เหตุใดความสมบูรณ์จึงหมายถึงความมั่นคง

ฉันกำลังอ่านคำถามความสอดคล้องและความสมบูรณ์หมายถึงความสมบูรณ์หรือไม่ และคำสั่งแรกในนั้นบอกว่า:

ฉันเข้าใจว่าความสมบูรณ์นั้นหมายถึงความมั่นคง

ซึ่งฉันค่อนข้างงงเกี่ยวกับเพราะฉันคิดว่าความแข็งแรงเป็นคำสั่งที่อ่อนแอกว่าความสอดคล้อง (เช่นฉันคิดว่าระบบที่สอดคล้องต้องเป็นเสียง แต่ฉันเดาว่ามันไม่เป็นความจริง) ฉันใช้นิยามที่ไม่เป็นทางการ Scott Aaronson ใช้ในหลักสูตร 6.045 / 18.400 ที่ MITเพื่อความมั่นคงและความมั่นคง:

1. Soundness = ระบบพิสูจน์เป็นเสียงถ้าคำสั่งทั้งหมดที่พิสูจน์นั้นเป็นจริง เช่น IF ( $\phi$สามารถพิสูจน์ได้)$\implies$( $\phi$เป็นจริง) ดังนั้นหาก (มีเส้นทางไปยังสูตร) ​​แล้ว (สูตรนั้นเป็นจริง)
2. ความสอดคล้อง = ระบบที่สอดคล้องไม่เคยพิสูจน์ A และไม่ (A) มีเพียง A หรือการปฏิเสธเท่านั้นที่สามารถเป็นจริงได้

การใช้คำจำกัดความเหล่านั้น (อาจไม่เป็นทางการ) ในใจฉันได้สร้างตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่ามีระบบที่มีเสียง แต่ไม่สอดคล้องกัน:

เหตุผลที่ฉันคิดว่ามันเป็นเพราะระบบเสียงเป็นเพราะการสันนิษฐานว่าสัจพจน์เป็นจริง ดังนั้น A และไม่ใช่ A เป็นจริงทั้งคู่ (ใช่ฉันรู้ว่าไม่รวมกฎของการยกเว้นตรงกลาง) เนื่องจากกฎการอนุมานเพียงข้อเดียวคือการปฏิเสธเราจึงสามารถเข้าถึงทั้ง A และไม่ใช่ A จากสัจพจน์และเข้าถึงซึ่งกันและกัน ดังนั้นเราจะไปถึงข้อความที่เป็นจริงเกี่ยวกับระบบนี้เท่านั้น อย่างไรก็ตามแน่นอนว่าระบบไม่สอดคล้องกันเพราะเราสามารถพิสูจน์การปฏิเสธของคำสั่งเดียวในระบบ ดังนั้นฉันได้แสดงให้เห็นว่าระบบเสียงอาจไม่สอดคล้องกัน ทำไมตัวอย่างนี้ไม่ถูกต้อง ฉันทำผิดอะไร?

ในหัวของฉันนี่ทำให้รู้สึกอย่างสังหรณ์ใจเพราะความสมบูรณ์เพียงบอกว่าเมื่อเราเริ่มต้นจากและความจริงและข้อเหวี่ยงกฎการอนุมานที่เราไปถึงที่ปลายทางเท่านั้น (เช่นคำสั่ง) ที่เป็นจริง อย่างไรก็ตามไม่ได้บอกว่าเรามาถึงปลายทางใด อย่างไรก็ตามความสอดคล้องบอกว่าเราสามารถเข้าถึงจุดหมายปลายทางที่เข้าถึงได้ทั้งหรือ (ทั้งคู่ไม่ใช่ทั้งคู่) ดังนั้นทุกระบบที่สอดคล้องกันจะต้องรวมกฎของการยกเว้นตรงกลางเป็นสัจพจน์ซึ่งแน่นอนว่าฉันไม่ได้รวมอยู่ในการปฏิเสธความจริงของสัจพจน์เดียวเป็นสัจพจน์อื่นเท่านั้น ดังนั้นจึงไม่รู้สึกว่าฉันทำอะไรที่ฉลาดเกินไป แต่อย่างใดมีบางอย่างผิดปกติ?$A$$\neg A$

ฉันเพิ่งรู้ว่าอาจเป็นปัญหาเพราะฉันใช้คำจำกัดความที่ไม่เป็นทางการของ Scott แม้กระทั่งก่อนที่ฉันจะเขียนคำถามที่ฉันได้ตรวจสอบวิกิพีเดียแต่ความหมายของพวกเขาไม่สมเหตุสมผลกับฉัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่พวกเขาพูดว่า:

ด้วยความเคารพความหมายของระบบ

อ้างเต็มของพวกเขาคือ:

ทุกสูตรที่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบนั้นมีเหตุผลที่ถูกต้องตามความหมายของความหมายของระบบ

ฉันขอแนะนำให้ดูในตรรกะอย่างเป็นทางการเกินคำอธิบายที่คลุมเครือด้วยมือ มันน่าสนใจและมีความเกี่ยวข้องอย่างมากกับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ แต่น่าเสียดายที่คำศัพท์และการมุ่งเน้นที่แคบลงของแม้แต่ตำราเฉพาะเกี่ยวกับตรรกะอย่างเป็นทางการสามารถนำเสนอภาพที่บิดเบือนของตรรกะอะไร ปัญหาคือส่วนใหญ่เวลาที่นักคณิตศาสตร์พูดถึง "ตรรกะ" พวกเขา (มักจะโดยปริยาย) หมายถึงตรรกะเชิงประพจน์แบบคลาสสิกหรือตรรกะลำดับแรกคลาสสิก แม้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นระบบลอจิคัลที่สำคัญอย่างยิ่ง แต่ก็ไม่มีที่ไหนใกล้กับความกว้างของตรรกะ อย่างไรก็ตามสิ่งที่ฉันจะพูดส่วนใหญ่เกิดขึ้นในบริบทที่แคบ แต่ฉันต้องการทำให้ชัดเจนว่ามันเกิดขึ้นในบริบทเฉพาะและไม่จำเป็นต้องเป็นเรื่องจริงนอก

ก่อนอื่นหากความมั่นคงถูกกำหนดให้เป็นไม่พิสูจน์ทั้งและจะเกิดอะไรขึ้นถ้าตรรกะของเราไม่มีแม้แต่การปฏิเสธหรือถ้า¬ A $A$$\neg A$$\neg$หมายถึงอะไรอย่างอื่น? เห็นได้ชัดว่าความคิดเรื่องความมั่นคงนี้ทำให้สมมติฐานบางอย่างเกี่ยวกับบริบททางตรรกะที่มันทำงาน โดยปกตินี่คือเรากำลังทำงานในเชิงตรรกะแบบดั้งเดิมหรือส่วนขยายของมันเช่นตรรกะลำดับแรกคลาสสิก มีการนำเสนอหลายอย่างเช่นรายการสัจพจน์และกฎซึ่งอาจเรียกว่าตรรกะเชิงประพจน์แบบคลาสสิก / ลำดับแรก แต่สำหรับวัตถุประสงค์ของเราซึ่งไม่สำคัญจริงๆ พวกเขาจะเทียบเท่าในแง่ที่เหมาะสมบางอย่าง โดยทั่วไปเมื่อเรากำลังพูดถึงระบบตรรกะเราหมายถึงทฤษฎีอันดับหนึ่ง (คลาสสิก) สิ่งนี้เริ่มต้นด้วยกฎและสัจพจน์ (ตรรกะ) ของตรรกะลำดับแรกคลาสสิกซึ่งคุณเพิ่มสัญลักษณ์ฟังก์ชันที่กำหนดสัญลักษณ์สัญลักษณ์และสัจพจน์ (เรียกว่าสัจพจน์ไม่ใช่ตรรกะ) ทฤษฎีอันดับหนึ่งเหล่านี้มักเป็นสิ่งที่เรา '

ถัดไปความสมบูรณ์มักจะหมายถึงความมั่นคงในแง่ของความหมาย ความสอดคล้องเป็นคุณสมบัติวากยสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์อย่างเป็นทางการที่เราสามารถทำได้ Soundness เป็นคุณสมบัติทางความหมายที่เกี่ยวข้องกับวิธีที่เราตีความสูตรสัญลักษณ์ฟังก์ชันและสัญลักษณ์ภาคแสดงเป็นวัตถุและข้อความทางคณิตศาสตร์ เพื่อที่จะเริ่มพูดเกี่ยวกับความสมบูรณ์คุณจำเป็นต้องให้ความหมายเช่นการตีความของสิ่งต่าง ๆ ดังกล่าว อีกครั้งเรามีการแยกระหว่างตรรกะเชื่อมต่อและตรรกะตรรกะและสัญลักษณ์ฟังก์ชั่นสัญลักษณ์สัญลักษณ์และสัจพจน์ที่ไม่ใช่ตรรกะ สิ่งที่ทำให้ connectives connectives และ axioms ตรรกะ axioms ตรรกะจากมุมมองความหมายของพวกเขาได้รับการปฏิบัติเป็นพิเศษโดยความหมายในขณะที่ฟังก์ชั่นสัญลักษณ์สัญลักษณ์สัญลักษณ์และสัจพจน์ไม่ใช่ตรรกะ$[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ที่ฉันใช้เป็นความหมายของสูตร\โดยเฉพาะโดยที่คือชุดโดเมน แนวคิดคือสูตรถูกตีความว่าเป็นชุดขององค์ประกอบโดเมน (tuples) ที่เป็นไปตามสูตร สูตรปิด (เช่นหนึ่งที่ไม่มีตัวแปรอิสระ) ถูกตีความว่าเป็นความสัมพันธ์แบบไร้ค่าซึ่งหมายถึงเซตย่อยของเซตเดี่ยวซึ่งสามารถเป็นชุดเดี่ยวหรือชุดว่างได้ สูตรปิดคือ "จริง" ถ้ามันไม่ถูกตีความว่าเป็นชุดที่ว่างเปล่า ความสมบูรณ์นั้นเป็นคำกล่าวที่ว่าทุกสูตร (ปิด) ที่พิสูจน์ได้คือ "เป็นจริง" ในความหมายข้างต้นφ $[\![\varphi]\!]$$\varphi$$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$

มันง่ายจากที่นี่แม้แต่จากร่างที่ฉันได้รับเพื่อพิสูจน์ว่าความสมบูรณ์นั้นหมายถึงความมั่นคง (ในบริบทของโลจิสติกส์ลำดับแรกคลาสสิก หากตรรกะของคุณ เป็นเสียงดังนั้นทุกสูตรที่พิสูจน์ได้จะตีความว่าเป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่า แต่จะถูกตีความเสมอว่าเซตว่างไม่ว่าสูตรจะเป็นเช่นไร ไม่สามารถพิสูจน์ได้เช่นตรรกะของคุณสอดคล้อง

ความสมบูรณ์และความมั่นคงเป็นคุณสมบัติของระบบนิรนัย ความแข็งแกร่งสามารถกำหนดได้เฉพาะในส่วนที่เกี่ยวกับซีแมนทิกส์บางอย่างที่คาดว่าจะได้รับเป็นอิสระจากระบบนิรนัย

ในขอบเขตของความหมายคุณสมบัติทั้งสองนั้นเกี่ยวข้องกัน

คำจำกัดความ 1 ( Soundness [Semantics] - ยืมมาจาก Wikipedia ) ความสมบูรณ์ของระบบนิรนัยคือคุณสมบัติที่ประโยคใด ๆ ที่พิสูจน์ได้ในระบบนิรนัยนั้นเป็นจริงในการตีความหรือโครงสร้างทั้งหมดของทฤษฎีความหมายสำหรับภาษาตามทฤษฎีนั้น เป็นไปตาม

ความหมายที่ 2 ( ความสอดคล้อง [ความหมาย] ) ชุดของประโยคในภาษามีความสอดคล้องและถ้าหากมีอยู่โครงสร้างของภาษาที่ตอบสนองทุกประโยคใน ระบบการอนุมานมีความสอดคล้องกันหากมีโครงสร้างที่สอดคล้องกับสูตรทั้งหมดที่พิสูจน์ได้L L$A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$

ด้วยคำจำกัดความทั้งสองที่ให้ไว้ข้างต้นเป็นที่ชัดเจนว่าความสมบูรณ์ของเสียงหมายถึงความมั่นคง คือถ้าชุดของประโยคที่พิสูจน์ได้ทั้งหมดมีอยู่ในโครงสร้างทั้งหมดของภาษานั้นมีอยู่อย่างน้อยหนึ่งโครงสร้างที่ตรงกับพวกเขา

ระบบการพิสูจน์ของคุณไม่มีเสียงหรือไม่สอดคล้องกันเนื่องจากไม่ใช่ข้อเสนอที่แท้จริงเว้นแต่ซึ่งในกรณีนี้ไม่ใช่ข้อเสนอที่แท้จริง อาร์กิวเมนต์นี้แสดงให้เห็นว่าทุกระบบป้องกันเสียงนั้นมีความสอดคล้องกัน≡ ⊤ ¬ ≡ $A$$A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

บ่อยครั้งเมื่อเราเกิดขึ้นกับระบบตรรกะพวกเขาถูกกระตุ้นด้วยความพยายามที่จะอธิบายปรากฏการณ์ที่มีอยู่ก่อน ยกตัวอย่างเช่น Peano เลขคณิตเป็นความพยายามที่จะ axiomatize จำนวนธรรมชาติพร้อมกับการดำเนินงานของการบวกและการคูณ

ความแข็งแกร่งสามารถกำหนดได้เฉพาะเมื่อเทียบกับปรากฏการณ์ที่คุณพยายามอธิบายและโดยพื้นฐานแล้วความจริงแล้วความจริงและกฎการอนุมานของคุณอธิบายสิ่งที่เป็นปัญหาได้จริง ยกตัวอย่างเช่น Peano เลขคณิตเป็นเสียงเพราะสัจพจน์และกฎการอนุมานเป็นจริงของจำนวนธรรมชาติ

แน่นอนว่านี่หมายความว่าคุณมีแนวคิด "จำนวนธรรมชาติ" เกินกว่านิยามของพีโน่และความคิดของสิ่งที่เป็นจริงหรือเท็จสำหรับตัวเลขธรรมชาติโดยไม่ได้รับความจริงเหล่านี้จากชุดสัจพจน์ใด ๆ การพยายามอธิบายว่าความจริงเหล่านั้นมาจากไหนหรือวิธีการตรวจสอบความถูกต้องสามารถนำคุณสู่โลกร้อนในปรัชญา แต่ถ้าคุณคิดว่ามันมีจำนวนตามธรรมชาติและมีการรวบรวมข้อเท็จจริงที่แท้จริงเกี่ยวกับพวกมันคุณก็สามารถดูโครงการ axiomatization ว่าเป็นความพยายามที่จะเกิดขึ้นกับสเปคอย่างเป็นทางการที่กระชับซึ่งสำคัญที่สุดหลายประการ สามารถรับความจริงได้ ถ้าหากทุกสิ่งที่พิสูจน์ได้จริงนั้นอยู่ในกลุ่มของความจริงที่ระบุไว้ล่วงหน้านั่นคือ

(หมายเหตุโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่สเปคอย่างเป็นทางการของคุณจะไม่ที่จะพิสูจน์ทุกอย่างที่เป็นจริงเกี่ยวกับหมายเลขธรรมชาติและนอกจากนี้จะไม่ซ้ำกันอธิบายหมายเลขธรรมชาติในว่ามีโครงสร้างอื่น ๆ ที่แตกต่างจากหมายเลขธรรมชาติซึ่งในหลักการอาโน่เป็น ก็เหมือนกัน)

ในลอจิกลำดับแรกอย่างน้อยที่สุดทฤษฎีก็สอดคล้องกันถ้ามันมีโมเดลใด ๆ เลย ความสมบูรณ์หมายความว่ามันมีโมเดลเฉพาะที่คุณต้องการ: โครงสร้างเฉพาะที่คุณพยายามอธิบายด้วยทฤษฎีของคุณเป็นแบบจำลองของทฤษฎีของคุณ จากมุมมองนี้เป็นที่ชัดเจนว่าทำไมความสมบูรณ์มีความหมาย

เป็นตัวอย่างของทฤษฎีที่สอดคล้องกัน แต่ไม่ใช่เสียง: Peano เลขคณิต, PA, มีความสามารถในการเข้ารหัสสูตรตรรกะเป็นสิ่งก่อสร้างเชิงเลขคณิตและโดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณสามารถเข้ารหัสประโยค "PA มีความสอดคล้อง" ("ไม่มีหลักฐานพิสูจน์ความเท็จจาก สัจพจน์ของ PA ") เรียกประโยคนี้ว่า Con (PA) คุณอาจทราบด้วยว่า (เนื่องจากเป็นเสียงและสอดคล้องกัน) PA ไม่สามารถพิสูจน์ Con (PA) โดยทฤษฎีบทแรกที่ไม่สมบูรณ์ของGödel นี่ก็หมายความว่าทฤษฎี PA +$\neg$Con (PA) ไม่สามารถพิสูจน์ความขัดแย้งได้ดังนั้นจึงต้องสอดคล้องกัน แต่มันไม่ใช่เสียง: มันอ้างว่ามีหมายเลขธรรมชาติที่เข้ารหัสการพิสูจน์ความเท็จจากสัจพจน์ของ PA แต่อาจมีตัวเลขในธรรมชาติที่เป็น "ของจริง" ไม่เช่นนั้นเพราะเราไม่สามารถแยกได้ หลักฐานที่แท้จริงของความไม่สอดคล้องของ PA จากมัน

PA + Con (PA) มีโมเดล แต่เป็นรุ่นที่ต้องมีวัตถุ "พิเศษ", "หมายเลขธรรมชาติที่ไม่ได้มาตรฐาน" ซึ่งรวมถึงรุ่นที่อ้างว่าเข้ารหัส "หลักฐาน" ในคำถาม ทฤษฎีไม่ได้มีเครื่องมือที่จำเป็นในการแยกองค์ประกอบที่ไม่ได้มาตรฐานเหล่านี้ออกจากสมาชิก bona-fide แท้ของหรือเพื่อแสดงให้เห็นว่าการพิสูจน์ไม่ใช่หลักฐานที่ถูกต้องตามกฎหมาย$\neg$$\mathbb N$

คุณสามารถตีความนี่เป็น: PA + Con (PA) เป็นระบบลอจิคัลที่ถูกต้องตามกฎหมายอย่างสมบูรณ์ - เพียงแค่ไม่ได้อธิบายจำนวนธรรมชาติอย่างถูกต้องและตัวเลขธรรมชาติไม่ใช่รูปแบบของมัน$\neg$

อีกสิ่งหนึ่ง: เราไม่คิดว่าความจริงนั้นเป็นจริงตามคำจำกัดความ สัจพจน์ทั้งหมดเป็นคำจำกัดความเป็นเพียงส่วนประกอบพื้นฐานของการพิสูจน์ พวกมันแค่อ้างว่ามันเป็นจริงหรือเท็จเมื่อนำไปใช้กับวัตถุทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะ คุณสามารถมีสัจพจน์ที่ผิดพลาดมันเป็นเรื่องที่ค่อนข้างงี่เง่าเพราะระบบของคุณจะจำเป็นและไม่ส่งเสียงทันที

เพื่อให้ได้คำตอบที่กระชับ (และเข้าใจง่าย) ฉันจะถอดความสิ่งที่ Scott Aaronson พูดในการบรรยายของ MIT 6.045 / 18.400 เขาพูดแบบนี้:

ความสมบูรณ์หมายถึงทุกสิ่งที่พิสูจน์ได้เป็นจริง เนื่องจากความสอดคล้องหมายความว่าไม่มีความขัดแย้งและความสมบูรณ์ที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดของความจริงและความจริงจะต้องสอดคล้องกัน (เช่นจริง! = เท็จ) จากนั้นจะต้องหมายถึงระบบเสียงยังสอดคล้องกัน ดังนั้นความสมบูรณ์แสดงถึงความมั่นคงเพราะสิ่งที่แท้จริง (จริง) ไม่มีความขัดแย้ง

ตอนนี้ฉันสะท้อนให้เห็นว่าฉันรู้ว่าฉันมีข้อสันนิษฐาน / ความคิดที่ไม่ถูกต้อง:

1. ฉันไม่ได้ตระหนักถึงความสมบูรณ์เกี่ยวกับความหมาย ดังนั้นฉันล้มเหลวที่จะตระหนักว่าเพียงแค่ใช้การอนุมานกฎจากสัจพจน์นั้นไม่เพียงพอที่จะนำไปสู่ผลที่แท้จริง (และมันไม่รับประกันว่าจะเกิดขึ้นจริงซึ่งฉันคิดว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะเข้าถึงสิ่งที่ขัดแย้งกัน ใช้กฎการอนุมานที่ถูกต้อง)
2. ฉันคิดว่าตราบใดที่สัจพจน์เป็นจริงและกฎการอนุมานทำให้ทุกอย่างที่ดำเนินการนั้นเป็นจริง ซึ่งตอนนี้ฉันรู้ว่าอาจไม่เป็นความจริงเพราะถ้าเราเพิ่งมีรายการสัจพจน์และการอนุมานขนาดใหญ่มันก็ยากที่จะให้เหตุผลว่าทุกอย่างที่ตามมาจะเป็นจริง เช่นการเริ่มจากสัจพจน์และการใช้กฎการอนุมานที่ถูกต้องนั้นไม่เพียงพอที่จะรับประกันว่าขั้นตอนต่อไปจะเป็นจริง
3. ก่อนหน้านี้ควบคู่ไปกับความจริงที่ว่าฉันไม่ได้ตระหนักว่ามีสองระดับของความซับซ้อน, 1) ความหมาย 2) วากยสัมพันธ์ การหมุนเกมที่เป็นสัญลักษณ์อาจทำให้เกิดความขัดแย้ง
4. ฉันไม่ได้ตระหนักว่าฉันไม่รู้จักการจำแนกลักษณะที่แท้จริงของความจริงซึ่งทำให้ดีเร็กทำงานได้ดีในการอธิบายลักษณะ