ทำไมเครื่องจักรทัวริงที่มีขอบเขตเชิงเส้นจึงมีประสิทธิภาพมากกว่า Finite State Automata

ฉันอยู่ภายใต้ความประทับใจที่ว่าคอมพิวเตอร์ของเราซึ่งมีขอบเขต จำกัด ในท้ายที่สุดก็ไม่ได้มีประสิทธิภาพมากกว่า (ขนาดใหญ่เป็นพิเศษ) เครื่องจักรสถานะ จำกัด อย่างไรก็ตามเครื่องจักรทัวริงที่ถูก จำกัด ขอบเขตเชิงเส้นก็มี จำกัด เช่นกัน แต่ดูเหมือนว่าภาษาปกติเป็นส่วนย่อยที่ไม่เหมาะสมของภาษาตามบริบท

เห็นได้ชัดว่าฉันขาดอะไรบางอย่างที่นี่ เกิดอะไรขึ้น?

finite-automata computation-models linear-bounded-automata

— เบ็นที่ 1
แหล่งที่มา

คำตอบ:

เครื่องทัวริงที่มีขอบเขต จำกัด ถูก จำกัด อยู่ที่เทปที่ความยาวเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของความยาวของอินพุต

หากขีดจำกัดความยาวเป็นค่าคงที่เครื่องจะไม่มีประสิทธิภาพมากกว่า DFA อย่างไรก็ตาม DFA ไม่สามารถขยายสถานะได้มากขึ้นเพื่อรับมือกับอินพุตที่ยาวขึ้นซึ่งในกรณีนี้ LBTM สามารถทำได้

— RICI
แหล่งที่มา

o (\log \log n)

$o(\log \log n)$

@ skankhunt42 ทำไมเป็นแบบนั้น?

— Ben I.

k \log \log n

$k \log \log n$

2^{k \log \log n} = 2^{\log (\log^{k} n)} = \log^{k} n

$2^{k \log \log n} = 2^{\log (\log^k n)} = \log^k n$

o (n)

$o(n)$

O (1)

$\mathcal O(1)$

c \in N

$c \in \mathbb N$

c

$c$

⋃_{0 \leq i \leq c} {0, 1}^{i}

$\bigcup_{0 \leq i \leq c} \{ 0, 1 \}^i$

@ Charbeanbean มันต้องมีการพิสูจน์โดยใช้ลำดับข้าม คุณสามารถมองมันได้ที่นี่cs.stackexchange.com/questions/7372/...

— skankhunt42

2^{k \log \log n}

$2^{k \log \log n}$

n 2^{k \log \log n}

$n 2^{k \log \log n}$

ฉันคิดว่าเราต้องเข้าใจคำอธิบายของเครื่องและขนาดอินพุตก่อนเพื่อให้การเปรียบเทียบเป็นวัตถุที่ถูกต้อง สมมุติว่าNเป็นขนาดอินพุต ซึ่งหมายความว่าเครื่องจะมีขอบเขตทรัพยากรเหล่านี้

\begin{array}{lll} Resource & Finite Automata: A & LBTM: M \\ Input Tape Size & O (N) & O (N) \\ Tape Operations & Read Only & Read, Write \\ Tape Movement & Left to right, One pass only & Both directions, No pass limit \\ # of Locations (States) & M & M \\ Input Alphabet & Σ & Σ \\ Acceptance Condition & Reach finite location: ℓ_{f} & Reach finite location: ℓ_{f} \end{array}

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline \mbox{Resource} & \mbox{Finite Automata:}\quad \mathcal{A} & \mbox{LBTM:} \quad \mathcal{M}\\ \hline \mbox{Input Tape Size} & O(N) & O(N)\\ \mbox{Tape Operations} & \mbox{Read Only}& \mbox{Read, Write}\\ \mbox{Tape Movement} & \mbox{Left to right, One pass only}& \mbox{Both directions, No pass limit}\\ \mbox{# of Locations (States)} & M & M\\ \mbox{Input Alphabet} & \Sigma & \Sigma\\ \mbox{Acceptance Condition} & \mbox{Reach finite location: }\ell_f & \mbox{Reach finite location: }\ell_f\\ \hline \end{array}$

$\mathcal{M}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}$

\begin{array}{lll} Resource & Finite Automata: A^{'} & LBTM: M \\ Input Tape Size & O (N) & O (N) \\ Tape Operations & Read Only & Read, Write \\ Tape Movement & Left to right, One pass only & Both directions, No pass limit \\ # of Locations (States) & M \times 2^{N} & M \\ Input Alphabet & Σ & Σ \\ Acceptance Condition & Reach finite location: ℓ_{f}^{'} & Reach finite location: ℓ_{f} \end{array}

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline \mbox{Resource} & \mbox{Finite Automata:}\quad \mathcal{A'} & \mbox{LBTM:} \quad \mathcal{M}\\ \hline \mbox{Input Tape Size} & O(N) & O(N)\\ \mbox{Tape Operations} & \mbox{Read Only}& \mbox{Read, Write}\\ \mbox{Tape Movement} & \mbox{Left to right, One pass only}& \mbox{Both directions, No pass limit}\\ \mbox{# of Locations (States)} & M \times 2^N & M\\ \mbox{Input Alphabet} & \Sigma & \Sigma\\ \mbox{Acceptance Condition} & \mbox{Reach finite location: }\ell'_f & \mbox{Reach finite location: }\ell_f\\ \hline \end{array}$

$\mathcal{A}'$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{A}'$ $N$ $\mathcal{A}$ $N$ $\mathcal{M}$ $\mathcal{M}$

— Devendra Bhave
แหล่งที่มา