ทำไมเราถึงเป็นมอร์ฟิซึ่มส์ออโตมอร์ฟิซึมและโฮโมมอร์ฟิซึม?

13

อะไรคือความแตกต่างที่สำคัญระหว่างคำสามคำนี้คือมอร์ฟิซึมออโตมอร์ฟิซึมและโฮโมมอร์ฟิซึมในภาษาธรรมดา ๆ และทำไมเราถึงเป็นมอร์ฟมอร์ฟิซึ่มส์

graph-theory

— Xara
แหล่งที่มา

18

Isomorphism ทำให้ความคิดของกราฟเท่ากันเป็นทางการ ตัวอย่างเช่นในรูปนี้คุณจะเห็นกราฟ isomorphic สามกราฟ ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ยิ่งกว่านั้นอย่างเป็นทางการความผิดปกติของกราฟและคือ bijection ที่รักษาคำคุณศัพท์ไว้ กล่าวคือ: $G_1$ $G_2$ $f:V(G_1) \mapsto V(G_2)$

u \sim_{G_{1}} v ⟺ f (u) \sim_{G_{2}} f (v)

$u \sim_{G_1} v \iff f(u) \sim_{G_2} f(v)$

ไม่ยากที่จะหา bijection ดังกล่าวสำหรับกราฟทุกคู่ในภาพ

$G_1 = G_2$

$f$ $G$ $v$ $u$ $u$ $v$

$G$ $u,v \in V(G)$ $f:V(G) \mapsto V(G)$ $f(u) = v.$ ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

และอย่างที่คุณเห็นกราฟ "ดู" สมมาตรค่อนข้างดี นั่นเป็นสิ่งที่ถูกต้องเพราะมันมี "รูปแบบ" มากมายอัตโนมัติของประเภทที่อธิบายไว้

กราฟโฮโมมอร์ฟิซึมมักจะไม่ได้รับการศึกษาโดยคนธรรมดาและมีวัตถุประสงค์ทางทฤษฎีมากหรือน้อย ตัวอย่างเช่นพวกเขามีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับความคิดของจุดสุดยอด - สี ดูการคาดเดา Hadwiger

— Jernej
แหล่งที่มา

1

... homomorphisms มักจะไม่ศึกษาโดยคนธรรมดา ... เฮฮา! +1

— Pratik Deoghare

8

$h:G\rightarrow G'$ $G=(V,E)$ $G'=(V',E')$ $e=(u,v) \in E$ $(h(u),h(v))\in E'$

ทีนี้กราฟมอร์ฟอร์ฟิซึมเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมแบบ bijective ซึ่งหมายความว่าค่าผกผันก็คือโฮโมมอร์ฟิซึมด้วย หากกราฟสองกราฟเป็นแบบมอร์ฟิคนั่นคือโดยพื้นฐานแล้วพวกมันจะเป็นกราฟเดียวกัน ปัญหาในการพิจารณาว่ากราฟสองกราฟนั้นมีความไม่แน่นอนซึ่งกันและกันเป็นปัญหาสำคัญในทฤษฎีความซับซ้อน

ในที่สุด automorphism คือมอร์ฟจากกราฟตัวเอง

— Marc Khoury
แหล่งที่มา