวณใด ๆ ที่เป็นไปได้ที่จะให้ผลลัพธ์ในที่สุดไม่ว่าจะบนคอมพิวเตอร์หรือในหัวของคุณจะสามารถจัดการกับข้อมูลจำนวน จำกัด เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าข้อมูลสามารถถูกแสดงด้วยสตริงของสัญลักษณ์ สตริงนี้อาจเป็นตัวเลขของตัวเลข ("42") หรือข้อความของโปรแกรมที่สร้างข้อมูล ("4 * atan (1)" สำหรับ ) สตริงจะต้องมีจำนวน จำกัด หรือทุกอย่างไม่สามารถอ่านได้เพื่อเรียกใช้โปรแกรม$\pi$

ตอนนี้ชุดของข้อมูล จำกัด ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสามารถจัดเรียงตามคำศัพท์ได้ซึ่งหมายความว่าชุดจะนับได้ แต่ชุดของจำนวนจริงต่อเนื่องนั้นนับไม่ได้ดังนั้นจึงมีตัวเลขอยู่เสมอในความต่อเนื่องที่ไม่สามารถจัดเก็บได้โดยระบบการคำนวณที่กำหนด จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าการจัดเก็บของจำนวนจริงโดยพลต้องการทรัพยากรที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ข้อมูลไม่ได้ถูกพิจารณาว่าไม่ต่อเนื่อง การเขียนโปรแกรมทางวิทยาศาสตร์มักเกี่ยวข้องกับการคำนวณเลขทศนิยม ผู้เขียนโปรแกรมมักจะแสร้งว่าตัวแปรที่เกี่ยวข้องนั้นมีความต่อเนื่องในขณะที่คำนึงถึงปัญหาของความเสถียรเชิงตัวเลขซึ่งเกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าข้อมูลถูกเก็บไว้ที่ความแม่นยำแน่นอนเท่านั้น

• เพื่อให้คอมพิวเตอร์ทำงานกับข้อมูลข้อมูลจะต้องมีอยู่ในหน่วยความจำที่สามารถเข้าถึงได้ของคอมพิวเตอร์
• หน่วยความจำที่สามารถเข้าถึงได้ของคอมพิวเตอร์มีขอบเขต จำกัด
• มีข้อมูล จำกัด อยู่ในหน่วยความจำที่เข้าถึงได้ของคอมพิวเตอร์เท่านั้น
• ค่าที่ไม่ต่อเนื่องไม่มีที่สิ้นสุด

ข้อมูลในวิทยาการคอมพิวเตอร์ถือว่าไม่ต่อเนื่อง