สามารถพิสูจน์ได้โดยการทำงานที่ขัดแย้งโดยไม่มีกฎหมายว่าด้วยการยกเว้นตรงกลาง?

ฉันเพิ่งคิดเกี่ยวกับความถูกต้องของการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง ฉันได้อ่านสองสามวันที่ผ่านมาเกี่ยวกับตรรกะเชิงปรีชาและทฤษฎีบทของ Godel เพื่อดูว่าพวกเขาจะให้คำตอบสำหรับคำถามของฉันหรือไม่ ตอนนี้ฉันยังคงมีคำถามที่คงค้างอยู่ (อาจเกี่ยวข้องกับเนื้อหาใหม่ที่ฉันอ่าน) และหวังว่าจะได้รับคำตอบ

( คำเตือน : คุณกำลังจะอ่านเนื้อหาที่มีรากฐานที่สับสนมากในเชิงตรรกะนำทุกอย่างด้วยเม็ดเกลือคาดว่าจะเป็นคำถามและไม่ใช่คำตอบมีความเข้าใจผิดอยู่มากมาย)

ฉันคิดว่าคำถามหลักของฉันคือเมื่อเราแสดงให้เห็นว่าไม่ใช่ A นำไปสู่ความขัดแย้งบางอย่างดังนั้นไม่ใช่ A ต้องเป็นเท็จแล้วเราไปและสรุปว่า A ต้องเป็นจริง (โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าฉันยอมรับกฎของการแยกคนตรงกลางเป็นสิ่งที่ทำให้รู้สึก) แต่สิ่งที่รบกวนจิตใจฉันก็คือการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งที่เกิดขึ้นจริง ก่อนอื่นเราเริ่มด้วยไม่ใช่ A จากนั้นเราก็ใช้หลักการและกฎของการอนุมาน (พูดโดยใช้กลไก) และดูว่ามันจะพาเราไปที่ไหน มันมักจะมาถึงความขัดแย้ง (บอกว่าเป็นความจริงหรือและเป็นจริง) เราสรุปได้ว่าไม่ใช่ A ต้องเป็นเท็จดังนั้น A จึงเป็นจริง ไม่เป็นไร. แต่คำถามของฉันคือระบบค้ำประกันแบบเป็นทางการมีอะไรบ้าง$\neg \varphi$$\phi$ถ้าฉันใช้กระบวนการเดียวกัน แต่เริ่มต้นด้วย A ที่ฉันจะไม่ได้รับความขัดแย้งที่นั่น ? ฉันคิดว่ามีข้อสันนิษฐานบางอย่างซ่อนเร้นอยู่ในการพิสูจน์โดยความขัดแย้งว่าถ้ากระบวนการเดียวกันใน A เดียวกันก็ไม่ถึงข้อขัดแย้งเรารับประกันแบบไหนที่จะไม่เกิดขึ้น? มีหลักฐานที่เป็นไปไม่ได้หรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าฉันมี Turning Machine (TM) (หรือ super TM) ที่ดำเนินไปตลอดกาลนั่นลองขั้นตอนเชิงตรรกะทั้งหมดจากทุกสัจพจน์เริ่มต้นจากข้อความจริงที่คาดคะเนสิ่งที่รับประกันว่ามันจะไม่หยุดเนื่องจากการค้นหาความขัดแย้ง ?$A$

จากนั้นฉันก็เชื่อมโยงกับคำถามที่ผ่านมาของฉันกับทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Godel ที่ไปเช่นนี้

ระบบที่เป็นทางการ F ที่มีเลขคณิตแสดงไม่สามารถพิสูจน์ความมั่นคงของตัวเอง (ภายใน F)

นี่ทำให้ฉันเห็นได้อย่างชัดเจนว่าถ้าเป็นเช่นนั้นจริงแล้วความมั่นคงคือการรับรองว่า A และไม่ใช่ A จะไม่เกิดขึ้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นมันทำให้ดูเหมือนว่าจะพิสูจน์ได้โดยความขัดแย้งเพียงโดยนัยถือว่าความมั่นคงมีการรับประกันอย่างใด (อย่างอื่นทำไมมันจะไปข้างหน้าและสรุปว่า A เป็นความจริงโดยการพิสูจน์ไม่ใช่ A เป็นไปไม่ได้ถ้ามันไม่ได้รู้ว่า และความขัดแย้งที่ดีสำหรับคู่ของคำสั่งใด ๆ และไม่ใช่ A)? สิ่งนี้ไม่ถูกต้องหรือฉันพลาดอะไรไป?

จากนั้นฉันก็คิดว่าโอเคให้รวมอยู่ในสัจพจน์ของเรากฎของการแยกตรงกลางแล้วปัญหาทั้งหมดจะได้รับการแก้ไข แต่จากนั้นฉันก็รู้ว่ารอถ้าเราทำอย่างนั้นเราก็แค่กำหนดปัญหาออกไปแทนที่จะจัดการกับมัน ถ้าฉันเพียงแค่บังคับให้ระบบของฉันสอดคล้องกับคำจำกัดความซึ่งไม่ได้แปลว่ามันจะสอดคล้องกันจริง…ใช่ไหม? ฉันแค่พยายามทำความเข้าใจกับความคิดเหล่านี้และฉันก็ไม่แน่ใจว่าจะทำอะไร แต่นี่คือสิ่งที่ฉันรู้หลังจากอ่านเนื้อหาสองสามวันและดูวิดีโอในเกือบทุกด้านของแนวคิดเหล่านี้ ตรรกะของสัญชาตญาณทฤษฎีบทความสมบูรณ์และความไม่สมบูรณ์ของโกเดล ...

ที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ดูเหมือนว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์โดยตรงจริง ๆ ว่าบางสิ่งบางอย่างเป็นเท็จโดยไม่มีกฎของการแยกตรงกลาง (หรือความขัดแย้ง) ดูเหมือนว่าระบบพิสูจน์พิสูจน์ได้ดีในการพิสูจน์ข้อความจริง แต่ความเข้าใจของฉันไม่สามารถแสดงได้โดยตรงว่าสิ่งต่าง ๆ เป็นเท็จ บางทีวิธีที่พวกเขาทำนั้นเป็นไปในทางตรงกันข้ามกับความขัดแย้ง (ซึ่งแสดงให้เห็นว่าบางสิ่งต้องเป็นเท็จหรือสิ่งเลวร้ายเกิดขึ้น) หรือไม่รวมคนตรงกลาง (ที่รู้คุณค่าความจริงเพียงคนเดียวหรือไม่ A ให้ความจริงกับคนอื่น) การให้ตัวอย่างเคาน์เตอร์ (ซึ่งโดยทั่วไปแสดงให้เห็นว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามนั้นเป็นความจริงดังนั้นจึงใช้กฎหมายว่าด้วยการยกเว้นตรงกลาง) ฉันเดาว่าฉันอาจต้องการหลักฐานที่สร้างสรรค์ว่ามีบางอย่างผิดพลาดจริงหรือ

ฉันคิดว่าถ้าฉันสามารถรู้ว่าถ้าฉันพิสูจน์ไม่ได้ว่า A เป็นเท็จ (บอกว่าฉันยอมรับความขัดแย้ง) จากนั้นจริง ๆ แล้วก็โอเคและฉันไม่จำเป็นต้องใช้กฎการอนุมานและสัจพจน์ทั้งหมดบน A และฉันรับประกันได้ว่า A ชนะ ถึงข้อขัดแย้ง ถ้านั่นเป็นเรื่องจริงฉันคิดว่าฉันสามารถรับการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งได้ง่ายขึ้น สิ่งนี้เป็นจริงหรือไม่รับประกันความไม่สมบูรณ์ครั้งที่สองของ Godel ฉันไม่สามารถทำได้? ถ้าฉันไม่มีสิ่งนี้ปริศนาอะไรที่ฉันเป็นไปได้ที่จะเป็นไปได้ที่นักคณิตศาสตร์หลายปีที่ทำคณิตศาสตร์ที่เราไม่พบว่าไม่สอดคล้องกัน? ฉันจำเป็นต้องพึ่งพาหลักฐานเชิงประจักษ์ของความมั่นคงหรือไม่? หรือตัวอย่างเช่นฉัน prof F สอดคล้องกันโดยแสดง superF พิสูจน์ F แต่เนื่องจากฉันไม่เคยต้องการ superF และเพียงแค่ F เท่านั้นดังนั้นฉันจึงไม่สามารถเป็นเนื้อหาที่ใช้งานได้จริง?

ฉันเพิ่งสังเกตเห็นว่าการร้องเรียนของฉันยังทำให้เกิดข้อพิสูจน์โดยตรง ตกลงดังนั้นถ้าฉันได้ทำการพิสูจน์โดยตรงของ A ฉันก็รู้ว่า A นั้นเป็นความจริง ... แต่ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าถ้าฉันได้พิสูจน์โดยตรงไม่ใช่ A ที่ฉันจะไม่ได้รับการพิสูจน์ที่ถูกต้องด้วย ดูเหมือนว่าคำถามเดียวกันเน้นแตกต่างกันเพียงเล็กน้อย ....

คุณถาม (ฉันทำให้คำถามของคุณค่อนข้างกรอบ): "อะไรคือการรับประกันอย่างเป็นทางการว่าจะไม่เกิดขึ้นที่ทั้งและpนำไปสู่ความขัดแย้ง?" คุณดูเหมือนจะกังวลว่าถ้าตรรกะไม่สอดคล้องกันการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งนั้นเป็นปัญหา แต่นี่ไม่ใช่กรณีทั้งหมด$\lnot p$$p$

ถ้าตรรกะนั้นไม่สอดคล้องกันดังนั้นการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งก็ยังคงเป็นกฎการให้เหตุผลที่ถูกต้อง แต่ก็เป็นการปฏิเสธและกฎที่บอกว่าตั้งแต่เราสามารถสรุปได้ว่าคุณเป็นสมเด็จพระสันตะปาปาองค์ต่อไป ความไม่ลงรอยกันในตรรกะไม่ได้ทำให้สิ่งใดเป็นโมฆะ: ค่อนข้างตรงกันข้ามมันตรวจสอบทุกอย่าง !$1 + 1 = 2$

มีแหล่งที่มาของความสับสนที่อาจเกิดขึ้นได้อีก: ชื่อคำถามของคุณอาจถูกอ่านเพื่อแสดงให้เห็นว่ากฎหมายของคนตรงกลางที่ถูกกีดกันกล่าวว่าตรรกะนั้นสอดคล้องกัน มันไม่ถูกต้อง ความสอดคล้องของตรรกะจำนวน“มันไม่ได้เป็นกรณีที่ทั้งสองคำสั่งและการปฏิเสธมีหลักฐานอัน” ในขณะที่ได้รับการยกเว้นตรงกลางคือกฎที่ช่วยให้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่างบของรูปแบบพี$p \lor \lnot p$

เพิ่มเติม:ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมคำถามนี้สร้างการสนทนามาก ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจว่าภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกนั้นคืออะไรและเท่าที่ฉันสามารถบอกได้คำถามนั้นเกิดขึ้นจากความเข้าใจผิดบางประการ หากใครบางคนสามารถอธิบายคำถามฉันจะขอบคุณ นอกจากนี้ฉันต้องการดึงความสนใจไปยังประเด็นต่อไปนี้:

1. การพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งและตรงกลางที่ถูกแยกออกจะเทียบเท่ากันและดังนั้นชื่อตามที่เขียนไว้นั้นไม่เป็นความรู้สึก แน่นอนว่าเราไม่สามารถมีสิ่งใดสิ่งหนึ่งได้หากไม่มีสิ่งอื่นเทียบเท่าพวกเขา

2. จากสิ่งที่ฉันสามารถเข้าใจได้จากการถกเถียงกันอย่างยืดยาวในคำถามดูเหมือนว่า OP จะพูดหรือกังวลว่าความไม่สอดคล้องกันในตรรกะทำให้การพิสูจน์เป็นโมฆะ นี่เป็นสิ่งที่ผิดตามที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้น ฉันขอขอบคุณคำตอบบางส่วนจาก OP: OP สามารถเห็นความไม่สอดคล้องของตรรกะได้อย่างไร (กล่าวคือสามารถพิสูจน์ได้ทุกอย่าง) ไม่ได้ทำให้การพิสูจน์ใด ๆ เป็นโมฆะ?

3. ฉันคิดว่ามันมีโอกาส แต่ไม่สามารถจริงๆบอกแน่นอนว่า OP คิดว่ากฎหมายของรัฐยกเว้นตรงกลางที่ว่ามันเป็นไปไม่ได้สำหรับทั้งและ¬ หน้าการระงับ (พร้อมสูตร: ¬ ( P ∧ ¬ P ) ) นี่ไม่ได้ยกเว้นตรงกลาง บางครั้งเรียกว่ากฎหมายว่าด้วยการไม่ขัดแย้งและสามารถพิสูจน์ได้ (โดยไม่ต้องยกเว้นตรงกลาง)$p$$\lnot p$$\lnot (p \land \lnot p)$

4. OP คิดว่าเป็น "เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์โดยตรงว่ามีบางสิ่งบางอย่างที่เป็นเท็จโดยไม่มีการยกเว้นตรงกลาง" เขาเป็นคนที่ทำให้เกิดความสับสนหลักฐานการปฏิเสธและหลักฐานโดยการขัดแย้งที่ไม่ได้ในสิ่งเดียวกัน โพสต์ที่เชื่อมโยงมีตัวอย่างมากมายของการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ว่ามีบางอย่างผิดปกติ ในความเป็นจริงหลักฐานส่วนใหญ่พบว่ามีบางสิ่งที่ผิดพลาดที่พบในตำราเรียนมีความสร้างสรรค์อยู่แล้ว

5. ความไม่สมบูรณ์ของโกเดลถูกลากเข้ามาด้วยเหตุผลที่ฉันสามารถแยกแยะได้ ความไม่สมบูรณ์ของGödelให้ประโยคเช่นว่าGหรือ¬ Gไม่สามารถพิสูจน์ได้ นี้ไม่ได้หมายความว่าG ∨ ¬ Gคือพิสูจน์ (มันเป็นโดยโปรแกรมที่ง่ายยกเว้นตรงกลาง)! ทั้งไม่ได้หมายความว่า¬ G ∧ ¬ ¬ Gถือหรือบางอย่างเช่น ดังนั้นความไม่สมบูรณ์ของGödelจึงมีความเกี่ยวข้องที่นี่?$G$$G$$\lnot G$$G \lor \lnot G$$\lnot G \land \lnot\lnot G$

ป.ล. ฉันขอโทษสำหรับรุ่นก่อนหน้าของเสริมซึ่งหยาบคาย

ฉันคิดว่าคำถามของคุณเดือดร้อนถึง "เมื่อทำการตรวจสอบอย่างเป็นทางการกับตรรกะบางประเภทฉันรับประกันได้อย่างไรว่าตรรกะนั้นสอดคล้องกันหรือไม่" และคำตอบคือ: ไม่มี นั่นคือสิ่งที่คุณต้องสมมติ การตรวจสอบอย่างเป็นทางการไม่ได้กำจัดสมมติฐานทั้งหมด มันช่วยให้คุณชัดเจนเกี่ยวกับสิ่งที่คุณสมมติและอาจช่วยให้คุณมั่นใจได้ว่าคุณเริ่มจากสมมติฐานที่สมเหตุสมผล

หากคุณทำงานในตรรกะมาตรฐานโดยทั่วไปคนส่วนใหญ่มีความสุขที่จะถือว่าตรรกะนั้นสอดคล้องกันแม้ว่าพวกเขาจะไม่ได้พิสูจน์ความจริงนั้น มันเป็นความจริงที่เราอาจค้นพบสักวันหนึ่งว่าตรรกะนั้นไม่สอดคล้องกัน ... แต่คนส่วนใหญ่เชื่อว่านี่ไม่น่าจะเป็นไปได้

ในบางกรณีเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าตรรกะมีความสอดคล้องกัน แต่ต้องใช้ตรรกะที่มีประสิทธิภาพมากกว่าซึ่งเราต้องสมมติว่าตรรกะที่สองนั้นสอดคล้องกันดังนั้นเราจึงยังคงต้องทำการตั้งสมมติฐานบางอย่าง (สมมติว่าตรรกะบางอย่างสอดคล้องกัน ) นี่อาจเป็นหลักฐานที่แสดงว่าตรรกะแรกมีความสอดคล้องกันถ้าคุณเชื่อว่าตรรกะที่สองนั้นมีความสอดคล้องกัน แต่เหตุผลมีอยู่ที่ใดที่หนึ่ง - มีบางสิ่งที่เราต้องสมมติและไม่สามารถพิสูจน์ได้

ดูเช่นปัญหาที่สองของฮิลแบร์ตและการอภิปรายเรื่องความสอดคล้องของ ZFC (และนี่กับสิ่งนี้และสิ่งนี้และสิ่งนี้และอีกมากมาย)

มีประเด็นทางปรัชญาที่น่าสนใจมากมายที่โพสต์ของคุณแตะ

ความสอดคล้องของตรรกะบูลีน

ประเด็นของความสอดคล้องของทฤษฎีการพิสูจน์ในตรรกะคลาสสิกนั้นไม่น่ากลัวเท่าที่คุณต้องการ โดยทั่วไปจะลดการต่อไปนี้:

เราสามารถกำหนดตรรกะบูลีนเป็นชุดของฟังก์ชั่นการดำเนินงานตรรกะกับค่าความจริงและ1 0แต่เราจะรู้ได้0≠1อย่างไร

(โปรดทราบว่าฉันใช้เพียงแค่0และ1เป็นสัญลักษณ์เชิงนามธรรมสำหรับค่าความจริงสองค่าโดยเฉพาะฉันไม่ถือว่าความคิดของจำนวนเต็มที่นี่)

เราแน่นอนไม่ทราบว่า0และ1จะแตกต่างกัน แต่ตรรกะบูลีนนั้นเรียบง่ายอย่างน่าขันที่การปฏิเสธความเป็นไปได้นี้เป็นระดับที่สูงที่สุดของความสงสัย

แต่ตรรกะแบบคลาสสิกเชิงประพจน์จะลดสิ่งนี้ลง จำได้ว่าเราสามารถกำหนดค่าบูลีนให้กับข้อเสนออะตอมมิคในแบบใด ๆ และสิ่งนี้ขยายไปถึงการกำหนดค่าให้กับข้อเสนอทั้งหมดที่สามารถสร้างจากอะตอมมิก

คำสั่ง "จากPคุณสามารถอนุมานQ" เป็นเพียงความสัมพันธ์การสั่งซื้อ; มันหมายถึงสิ่งเดียวกันกับที่อ้างว่า " v(P) ≤ v(Q)มีไว้สำหรับทุกฟังก์ชั่นที่vกำหนดค่าความจริงให้กับข้อเสนออะตอม"

≤กฎของการอนุมานตรรกะประพจน์ที่มีความแม่นยำคุณสมบัติสำหรับการทำงานกับการสั่งซื้อ หลักฐานจากความขัดแย้งโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือการสังเกตว่าถ้าแล้วP ≤ 0P = 0

และจะกลับไปที่ปัญหาของคุณได้ ... ถ้าเรารู้ว่าทั้งสองP ≤ 0และ¬P ≤ 0เสื้อไก่หลังจากเสียบในค่าความจริงเราที่สุดจะสรุปได้ว่า0=1; ความจริงและเท็จหมายถึงสิ่งเดียวกัน

ดังนั้นหากคุณมั่นใจว่า "จริง" และ "เท็จ" หมายถึงสิ่งต่าง ๆ คุณควรมีความมั่นใจในความสอดคล้องของตรรกะบูลีน

พิสูจน์ได้จากความขัดแย้งในตรรกะปรีชา

เราควรระวังด้วยว่าการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งนั้นดีกว่าเมื่อ:

• หากคุณสามารถได้รับความขัดแย้งจากPนั้นสรุป¬P

อันที่จริงแล้วใคร ๆ ก็อาจกำหนดว่าการปฏิเสธจะเชื่อมโยงกับคุณสมบัตินี้ได้ทันที เช่นในHeyting พีชคณิตคุณมักจะเห็น¬Pถูกกำหนดให้หมายถึง P → 0

หมายเหตุโดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีพิเศษ

• หากคุณสามารถได้รับความขัดแย้งจาก¬Pนั้นสรุป¬¬P

สิ่งที่คุณอธิบายว่า "หลักฐานจากความขัดแย้ง" มาจากการระบุด้วย¬¬P Pตรรกะปรีชาญาณไม่ถือว่าสิ่งเหล่านี้เทียบเท่า

ความมั่นคงเป็นสัญญาอย่างเป็นทางการ

มีระเบียบการคำนวณมากขึ้นสำหรับการเข้ารหัสตรรกะ; ดูแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ได้อย่างง่ายดายประเภทที่ขึ้นกับและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง "กระบวนทัศน์ประเภท" ประเภท

ความขัดแย้งจะถือว่าเป็นสัญญาอย่างเป็นทางการ มีประเภทที่ฉันจะเรียก0และมีสัญญา "ฟังก์ชั่นเหล่านี้ไม่สามารถใช้ในการสร้างองค์ประกอบของประเภท0"

หากระบบดังกล่าวเป็นตัวหนาเพื่อที่จะช่วยให้คุณสามารถสร้างฟังก์ชั่นแล้วถ้ามันเป็นจริงการถือครองสัญญาก็หมายความว่ามันเป็นไปไม่ได้ในทำนองเดียวกันในการสร้างวัตถุชนิดใดT → 0 ๆ Tนี่เป็นมุมมองการคำนวณว่าการพิสูจน์ด้วยความขัดแย้งหมายถึงอะไร

ในที่สุดสิ่งนี้ก็ไม่ได้แตกต่างไปจากนี้มากตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่น C ที่ส่งกลับพอยน์เตอร์ที่สัญญาว่าจะไม่ส่งคืนพอยน์เตอร์พอยน์เตอร์หรือฟังก์ชั่น C ++ ที่สัญญาว่าจะไม่ยกเว้น

กลับไปที่ตรรกะคลาสสิกนั่นคือสิ่งที่เรากำลังทำอยู่

เรานำเสนอสัญญาที่เป็นทางการเช่น "จากสัจพจน์ของ Peano กฎการอนุมานจะไม่อนุญาตให้คุณได้รับความขัดแย้ง" หากสัญญานี้ได้รับการรักษาจริง ๆ หากคุณสามารถแสดงให้เห็นว่า¬Pมีความขัดแย้งคุณก็Pไม่สามารถบ่งบอกถึงความขัดแย้งได้

และถ้าเป็นไปได้ที่จะละเมิดสัญญาเราก็จะพูดว่า "สัจพจน์ของ Peano ไม่สอดคล้องกัน"

เมื่อใช้เพื่อรับประกันความจริงของคำแถลงอย่างเป็นทางการหลักฐานทั้งหมดจะถือว่าความสอดคล้องของระบบที่พวกเขาอาศัยอยู่โดยปริยายโดยปริยายเพราะหากระบบไม่สอดคล้องกันระบบทั้งหมดจะถูกทำลายและงานทั้งหมดที่เราทำ ในระบบนั้นโดยทั่วไปขยะ

เนื่องจากเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าระบบใด ๆ (หรืออย่างน้อยระบบที่ซับซ้อนใด ๆ ) มีความสอดคล้องภายในขอบเขตของระบบนั้นเราจึงต้องใช้มันเป็นความจริงเชิงประจักษ์มากกว่าความจริงที่พิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการ โดยพื้นฐานแล้วหากนักคณิตศาสตร์ใช้เวลานานในการทำงานกับระบบที่เป็นทางการและไม่เคยมีการค้นพบความขัดแย้งนั่นก็คือหลักฐานเชิงประจักษ์ที่สนับสนุนความสอดคล้องของระบบ นอกจากนี้เราอาจใช้ระบบที่มีประสิทธิภาพยิ่งขึ้นเพื่อพิสูจน์ความสอดคล้องของระบบที่เราทำงานด้วย (แม้ว่าความสอดคล้องของระบบที่มีประสิทธิภาพยิ่งกว่านี้จะยังคงเป็นประจักษ์ - เจ้าชู้หยุดอยู่ที่ไหนสักแห่ง)

ที่สำคัญมันเป็นสถานการณ์ทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนกับวิทยาศาสตร์ เราสร้างคณิตศาสตร์ตามทฤษฎีที่ดูเหมือนถูกต้องตามข้อมูลทั้งหมดที่เรามีเกี่ยวกับทฤษฎีเหล่านั้นและเช่นเดียวกับในวิทยาศาสตร์คุณไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีนั้นถูกต้อง คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่ถูกต้องเท่านั้น

$S$

ไม่ว่าระบบสัจพจน์ใดที่เราเลือกที่จะยึดหลักคณิตศาสตร์บนมันมีอันตรายเสมอที่เราจะค้นพบความขัดแย้งในระบบนั้น นี่คือเหตุผลที่นักคณิตศาสตร์ไม่แนะนำสัจพจน์ใหม่ในคณิตศาสตร์: สัจพจน์ใหม่แต่ละอันมีโอกาสที่จะขัดกับสัจพจน์ที่ใช้อยู่แล้วและงานทั้งหมดที่ใช้สัจพจน์ใหม่จะต้องถูกประเมินใหม่ทั้งหมด

ภาคผนวก:เมื่อฉันพูดถึงคำสั่งที่เป็นจริงสำหรับระบบที่กำหนดฉันหมายความว่ามันจะไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบนั้นถ้าระบบนั้นสอดคล้องกัน