การพิสูจน์ฮีปไบนารีมี

ฉันพยายามที่จะพิสูจน์ว่ากองไบนารีที่มี nodes มีออกจากใบเนื่องจากกองถูกสร้างขึ้นด้วยวิธีต่อไปนี้:$n$$\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

แต่ละโหนดใหม่จะถูกแทรกผ่านขึ้นกรอง ซึ่งหมายความว่าแต่ละโหนดใหม่จะต้องสร้างที่ลูกที่มีอยู่ถัดไป สิ่งที่ฉันหมายถึงคือเด็ก ๆ จะถูกเลื่อนระดับจากซ้ายไปขวา ตัวอย่างเช่นฮีปต่อไปนี้:

    0
   / \
  1   2

จะต้องมีการสร้างตามลำดับนี้: 0, 1, 2 (ตัวเลขเป็นเพียงดัชนีพวกเขาไม่ได้บ่งชี้ถึงข้อมูลจริงที่เก็บอยู่ในโหนดนั้น)

สิ่งนี้มีนัยสำคัญสองประการ:

1. ไม่มีโหนดใดในระดับไม่มีระดับที่เต็มไปอย่างสมบูรณ์$k+1$$k$

2. เนื่องจากเด็กถูกสร้างจากซ้ายไปขวาจึงไม่มี "ช่องว่าง" ระหว่างโหนดในระดับหรือสถานการณ์ดังต่อไปนี้: $k+1$

       0
      / \
     1   2
    / \   \
   3  4    6
   

(นี่จะเป็นฮีปที่ผิดกฎหมายตามคำจำกัดความของฉัน) ดังนั้นวิธีที่ดีที่จะคิดว่าฮีปนี้คือการใช้อาเรย์ของฮีปที่ไม่สามารถมี "การข้าม" ในอาเรย์ของอาร์เรย์ได้

ดังนั้นฉันคิดว่าอุปนัยอาจเป็นวิธีที่ดีในการทำสิ่งนี้ ... บางทีบางสิ่งบางอย่างที่ต้องจัดการกับแม้แต่กรณีแปลก ๆ สำหรับ n ตัวอย่างเช่นการเหนี่ยวนำโดยใช้ความจริงที่ว่าแม้กองที่สร้างขึ้นในแบบนี้จะต้องมีโหนดภายในที่มีลูกหนึ่งคนสำหรับคู่ n และไม่มีโหนดดังกล่าวสำหรับคี่ n ไอเดีย?

ถ้าฉันได้รับคำถามของคุณอย่างถูกต้องฮีปที่ได้รับนั้นเป็นเพียงต้นไม้ไบนารีที่สั่งซื้อซึ่งในคำสั่งฉันหมายความว่าระดับ th สามารถครอบครองได้หลังจากระดับk - 1เต็มแล้วและแต่ละระดับถูกครอบครองจากซ้าย ไปทางขวาโดยไม่ข้าม$k$$k-1$

จากนั้นหลักฐานก็เป็นเช่นนี้

1. ต้นไม้ที่สมบูรณ์แบบของความลึกมี2 k + 1 - 1โหนด$k$$2^{k+1}-1$
2. สมมติว่ากองถึงความลึกkดังนั้น $k$
   1. ถึงระดับต้นไม้สมบูรณ์แบบ (และมีโหนด2 k - 1อยู่ที่นั่น)$k-1$$2^k-1$
   2. ในระดับสุดท้ายมีโหนดทั้งหมดซึ่งเป็นโหนดทั้งหมด$n-2^k+1$
3. ใบไม้แต่ละอันในระดับ th มีต้นกำเนิด ยิ่งกว่านั้นใบต่อเนื่องสองใบนั้นมีพ่อเหมือนกัน (อาจยกเว้นโหนดสุดท้ายซึ่งพ่อมีลูกเพียงคนเดียว)$k$
4. ดังนั้นจากโหนดที่ระดับk - 1 , ⌈ n - 2 k + $2^{k-1}$$k-1$เป็นผู้ปกครองและที่เหลือ2k-1-⌈n-2 k +$\left\lceil \frac{n-2^{k}+1}{2} \right\rceil$เป็นใบไม้$2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$
5. จำนวนใบทั้งหมดคือ ซึ่งให้สิ่งที่คุณต้องการ $$n-2^k+1 + 2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$$

นี่คือข้อพิสูจน์เชิงตรรกะที่ง่ายกว่า

ใบสุดท้ายคือดัชนี ผู้ปกครองของมันอยู่ที่ดัชนี⌊ n / 2 ⌋และในทำนองเดียวกันไม่มีองค์ประกอบดังกล่าวที่ผู้ปกครองของมันคือ ( ⌊ n / 2 + 1 ⌋ $n^{th}$$\lfloor{n/2}\rfloor$องค์ประกอบ ดังนั้นใบไม้จะถูกจัดทำดัชนีจาก⌊ n / 2 ⌋+1 ถึง n$\lfloor n/2 +1\rfloor)^{th}$$\lfloor{n/2}\rfloor$

ดังนั้นจำนวนของใบ = n- = ⌈ ( n / 2 ) ⌉$\lfloor(n/2)\rfloor$$\lceil(n/2)\rceil$