ลดความซับซ้อนของ n multichoose k

ฉันมีอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำที่มีความซับซ้อนของเวลาเทียบเท่ากับการเลือกองค์ประกอบ k จาก n ด้วยการทำซ้ำและฉันสงสัยว่าฉันจะได้รับนิพจน์โอใหญ่ที่ง่ายขึ้นหรือไม่ ในกรณีของฉันอาจมากกว่าและพวกมันเติบโตอย่างอิสระ $k$ $n$

โดยเฉพาะฉันคาดหวังว่าจะมีการแสดงออกที่ชัดเจนบางอย่าง สิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันพบได้ก็คือการประมาณดังนั้นฉันจึงสามารถใช้มันได้ แต่ฉันสงสัยว่าฉันจะได้อะไรที่ดีกว่า $O(n!) \approx O((n/2)^n)$

O ((\binom{n + k - 1}{k})) = O (?)

$O\left({{n+k-1}\choose{k}}\right) = O(?)$

asymptotics combinatorics runtime-analysis

— yoniLavi
แหล่งที่มา

สิ่งนี้ไม่ได้มีประโยชน์มากนัก แต่น่าสนใจมากสำหรับการประมาณค่าของ Ramanujan

— Pratik Deoghare

ขอบคุณ

n! \sim \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

$n! \sim \sqrt{\pi} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt[6]{8n^3 + 4n^2 + n + \frac{1}{30}}$ รูปลักษณ์ เหมือนการประมาณที่ดี แต่จริงๆแล้วมันไม่ได้ช่วยให้เรื่องนี้ง่ายขึ้น

— yoniLavi

คำตอบ:

แก้ไข:คำตอบนี้สำหรับ $k<n$ <n หากไม่มีการ จำกัด ขอบเขต $k$ ในรูปของ $n$ นิพจน์จะไม่ถูก จำกัด

ถ้าแล้วการแสดงออกของคุณจะกลาย ขวา) ขอให้สังเกตว่าโดยสูตรของสเตอร์ลิงสำหรับ ที่ไหนคือไบนารีเอนโทรปี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง 1 ดังนั้นเราจึงมี $k=n-1$ $O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)$ $0<\alpha<1$

(\binom{ม.}{α ม.}) = Θ ({ม.}^{- 1 / 2} 2^{H (α) ม.}),

${m \choose {\alpha m}}= \Theta(m^{-{1/2}} 2^{H(\alpha)m}),$

H (q) = - q \log q - (1 - q) \log (1 - q)

$H(q)=-q \log q - (1-q) \log (1-q)$

H (1 / 2) = 1

$H(1/2)=1$

k = n - 1

$k=n-1$

O ((\binom{2 (n - 1)}{n - 1})) = Θ ((2 n - 2)^{- 1 / 2} 2^{2 n - 2}) = Θ (\frac{4^{n}}{\sqrt{n}}) .

$O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)=\Theta((2n-2)^{-{1/2}} 2^{2n-2})=\Theta\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right).$

เนื่องจากขอบเขตบนเป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุด (ฉันปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัดเพื่อแสดงสิ่งนี้) การแสดงออกของคุณคือ . $k=n-1$ $O\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right)$

— A.Schulz
แหล่งที่มา

ขอบคุณสิ่งที่ฉันกำลังมองหา! และยังมีอีกสิ่งหนึ่งที่กระตุ้นให้ฉันศึกษาทฤษฎีข้อมูล

— yoniLavi

@ Falcor84: ฉันมีตัวพิมพ์เล็กในการเปลี่ยนครั้งล่าสุด ส่วนรากที่สองรีบไปที่ตัวส่วน ดังนั้นที่ถูกผูกไว้เป็นเล็กน้อยดีกว่าหนึ่งที่นำเสนอโดย Paresh (ที่จริงแล้วขอบเขตมีความตึงเชิงเส้นกำกับ)

— A.Schulz

ฉันก็ควรสังเกตว่าเครื่องหมายลบเล็ก ๆ น้อย ๆ ขอบคุณอีกครั้ง

— yoniLavi

คำสั่ง "ซ้ายเป็นแบบฝึกหัด" ของคุณที่เป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุดนั้นผิด ถ้า , การแสดงออกเป็น{2} สิ่งนี้ไม่น้อยกว่าเสมอ

k = n - 1

$k = n-1$

n = 3

$n=3$

(\binom{k + 2}{k}) = (\binom{k + 2}{2}) = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

${k+2 \choose k} = {k+2 \choose 2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

(\binom{4}{2}) = 6

${4 \choose 2} = 6$

— Peter Shor

เนื่องจากปัญหาคือสมมาตรในและ (ซึ่งสามารถเติบโตโดยไม่มีความสัมพันธ์ในกรณีของฉัน ) ดังนั้นฉันคิดว่าคำตอบที่ถูกต้องมากขึ้นคือการแทนที่ n ในส่วนสุดท้ายของคำตอบด้วย

(\binom{n + k - 1}{k}) = (\binom{n + k - 1}{n - 1})

${{n+k-1}\choose{k}} = {{n+k-1}\choose{n-1}}$

n

$n$

k

$k$

x := m a x (n, k)

$x := max(n,k)$

— yoniLavi

Wolfram พูดว่า Sondow (2005) [1] และ Sondow และ Zudilin (2006) [2] ตั้งข้อสังเกตถึงความไม่เท่าเทียมกัน: สำหรับจำนวนเต็มบวกและ a จำนวนจริง

\frac{1}{4 R ม.} {[\frac{(R + 1)^{R + 1}}{R^{R}}]}^{ม.} < (\binom{(R + 1) ม.}{ม.}) < {[\frac{(R + 1)^{R + 1}}{R^{R}}]}^{ม.}

$\frac{1}{4rm}\left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m < {(r+1)m \choose m} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m$

m

$m$

r \geq 1

$r\ge 1$

จากนั้นเราสามารถใช้ กับและ .

(\binom{n + k - 1}{k}) < (\binom{n + k}{k}) = (\binom{(R + 1) ม.}{ม.})

${n+k-1\choose k} < {n+k\choose k} = {(r + 1)m \choose m}$

r = \frac{n}{k}

$r = \frac{n}{k}$

m = k

$m = k$

จากนั้นเรามี

(\binom{n + k - 1}{k}) < {[\frac{(R + 1)^{R + 1}}{R^{R}}]}^{ม.} = {(\frac{n + k}{k})}^{n + k}

${n+k-1\choose k} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m = \left(\frac{n+k}{k}\right)^{n+k}$

ตอนนี้นิพจน์ทวินามมีค่าสูงสุดที่กึ่งกลางของสามเหลี่ยมปาสคาล ดังนั้นในกรณีของเราหรือn $n+k = 2k$ $k = n$

แทนว่าในความไม่เท่าเทียมกันข้างต้นเราจะได้รับ: n

(\binom{n + k - 1}{k}) < 2^{2 n} = 4^{n}

${n+k-1\choose k} < 2^{2n} = 4^n$

ดังนั้นการที่ถูกผูกไว้ที่เข้มงวดมากขึ้นเป็นn)

(\binom{n + k - 1}{k}) = O (4^{n})

${n+k-1\choose k} = O(4^n)$

คุณจะเห็นได้ว่าขอบล่างของค่าสูงสุดคือ

(\binom{n + k - 1}{k}) = Ω (\frac{4^{n}}{n})

${n+k-1\choose k} = \Omega\left(\frac{4^n}{n}\right)$

ข้อมูลอ้างอิง:
[1] Sondow, J. "ปัญหา 11132" อาเมอร์ คณิตศาสตร์. รายเดือน 112, 180, 2005
[2] Sondow, J. และ Zudilin, W. "ค่าคงที่ของออยเลอร์, q-logarithms และสูตรของ Ramanujan และ Gosper" Ramanujan 12, 225-244, 2006

— Paresh
แหล่งที่มา