การแก้สมการเชิงฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชันที่ไม่รู้จักในแลมบ์ดาแคลคูลัส

มีเทคนิคใดบ้างในการแก้สมการการทำงานสำหรับฟังก์ชันที่ไม่รู้จักในแคลคูลัสแลมบ์ดา?

สมมติว่าฉันมีฟังก์ชั่นระบุตัวตนที่ขยายเพิ่มเติมเช่น:

$I x = x$

(นั่นคือโดยการเขียนสมการสำหรับพฤติกรรมที่คาดหวังของฟังก์ชันนั้น) และตอนนี้ฉันต้องการแก้มันสำหรับโดยทำการแปลงพีชคณิตบางอย่างเพื่อให้ได้สูตร intensional สำหรับฟังก์ชันนั้น:$I$

$I = \lambda x.x$

ที่บอกว่าฟังก์ชั่นทำสิ่งที่คาดหวังได้อย่างไร (นั่นคือวิธีการนำไปใช้ในแลมบ์ดาแคลคูลัส)

แน่นอนฟังก์ชั่นตัวตนที่ใช้เป็นเพียงตัวอย่าง ฉันสนใจวิธีการทั่วไปในการแก้สมการดังกล่าว โดยเฉพาะฉันต้องการค้นหาฟังก์ชันที่ตรงตามข้อกำหนดต่อไปนี้:$B$

$B\;f\;(\lambda x.M) = (\lambda x.f M)$

นั่นคือ "injects" ฟังก์ชั่นที่กำหนดลงในฟังก์ชั่นแลมบ์ดาต่อหน้า "ร่างกาย" (ซึ่งเป็นนิพจน์แลมบ์ดาโดยพลการ) ซึ่งอาจแยกออกจากกันและสร้างใหม่ขึ้นมา พารามิเตอร์ของฟังก์ชันที่ถูกนำไปใช้$f$$(\lambda x.M)$$M$$f$

ปัญหานี้เป็นปัญหาที่รู้จักกันที่รู้จักกันในการสั่งซื้อที่สูงขึ้นความสามัคคี

น่าเสียดายที่ปัญหานี้ไม่สามารถอธิบายได้โดยทั่วไป มีชิ้นส่วนที่เรียกคืนได้ซึ่งรู้จักกันในชื่อ Pattern Pattern Fragment มันถูกใช้อย่างกว้างขวางในด้านอื่น ๆ การตรวจสอบชนิดของโปรแกรมที่พิมพ์ขึ้นอยู่กับ metavariables หรือการจับคู่รูปแบบ แฟรกเมนต์นี้เป็นที่ที่ตัวแปรการรวมจะถูกใช้กับตัวแปรโปรแกรมที่ถูกผูกไว้เท่านั้น

บทความนี้แสดงบทช่วยสอนที่ดีเกี่ยวกับวิธีการรวมการสั่งซื้อที่สูงขึ้นและการดำเนินการอย่างง่าย ๆ (ค่อนข้าง)

น่าเสียดายที่ดูเหมือนว่าฟังก์ชั่นของคุณจะอยู่ในรูปแบบส่วนย่อยนี้ ที่กล่าวว่าสิ่งที่ฉันกำลังมองเห็นค่อนข้างคล้ายกับองค์ประกอบของฟังก์ชั่น ฟังก์ชั่นต่อไปนี้ตอบสนองความต้องการของคุณหรือไม่?

$B = \lambda f\ g\ x\ \ldotp f\ (g\ x)$

เรามี:

• $B\ f\ (\lambda x . M)$
• โดย α- equivalence$= B\ f\ (\lambda y . [y/x]M)$$\alpha$
• $= \lambda x . f\ ((\lambda y. [y/x]M) x)$
• $= \lambda x . f\ ([x/y][y/x]M)$
• $= \lambda x . f\ M$

ฉันคิดว่าฉันมีคำตอบบางส่วนเกี่ยวกับสมการกับฟังก์ชันเอกลักษณ์:

$I x = x$

เราต้องการแก้ปัญหาโดยค้นหาสูตรสำหรับซึ่งจะอยู่ในรูปแบบ( λ p . M )โดยมีนิพจน์Mบางส่วนที่ยังไม่ทราบในร่างกาย ลองแทนมันสำหรับฉันในสมการเดิม:$I$$(\lambda p.M)$$M$$I$

$(\lambda p.M)\; x = x$

จากนั้นใช้ฟังก์ชั่นกับที่ด้านซ้ายมือ:$x$

$M[p/x] = x$

แต่เรามีอะไรที่นี่? :> สมการนี้เป็นสูตรสำหรับนิพจน์เรามองหาหลังจากแทนที่ทุกเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นของpด้วยxและมันบอกว่ามันควรจะดูเหมือนทางด้านขวามือหลังจากนั้น :) กล่าวอีกนัยหนึ่งฟังก์ชันที่เรา กำลังมองหาคือ:$M$$p$$x$

$I = (\lambda x.x)$

แน่นอนคำตอบที่ถูกต้อง :)

ลองวิธีการเดียวกันเพื่อหาสูตรสำหรับ Combinator เราต้องการให้มันทำงานในลักษณะที่เมื่อนำไปใช้กับตัวเองจะผลิตตัวเองที่นำไปใช้กับตัวเอง:$\omega$

$\omega\;\omega = \omega\;\omega$

ตอนนี้เรามาหาสูตรสำหรับซึ่งเป็นรูปแบบ( λ x . M )สำหรับบางคนยังไม่ทราบการแสดงออกM แทนสิ่งนี้ในสมการที่เราได้รับ:$\omega$$(\lambda x.M)$$M$

$(\lambda x.M)\;\omega = \omega\;\omega$

การนำไปใช้กับพารามิเตอร์ทางด้านซ้ายมือจะให้สูตรสำหรับ :$M$

$M [x/\omega] = \omega\;\omega$

นี่บอกว่าหลังจากการแทนที่ของในMทุกครั้งด้วยωมันสร้าง$x$$M$$\omega$ดังนั้นเราสามารถอนุมานได้ว่านิพจน์ดั้งเดิม Mก่อนการแทนที่ควรเป็น$\omega\;\omega$$M$ดังนั้นฟังก์ชันที่เราค้นหาควรมีลักษณะเช่นนี้:$x\;x$

$\omega = (\lambda x.x\;x)$

ซึ่งเป็นกรณี :)

แม้ว่าฉันจะมีความรู้สึกว่ามันอาจจะง่ายมากเพราะทางด้านขวามือนั้นอยู่ในรูปแบบที่เรากำลังมองหาอยู่แล้ว