ความซับซ้อนของอัลกอริทึมเป็นแบบจำลองสำหรับภาษาที่ใช้งานได้อย่างไร

ความซับซ้อนของอัลกอริทึมได้รับการออกแบบให้ไม่ขึ้นกับรายละเอียดในระดับที่ต่ำกว่า แต่ขึ้นอยู่กับโมเดลที่จำเป็นเช่นการเข้าถึงอาร์เรย์และการแก้ไขโหนดในทรีใช้เวลา O (1) นี่ไม่ใช่กรณีในภาษาที่ใช้งานได้จริง รายการ Haskell ใช้เวลาเชิงเส้นในการเข้าถึง การแก้ไขโหนดในทรีเกี่ยวข้องกับการสร้างสำเนาใหม่ของทรี

ควรมีแบบจำลองทางเลือกของความซับซ้อนของอัลกอริทึมสำหรับภาษาที่ใช้งานได้หรือไม่?

หากคุณคิดว่า -calculus เป็นรูปแบบที่ดีของภาษาโปรแกรมที่ใช้งานได้คุณอาจคิดว่า: -calculus มีความคิดเรียบง่ายเกี่ยวกับเวลา - ความซับซ้อน: เพียงนับจำนวนของขั้นตอนการหักล้างx]$\lambda$$\lambda$$\beta$$(\lambda x.M)N \rightarrow M[N/x]$

แต่นี่เป็นการวัดความซับซ้อนที่ดีหรือไม่?

เพื่อตอบคำถามนี้เราควรอธิบายให้ชัดเจนว่าเราหมายถึงอะไรโดยการวัดความซับซ้อนตั้งแต่แรก หนึ่งคำตอบที่ดีนั้นได้รับจากวิทยานิพนธ์ของSlot และ van Emde Boas : การวัดที่ซับซ้อนใด ๆ ควรมีความสัมพันธ์พหุนามกับความเชื่อตามเวลาที่กำหนดโดยใช้เครื่องจักรทัวริง กล่าวอีกนัยหนึ่งควรมีการเข้ารหัส 'สมเหตุสมผล'จากข้อกำหนดของ -calculus ไปยังเครื่องจักรทัวริงเช่นสำหรับพหุนามบางกรณีในแต่ละเทอมขนาด:ลดลงเป็นค่าใน -reduction ขั้นตอนที่แน่นอนเมื่อลดลงเป็นค่าใน$tr(.)$$\lambda$$p$$M$$|M|$$M$$p(|M|)$ $\beta$$tr(M)$$p(|tr(M)|)$ขั้นตอนของเครื่องทัวริง

เป็นเวลานานมันก็ไม่ชัดเจนว่าสิ่งนี้สามารถทำได้ใน calcul-แคลคูลัส ปัญหาหลักมีดังนี้

• มีคำศัพท์ที่ใช้สร้างแบบฟอร์มปกติ (ในจำนวนพหุนามของขั้นตอน) ที่มีขนาดเอ็กซ์โพเนนเชียล แม้แต่การเขียนแบบฟอร์มปกติก็ต้องใช้เวลาชี้แจง
• กลยุทธ์การลดที่เลือกมีบทบาทสำคัญ ตัวอย่างเช่นมีตระกูลของเทอมที่ลดจำนวนพหุนามของ steps-steps แบบขนาน (ในแง่ของการลด optimal ที่ดีที่สุด ) แต่ความซับซ้อนนั้นไม่ได้อยู่ในระดับประถมศึกษา

กระดาษ " การลดเบต้าเป็นค่าคงที่แน่นอน " โดย B. Accattoli และ U. Dal Lago ให้ความกระจ่างแก่ปัญหาโดยแสดงการเข้ารหัส 'สมเหตุสมผล' ที่รักษาระดับความซับซ้อนPของฟังก์ชันเวลาพหุนามโดยสมมติว่าการลดการโทรโดยชื่อซ้ายสุด . ความเข้าใจที่สำคัญคือการระเบิดแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสามารถเกิดขึ้นได้สำหรับเหตุผล 'ไม่น่าสนใจ' ซึ่งสามารถเอาชนะได้โดยการแบ่งปันที่เหมาะสม กล่าวอีกนัยหนึ่งคลาสPเหมือนกันไม่ว่าคุณจะกำหนดให้นับขั้นตอนของเครื่องจักรทัวริงหรือ (ซ้ายสุด - ด้านนอกสุด) -reduction$\beta$

ฉันไม่แน่ใจว่าสถานการณ์เป็นอย่างไรสำหรับกลยุทธ์การประเมินอื่น ๆ ฉันไม่ทราบว่ามีการใช้โปรแกรมที่คล้ายกันเพื่อความซับซ้อนของพื้นที่

ความซับซ้อนของอัลกอริทึมถูกออกแบบมาให้เป็นอิสระจากรายละเอียดในระดับต่ำ

ไม่ไม่ได้จริงๆ เรามักจะนับการทำงานเบื้องต้นในเครื่องบางรุ่น:

• ขั้นตอนสำหรับทัวริงเครื่อง
• การใช้งานเบื้องต้นบนแรม

คุณอาจนึกถึง / / -business ทั้งหมด ในขณะที่มันเป็นความจริงที่คุณสามารถสรุปรายละเอียดการปรับใช้บางส่วนได้ด้วย Asymptotics ของ Landau แต่คุณจะไม่กำจัดผลกระทบของโมเดลเครื่อง อัลกอริทึมมีเวลาในการทำงานที่แตกต่างกันมากพูดTMs และแรม- แม้ว่าคุณจะพิจารณาเฉพาะ -classes!$\Omega$$\Theta$$O$$\Theta$

ดังนั้นคำถามของคุณมีคำตอบง่ายๆ: แก้ไขโมเดลเครื่องและนับว่า "การทำงาน" ที่จะนับ นี่จะเป็นการวัดให้คุณ หากคุณต้องการผลลัพธ์ที่เปรียบเทียบได้กับอัลกอริธึมที่ไม่สามารถใช้งานได้คุณจะได้รับการรวบรวมโปรแกรมของคุณเป็น RAM (สำหรับการวิเคราะห์อัลกอริทึม) หรือ TM (สำหรับทฤษฎีความซับซ้อน) และวิเคราะห์ผลลัพธ์ ทฤษฎีบทการถ่ายโอนอาจมีอยู่เพื่อทำให้กระบวนการนี้ง่ายขึ้น

แทนการกำหนดตัวชี้วัดความซับซ้อนของคุณในแง่ของบางเครื่องนามธรรมพื้นฐานคุณสามารถอบต้นทุนเข้าสู่นิยามภาษาของตัวเอง - นี้จะเรียกว่าเป็นDynamics ต้นทุน สิ่งหนึ่งแนบค่าใช้จ่ายกับกฎการประเมินผลทุกภาษาในลักษณะองค์ประกอบ - นั่นคือต้นทุนของการดำเนินการเป็นหน้าที่ของต้นทุนของการแสดงออกย่อย วิธีนี้เป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติที่สุดสำหรับภาษาที่ใช้งานได้ แต่อาจใช้กับภาษาการเขียนโปรแกรมใด ๆ ก็ได้ (แน่นอนว่าภาษาการเขียนโปรแกรมส่วนใหญ่ไม่ได้กำหนดไว้อย่างดี)