จะหาค่าซ้ำ 5 ในเวลา O (n) ได้อย่างไร

สมมติว่าคุณมีอาร์เรย์ที่มีขนาดที่มีจำนวนเต็มตั้งแต่ถึงโดยรวมโดยมีการซ้ำห้าครั้ง ฉันต้องการที่จะนำเสนอขั้นตอนวิธีการที่สามารถหาตัวเลขที่ซ้ำในเวลา ฉันไม่สามารถคิดในสิ่งใดได้ตลอดชีวิตของฉัน ฉันคิดว่าการเรียงลำดับที่ดีที่สุดจะเป็นหรือไม่ จากนั้นภายในอาร์เรย์จะเป็นส่งผลให้ในlog) อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่าการเรียงลำดับจะมีความจำเป็นหรือไม่เนื่องจากฉันได้เห็นบางสิ่งที่ยุ่งยากด้วยรายการลิงก์คิวสแต็ก ฯลฯ1 n - 5 O ( n ) O ( n log n ) O ( n ) O ( n 2ล็อกn $n \geq 6$$1$$n − 5$$O(n)$$O(n\log n)$$O(n)$$O(n^2\log n)$

คุณสามารถสร้างอาร์เรย์เพิ่มเติมขนาดn เริ่มตั้งองค์ประกอบทั้งหมดของอาร์เรย์ไป0 ห่วงแล้วผ่านการป้อนข้อมูลอาร์เรย์และการเพิ่มขึ้นB [ [ ผม] ]โดย 1 สำหรับแต่ละฉัน หลังจากนั้นคุณก็ตรวจสอบอาร์เรย์B : ห่วงมากกว่าและถ้าB [ [ ผม] ] > 1แล้ว[ ผม]ซ้ำแล้วซ้ำอีก คุณแก้มันในO ( n $B$$n$$0$$A$$B[A[i]]$$i$$B$$A$$B[A[i]] > 1$$A[i]$$O(n)$เวลาที่ค่าใช้จ่ายของหน่วยความจำซึ่งเป็นและเนื่องจากจำนวนเต็มของคุณอยู่ระหว่าง1และn - 5$O(n)$$1$$n-5$

วิธีการแก้ปัญหาในคำตอบ fade2black เป็นมาตรฐานหนึ่ง แต่จะใช้พื้นที่ คุณสามารถปรับปรุงสิ่งนี้เป็นพื้นที่O ( 1 )ดังนี้:$O(n)$$O(1)$

1. ให้อาร์เรย์จะ[ 1 ] , ... , [ n ] สำหรับd = 1 , ... , 5 , คำนวณσ d = Σ n ฉัน= 1 [ ผม] d$A[1],\ldots,A[n]$$d=1,\ldots,5$$\sigma_d = \sum_{i=1}^n A[i]^d$
2. คำนวณ (คุณสามารถใช้สูตรที่รู้จักกันดีในการคำนวณผลรวมหลังในO ( 1 ) ) โปรดทราบว่าτ d = m d 1 + ⋯ + m d 5โดยที่m 1 , … , m 5เป็นตัวเลขซ้ำ$\tau_d = \sigma_d - \sum_{i=1}^{n-5} i^d$$O(1)$$\tau_d = m_1^d + \cdots + m_5^d$$m_1,\ldots,m_5$
3. คำนวณพหุนาม ) ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้มีหน้าที่สมมาตรของม. 1 , ... , ม. 5ซึ่งสามารถคำนวณได้จากτ 1 , ... , τ 5ในO ( 1 )$P(t) = (t-m_1)\cdots(t-m_5)$$m_1,\ldots,m_5$$\tau_1,\ldots,\tau_5$$O(1)$
4. ค้นหารากทั้งหมดของพหุนามโดยลองความเป็นไปได้n - 5ทั้งหมด$P(t)$$n-5$

ขั้นตอนวิธีการนี้จะถือว่ารูปแบบเครื่อง RAM ซึ่งดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานเกี่ยวกับคำบิตใช้เวลาO ( 1 )เวลา$O(\log n)$$O(1)$

อีกวิธีในการกำหนดโซลูชันนี้เป็นไปตามบรรทัดต่อไปนี้:

1. คำนวณและอนุมานปี1 = m 1 + ⋯ + ม. 5โดยใช้สูตรที่Y 1 = x 1 - Σ n - 5 ฉัน= 1ฉัน$x_1 = \sum_{i=1}^n A[i]$$y_1 = m_1 + \cdots + m_5$$y_1 = x_1 - \sum_{i=1}^{n-5} i$
2. คำนวณในO ( n )โดยใช้สูตร x 2 = ( A [ 1 ] ) A [ 2 ] + ( A [ 1 ] + A [ 2] ] ) A [ 3 ] + ( A [ $x_2 = \sum_{1 \leq i < j \leq} A[i] A[j]$$O(n)$ $$x_2 = (A[1]) A[2] + (A[1] + A[2]) A[3] + (A[1] + A[2] + A[3]) A[4] + \cdots + (A[1] + \cdots + A[n-1]) A[n].$$
3. ลดใช้สูตร y 2 = x 2 - ∑ 1 ≤ i < j ≤ n - 5 i j - ( n - 5 ∑ i = 1 i ) y 1$y_2 = \sum_{1 \leq i < j \leq 5} m_i m_j$ $$y_2 = x_2 - \sum_{1 \leq i < j \leq n-5} ij - \left(\sum_{i=1}^{n-5} i\right) y_1.$$
4. คำนวณและอนุมานy 3 , y 4 , y 5ตามเส้นที่คล้ายกัน$x_3,x_4,x_5$$y_3,y_4,y_5$
5. ค่าของคือ (ถึงเครื่องหมาย) สัมประสิทธิ์ของพหุนามP ( t )จากวิธีแก้ปัญหาก่อนหน้า$y_1,\ldots,y_5$$P(t)$

วิธีนี้แสดงให้เห็นว่าถ้าเราแทนที่ 5 ด้วยเราจะได้รับ (ฉันเชื่อว่า) O ( d 2 n )อัลกอริทึมโดยใช้พื้นที่O ( d 2 )ซึ่งดำเนินการทางคณิตศาสตร์O ( d n )ในจำนวนเต็มของบิตยาวO ( d log n ) , รักษาได้มากที่สุดO ( d )ของสิ่งเหล่านี้ในเวลาที่กำหนด (สิ่งนี้ต้องการการวิเคราะห์อย่างรอบคอบของการคูณที่เราดำเนินการซึ่งส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับตัวถูกดำเนินการที่มีความยาวเพียงตัวเดียวO ( บันทึก$d$$O(d^2n)$$O(d^2)$$O(dn)$$O(d\log n)$$O(d)$ .) เป็นไปได้ว่าสิ่งนี้สามารถปรับปรุงเป็นเวลา O ( d n )และพื้นที่ O ( d )โดยใช้เลขคณิตแบบแยกส่วน$O(\log n)$$O(dn)$$O(d)$

นอกจากนี้ยังมีเวลาเชิงเส้นและอัลกอริทึมพื้นที่คงที่ตามการแบ่งซึ่งอาจมีความยืดหยุ่นมากขึ้นหากคุณพยายามที่จะใช้สิ่งนี้กับตัวแปรของปัญหาที่วิธีการทางคณิตศาสตร์ไม่ทำงาน สิ่งนี้ต้องการการกลายพันธุ์อาเรย์พื้นฐานและมีปัจจัยคงที่ที่แย่กว่าวิธีการทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันเชื่อว่าค่าใช้จ่ายในแง่ของจำนวนทั้งหมดของค่าและจำนวนของการทำซ้ำdคือO ( n log d )และO ( d )ตามลำดับแม้ว่าการพิสูจน์ว่าจะใช้เวลามากกว่าที่ฉันมีอยู่ในขณะนี้ .$n$$d$$\mathcal{O}(n \log d)$$\mathcal{O}(d)$

ขั้นตอนวิธี

เริ่มต้นด้วยรายการคู่โดยที่คู่แรกคือช่วงที่อยู่เหนือทั้งอาร์เรย์หรือหากทำดัชนีไว้$[(1, n)]$

ทำซ้ำขั้นตอนต่อไปนี้จนกว่ารายการจะว่างเปล่า:

1. ใช้และลบคู่ใด ๆออกจากรายการ$(i, j)$
2. ค้นหาขั้นต่ำและสูงสุด, และสูงสุด , ของ subarray ที่แสดง$\text{min}$$\text{max}$
3. หากระบบย่อยจะประกอบด้วยองค์ประกอบที่เท่ากันเท่านั้น ให้ผลองค์ประกอบยกเว้นหนึ่งและข้ามขั้นตอนที่ 4 ถึง 6$\text{min} = \text{max}$
4. หากระบบย่อยจะไม่มีรายการซ้ำ ข้ามขั้นตอนที่ 5 และ 6$\text{max} - \text{min} = j - i$
5. แบ่งพาร์ติชันย่อยรอบเช่นนั้นองค์ประกอบถึงบางดัชนีkมีขนาดเล็กกว่าตัวคั่นและองค์ประกอบด้านบนดัชนีนั้นไม่ได้$\frac{\text{min}+\text{max}}{2}$$k$
6. เพิ่มและ( k + 1 , j )ลงในรายการ$(i, k)$$(k + 1, j)$

การวิเคราะห์ความซับซ้อนของเวลา

ขั้นตอนที่ 1 ถึง 6 ใช้เวลาเนื่องจากการค้นหาขั้นต่ำและสูงสุดและการแบ่งพาร์ติชันสามารถทำได้ในเวลาเชิงเส้น$\mathcal{O}(j - i)$

ทุกคู่ในรายการเป็นคู่แรก( 1 , n )หรือลูกของบางคู่ที่ subarray ที่สอดคล้องกันมีองค์ประกอบที่ซ้ำกัน มีมากที่สุดd ⌈ log 2 n + 1 parentsผู้ปกครองดังกล่าวเนื่องจากการสำรวจเส้นทางแต่ละช่วงแบ่งครึ่งซึ่งสามารถทำซ้ำได้ดังนั้นจึงมีจำนวนสูงสุด2 d ⌈ log 2 n + 1 ⌉รวมเมื่อรวมคู่กับ subarrays ที่ไม่มี ที่ซ้ำกัน ในแต่ละครั้งขนาดของรายการไม่เกิน2 $(i, j)$$(1, n)$$d \lceil \log_2 n + 1\rceil$$2d \lceil \log_2 n + 1\rceil$$2d$.

พิจารณางานเพื่อค้นหาสิ่งใดสิ่งหนึ่งที่ซ้ำกัน นี้ประกอบด้วยลำดับของคู่มากกว่าช่วงชี้แจงลดลงดังนั้นการทำงานทั้งหมดคือผลรวมของลำดับเรขาคณิตหรือ ) นี้ก่อให้เกิดข้อพิสูจน์ที่ชัดเจนว่าการทำงานรวมสำหรับdซ้ำกันจะต้องเป็นO ( n d )ซึ่งเป็นเส้นตรงในn$\mathcal{O}(n)$$d$$\mathcal{O}(nd)$$n$

หากต้องการค้นหาขอบเขตที่เข้มงวดให้พิจารณาสถานการณ์กรณีที่เลวร้ายที่สุดของการแพร่กระจายรายการที่มากที่สุด การค้นหาต้องใช้สองขั้นตอนโดยที่การสำรวจเต็มรูปแบบในแต่ละครั้งในส่วนที่เล็กกว่าที่ก้าวหน้าและอีกส่วนหนึ่งซึ่งส่วนที่เล็กกว่าดังนั้นมีการสำรวจเฉพาะบางส่วนของอาเรย์ โดยในระยะแรกจะไม่สามารถเข้าสู่ระบบdลึกจึงมีค่าใช้จ่ายO(nบันทึกd)และระยะที่สองมีค่าใช้จ่ายO(n)เพราะเป็นพื้นที่รวมสืบค้นเป็นอีกครั้งชี้แจงลดลง$\frac{n}{d}$$\log d$$\mathcal{O}(n \log d)$$\mathcal{O}(n)$

ปล่อยให้นี่เป็นคำตอบเพราะต้องการพื้นที่มากกว่าความคิดเห็นที่ให้

คุณทำผิดพลาดใน OP เมื่อคุณแนะนำวิธีการ เรียงลำดับรายการแล้ว transversing มันเวลาไม่O ( n 2บันทึกn )เวลา เมื่อคุณทำสองสิ่ง (ที่ใช้O ( f )และO ( g )ตามลำดับ) ตามลำดับดังนั้นความซับซ้อนของเวลาที่เกิดขึ้นคือO ( f + g ) = O ( สูงสุดf , g ) (ภายใต้สถานการณ์ส่วนใหญ่)$O(n\log n)$$O(n^2\log n)$$O(f)$$O(g)$$O(f+g)=O(\max{f,g})$

เพื่อที่จะเพิ่มความซับซ้อนของเวลาคุณจะต้องใช้สำหรับการวนซ้ำ ถ้าคุณมีห่วงความยาวและคุ้มค่าในวงแต่ละคนที่คุณทำฟังก์ชั่นที่ใช้O ( กรัม)แล้วคุณจะได้รับO ( ฉกรัม)เวลา$f$$O(g)$$O(fg)$

ดังนั้นในกรณีของคุณคุณเรียงลำดับในและจากนั้นในแนวขวางO ( n )ที่เกิดขึ้นในO ( n log n + n ) = O ( n log n ) ถ้าเปรียบเทียบของขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับแต่ละคนที่คุณต้องทำคำนวณที่ใช้O ( n ) , แล้วมันจะใช้เวลาO ( n 2บันทึกn )แต่นั่นไม่ใช่กรณีที่นี่$O(n\log n)$$O(n)$$O(n\log n+n)=O(n\log n)$$O(n)$$O(n^2\log n)$

ในกรณีที่คุณอยากรู้เกี่ยวกับการอ้างสิทธิ์ของฉันที่เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่านั่นไม่จริงเสมอไป แต่ถ้าf ∈ O ( g )หรือg ∈ O ( f ) (ซึ่งเก็บไว้สำหรับโฮสต์ทั้งหมดของฟังก์ชั่นทั่วไป) มันจะถือ เวลาที่พบมากที่สุดก็ไม่ถือไม่ได้คือเมื่อพารามิเตอร์เพิ่มเติมได้มีส่วนร่วมและคุณได้รับการแสดงออกเช่นO ( 2 ค n + n log n )$O(f+g)=O(\max{f,g})$$f\in O(g)$$g\in O(f)$$O(2^cn+n\log n)$

มีตัวแปรในตำแหน่งที่เห็นได้ชัดของเทคนิคอาเรย์บูลีนโดยใช้ลำดับขององค์ประกอบเป็นที่เก็บ (ที่arr[x] == xสำหรับองค์ประกอบ "พบ") แตกต่างจากชุดพาร์ติชั่นที่สามารถปรับให้เหมาะสมกับการเป็นคนทั่วไปมากขึ้นฉันไม่แน่ใจเมื่อคุณต้องการอะไรแบบนี้ แต่มันง่าย

for idx from n-4 to n
    while arr[arr[idx]] != arr[idx]
        swap(arr[arr[idx]], arr[idx])

สิ่งนี้จะใส่arr[idx]ที่ตำแหน่งซ้ำ ๆarr[idx]จนกว่าคุณจะพบตำแหน่งนั้นแล้วซึ่ง ณ จุดนั้นจะต้องซ้ำกัน โปรดทราบว่าจำนวนรวมของการแลกเปลี่ยนถูก จำกัด โดยเนื่องจากการสลับแต่ละครั้งทำให้เงื่อนไขการออกถูกต้อง$n$

ลบค่าที่คุณมีจากผลรวม .$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{(n-1) \cdot n}{2}$

ดังนั้นหลังจากเวลา (สมมติว่าเลขคณิตคือ O (1) ซึ่งไม่ใช่จริง ๆ แต่ลองทำท่า) คุณมีผลรวมσ 1จาก 5 จำนวนเต็มระหว่าง 1 ถึง n:$\Theta(n)$$\sigma_1$

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = \sigma_1$

คาดคะเนว่ามันไม่ดีใช่มั้ย คุณไม่สามารถหาวิธีแบ่งเป็น 5 ตัวเลขที่แตกต่างกันได้

$\sum_{i=1}^{n} i^2$

${x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 + {x_4}^2 + {x_5}^2 = \sigma_2$

$\vec{x}$.

Caveats: Arithmetic is not really O(1). Also, you need a bit of space to represent your sums; but not as much as you would imagine - you can do most everything modularly, as long as you have, oh, $\lceil\log(5n^6)\rceil$ bits; that should do it.

Easiest way to solve the problem is to create array in which we will count the apperances for each number in the original array, and then traverse all number from $1$ to $n-5$ and check if the number appears more than once, the complexity for this solution in both memory and time is linear, or $O(N)$

Map an array to 1 << A[i] and then XOR everything together. Your duplicates will be the numbers where corresponding bit is off.

DATA=[1,2,2,2,2,2]

from collections import defaultdict

collated=defaultdict(list):
for item in DATA:
    collated[item].append(item)
    if len(collated) == 5:
        return item.

# n time