การวิเคราะห์แบบ Asymptotic สำหรับตัวแปรสองตัว?

การวิเคราะห์เชิงเส้นกำกับ (big o, little o, theta ใหญ่, theta ใหญ่ ฯลฯ ) ถูกกำหนดไว้อย่างไรสำหรับฟังก์ชั่นที่มีตัวแปรหลายตัว?

ฉันรู้ว่าบทความ Wikipedia มีหัวข้ออยู่ แต่ใช้สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์จำนวนมากซึ่งฉันไม่คุ้นเคย ฉันยังพบกระดาษต่อไปนี้: http://people.cis.ksu.edu/~rhowell/asymptotic.pdfอย่างไรก็ตามกระดาษนี้มีความยาวมากและให้การวิเคราะห์ที่สมบูรณ์ของการวิเคราะห์เชิง asymptotic แทนที่จะให้คำจำกัดความ การใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์บ่อยครั้งทำให้ยากที่จะเข้าใจ

ใครสามารถให้คำจำกัดความของการวิเคราะห์เชิงเส้นกำกับโดยไม่มีเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน?

สัญลักษณ์เชิงเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปรถูกกำหนดแบบอะนาล็อกกับตัวแปรตัวเดียว ในกรณีที่ตัวแปรเดียวเราบอกว่าและถ้าหากมีอยู่คงC , Nเช่นว่าทุกn > Nเรามี ฉ( n ) ≤ C กรัม( n ) . ในคำอื่น ๆf ( n )มีขอบเขตบนโดยบางส่วนของg ( n $f(n) \in O(g(n))$$C,N$$n > N$$f(n) \leq Cg(n)$$f(n)$$g(n)$สำหรับทุกมีขนาดใหญ่กว่าบางคนคงยังไม่มี$n$$N$

ในกรณีหลายตัวแปรนิยามเกือบจะเหมือนกันยกเว้นคุณมีตัวแปรอีกสองสามข้อที่ต้องกังวล สมมุติว่าเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เราต้องการผูกfจากด้านบนโดยฟังก์ชันอื่นของตัวแปรสองตัว ดังนั้นเราจึงบอกว่าF ( n , ม. ) ∈ O ( กรัม( n , ม. ) )และถ้าหากมีอยู่คงC , Nเช่นว่าทุกn > Nและม> Nเรามี$f(n,m)$$f$$f(n,m) \in O(g(n,m))$$C,N$$n>N$$m>N$ ) นิยามเกือบจะเหมือนกันทุกประการยกเว้นตอนนี้ตัวแปรทั้งหมดของเราต้องมากกว่าค่าคงที่ N ที่แน่นอน$f(n,m) \leq Cg(n,m)$$N$

บทความวิกิพีเดียใช้หมายถึงเวกเตอร์ในR dซึ่งหมายความว่าfและgเป็นฟังก์ชันหลายตัวแปรของตัวแปรd (เช่นf , g : R d → R ) บอกว่าx ฉัน > Nทั้งหมดของฉันหมายความว่าส่วนประกอบของแต่ละ→ xจะต้องมากกว่าN$\overrightarrow{x}$$\mathbb{R}^d$$f$$g$$d$$f,g:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$$x_i > N$$i$$\overrightarrow{x}$$N$