มีประเภทที่ไม่สำคัญซึ่งเท่ากับอนุพันธ์ของตัวเอง?

บทความที่เรียกว่าThe Derivative of a Regular Type คือประเภทของ One-Hole Contextsแสดงให้เห็นว่า "ซิป" ของประเภท - บริบทของรูเดียว - เป็นไปตามกฎความแตกต่างในพีชคณิตประเภท

เรามี:

\begin{aligned} \partial_{x} x & \mapsto 1 \\ \partial_{x} 0 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} 1 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} (S + T) & \mapsto \partial_{x} S + \partial_{x} T \\ \partial_{x} (S \times T) & \mapsto \partial_{x} S \times T + S \times \partial_{x} T \end{aligned}

$\begin{align} \partial_x x &\mapsto 1 \\ \partial_x 0 &\mapsto 0 \\ \partial_x 1 &\mapsto 0 \\ \partial_x (S + T) &\mapsto \partial_x S + \partial_x T \\ \partial_x (S\times T) &\mapsto \partial_xS \times T + S \times \partial_x T \end{align}$

เราสามารถใช้แบบจำลองนี้เพื่อให้ได้ว่าอนุพันธ์ของหน่วยเป็นโมฆะว่าอนุพันธ์ของ list เป็นผลคูณของสองรายการ (คำนำหน้าคูณคำต่อท้าย) และอื่น ๆ

คำถามตามธรรมชาติที่ต้องถามคือ "อนุพันธ์ของมันคืออะไร" แน่นอนว่าเรามี $\partial_x 0 \mapsto 0$ ซึ่งบอกเราว่าโมฆะ (ประเภทไม่มีคนอาศัยอยู่) เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง แต่นั่นไม่น่าสนใจมาก มันคือความจริงที่ว่าอนุพันธ์ของศูนย์เป็นศูนย์ในแคลคูลัสขนาดเล็กสามัญ

มีวิธีแก้ปัญหาอื่นสำหรับสมการ $\partial_x T \mapsto T$ หรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะมีอะนาล็อกของ $\partial_x e^x = e^x$ ในประเภทพีชคณิต? ทำไมหรือทำไมไม่?

type-theory algebra

— Matthew Piziak
แหล่งที่มา

มีอยู่ในทฤษฎีสปีชีส์ของ combinatorial และมันตรงกับสปีชีส์ของเซต (จำกัด ) แต่มันไม่ตรงกับชนิดข้อมูลพีชคณิต

— Derek Elkins ออกจาก SE

คุณหมายถึงอะไรโดย "เท่ากับ" ในโลกของคุณ

และ

เท่ากันหรือไม่ วิธีการเกี่ยวกับ

และ

(S + T) \to U

$(S + T) \to U$

(S \to U) \times (T \to U)

$(S \to U) \times (T \to U)$

N

$\mathbb{N}$

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

— Andrej Bauer

@AndrejBauer อดีตใช่หลังไม่มี

เท่ากับผลิตภัณฑ์ซ้ำ

ในใจของฉัน ที่กล่าวว่าฉันไม่มีรูปแบบความเท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดในใจของฉันและหากคุณมีแบบจำลองคุณสามารถชี้ให้ฉันได้ที่ฉันยินดีที่จะอ่าน

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

1 + N + N \times N + N \times N \times N + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} N^{n}

$1 + \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{N}^{n}$

— Matthew Piziak

@DerekElkins ตามที่เกิดขึ้นบทความอื่นโดยแม็คไบรด์ที่เรียกว่าตัวตลกทางด้านซ้ายของฉัน Jokers ทางด้านขวาชี้ให้เห็นว่า "สำหรับโครงสร้างที่ จำกัด โดยตรงค้นหาองค์ประกอบทั้งหมดจากซ้ายไปขวา .... ดังนั้นจึงมีการเชื่อมต่อที่สำคัญกับความคิดของสายพันธุ์ combinatorial " ดังนั้นฉันจะไม่แปลกใจถ้าสปีชีส์ของ combinatorial มีบทบาทที่น่าสนใจในบริบทของคำถามนี้เช่นกัน

— Matthew Piziak

@MatthewPiziak พวกเขาทำแน่นอน Brent Yorgey ได้พูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้ไม่น้อย ดูวิทยานิพนธ์ของเขาด้วย

— Derek Elkins ออกจาก SE

คำตอบ:

พิจารณามัลติเซตที่ จำกัดXองค์ประกอบของมันจะถูกกำหนดโดย quotiented โดยพีชคณิตเพื่อให้สำหรับการใด ๆ nบริบทแบบหนึ่งหลุมสำหรับองค์ประกอบในสิ่งนั้นคืออะไร ทีนี้เราต้องมีเพื่อเลือกตำแหน่งของหลุมดังนั้นเราจึงเหลือที่เหลือ $\mathbf{Bag}\:X$ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ $\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_{\pi 1},\ldots,x_{\pi n}\}$ $\pi\in\mathbf{S}_n$ $n>0$ องค์ประกอบ แต่เราไม่มีใครรู้ว่ามันอยู่ที่ไหน (นั่นแตกต่างจากรายการที่เลือกตำแหน่งสำหรับการตัดหลุมหนึ่งรายการเป็นสองส่วนและการตัดอนุพันธ์ครั้งที่สองเลือกหนึ่งในส่วนเหล่านั้นและตัดมันเพิ่มเติมเช่น "จุด" และ "เครื่องหมาย" ในตัวแก้ไข แต่ฉันพูดนอกเรื่อง ) บริบทหนึ่งรูใน $n-1$ จึงเป็น $\mathbf{Bag}\:X$ และทุกๆ $\mathbf{Bag}\:X$ สามารถเกิดขึ้นได้เช่นนี้ การคิดเชิงพื้นที่อนุพันธ์ของ $\mathbf{Bag}\:X$ ควรเป็นตัวของมันเอง $\mathbf{Bag}\:X$

ตอนนี้

B a g X = \sum_{n \in N} X^{n} / S_{n}

$\mathbf{Bag}\:X = \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}X^n/\mathbf{S}_n$

ตัวเลือกของ tuple size พร้อมองค์ประกอบtuple ของถึงกลุ่มเรียงลำดับที่เปลี่ยนแปลงได้ให้เราว่าการขยายตัวของอำนาจแบบของ x $n$ $n$ $n!$ $e^x$

อย่างไร้เดียงสาเราสามารถจำแนกลักษณะของภาชนะบรรจุโดยชุดรูปร่างและตระกูลขึ้นอยู่กับรูปร่างของตำแหน่ง : $S$ $P$ เพื่อให้ภาชนะที่ได้รับจากการเลือกรูปร่างและแผนที่จากตำแหน่งไปยังองค์ประกอบ ด้วยกระเป๋าและสิ่งที่คล้ายกัน

\sum_{s : S} X^{(P s)}

$\sum\limits_{s:S}X^{(P\,s)}$

"รูปร่าง" ของกระเป๋าคือบาง ; ว่า "ตำแหน่ง" เป็นชุด จำกัด ของขนาดแต่แผนที่จากตำแหน่งถึงองค์ประกอบที่จะต้องคงอยู่ภายใต้การพีชคณิตจาก nไม่ควรมีวิธีการเข้าถึงกระเป๋าที่ "ตรวจจับ" การจัดเรียงองค์ประกอบ $n\in\mathbb{N}$ $\{1,\ldots,n\}$ $n$ $\mathbf{S}_n$

East Midlands Container Consortium เขียนเกี่ยวกับโครงสร้างดังกล่าวในการสร้างโปรแกรม Polymorphic ด้วย Quotient Typesสำหรับวิชาคณิตศาสตร์ของการก่อสร้างโครงการ 2004 คอนเทนเนอร์ที่มีความฉลาดทางขยายขยายการวิเคราะห์โครงสร้างตามปกติด้วย "รูปร่าง" และ "ตำแหน่ง" โดยอนุญาตให้กลุ่มออโตมอร์ ทำให้เราจะต้องพิจารณาโครงสร้างดังกล่าวเป็นคู่เรียงลำดับมีอนุพันธ์Xไม่มีการเรียงลำดับ -tuple ถูกกำหนดโดยและอนุพันธ์ของมัน (เมื่อคือ unordered $X^2/2$ $X$ $n$ $X^n/n!$ $n>0$ $n-1$ tuple) กระเป๋าถือผลรวมของสิ่งเหล่านี้ เราสามารถเล่นเกมที่คล้ายกันกับcyclic tuples, , โดยการเลือกตำแหน่งสำหรับการตอกตะปูหมุนไปที่หนึ่งจุดโดยทิ้ง , หนึ่ง tuple ที่เล็กกว่าโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง $n$ $X^n/n$ $X^{n-1}$

"การแบ่งประเภท" นั้นยากที่จะเข้าใจโดยทั่วไป แต่การหารด้วยการเรียงสับเปลี่ยน (เช่นในสายพันธุ์ combinatorial) นั้นสมเหตุสมผลและสนุกกับการเล่น (การใช้สิทธิ: กำหนดหลักการเหนี่ยวนำโครงสร้างคู่เรียงลำดับของตัวเลขและใช้ในการดำเนินการบวกและการคูณเพื่อให้พวกเขาสับเปลี่ยนกำลังโดยการก่อสร้าง.) $\mathbb{N}^2/2$

การจำแนกลักษณะของ "รูปร่างและตำแหน่ง" ของภาชนะบรรจุทำให้เกิดความไม่แน่นอน ชนิด Combinatorial มีแนวโน้มที่จะจัดตามขนาดมากกว่ารูปร่างซึ่งจำนวนการรวบรวมคำศัพท์และคำนวณสัมประสิทธิ์สำหรับเลขชี้กำลังแต่ละค่า Quotient-container-with-finite-position-sets และ combinatorial species เป็นสปินที่แตกต่างกันโดยทั่วไปในสสารเดียวกัน

— pigworker
แหล่งที่มา

ผู้เขียนต้นฉบับปรากฏขึ้น! ขอบคุณที่หยุดเพื่อแสดงให้เราเห็นผลลัพธ์ที่สวยงามนี้

— Matthew Piziak

ผลรวมของอนันต์ อนุพันธ์คือ ซึ่งเท่ากับต้นฉบับโดยการเชื่อมโยงและการแลกเปลี่ยนของผลบวก

\sum_{i, j \in N} X^{i} ?

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} X^i ?$

\sum_{i, j \in N} \underset{i + 1}{\underset{⏟}{X^{i} + \dots + X^{i}}}

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} \underbrace{X^i + \cdots + X^i}_{i+1}$

นอกจากนี้ผลรวมอนันต์เท่ากับ ) เราจึงได้พยายามที่จะคำนวณอนุพันธ์โดยใช้รายการ $\sum_{j \in \mathbb{N}} \mathsf{List}(X)$

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

อนุพันธ์ของรายการคือคู่ของรายการ (ส่วนต่อท้ายคูณเวลานำหน้า) โดยกฎผลรวมอนุพันธ์ของรายการคือรายการของรายการคู่ รายการของรายการคู่ isomorphic ไปยังรายการรายการหรือไม่?

— Matthew Piziak

@MatthewPiziak บางทีมันง่ายที่จะคิดว่าการกำหนดครั้งแรกในฐานะ

ฉัน

รับอนุพันธ์เราจะได้

\sum_{i \in N} N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} \mathbb{N}\times X^i$

(ด้วยความหมายที่ชัดเจนสำหรับ

) ตอนนี้เราจะต้อง

สำหรับฉันมันดูคล้ายกับ (ไม่เป็นทางการมาก)

ยกเว้นสัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลังถูกเลือกให้เป็น

\sum_{i \in N} i \times N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} i\times \mathbb{N}\times X^i$

i

$i$

N ≃ i \times N

$\mathbb{N}\simeq i\times \mathbb{N}$

e^{x} = \sum_{i} x^{i} / n!

$e^x = \sum_i x^i/n!$

+ \infty

$+\infty$ (กล่าวคือ

) เพื่อให้พวกเขาสามารถตอบสนองความ

ในโลกที่ไม่มีการแบ่ง

N

$\mathbb{N}$

a_{n} = (n + 1) \cdot a_{n + 1}

$a_{n} = (n+1) \cdot a_{n+1}$

— Chi

@ MatewPiziak โอ๊ะฉันเขียน

แทนที่จะเป็น

แต่ฉันคิดว่ามันชัดเจนว่าฉันหมายถึงอะไร

n

$n$

i

$i$

— ไค