กำลังหยุดปัญหาที่คำนวณได้สำหรับอินพุต / สมมติฐานเฉพาะ

จากความเข้าใจของฉันเกี่ยวกับการพิสูจน์ว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถคำนวณได้ปัญหานี้ไม่สามารถคำนวณได้เพราะถ้าเรามีโปรแกรม P (x) ซึ่งคำนวณว่าโปรแกรม x หยุดทำงานหรือไม่เราได้รับความขัดแย้งเมื่อให้ P เป็นอินพุตกับ P เดียวกันมี: P (P) พยายามตัดสินใจว่า P หยุดหรือไม่ใช้ P เอง

ดังนั้นคำถามของฉันคือหยุดปัญหาที่คำนวณได้โดยโปรแกรม P สำหรับโปรแกรมอื่น ๆ ทั้งหมดที่ใช้เป็นอินพุต แต่ P เอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ปัญหาการหยุดชะงักไม่ได้คำนวณได้เฉพาะในกรณีพิเศษนี้หรือการพิสูจน์นั้นกว้างกว่าและฉันขาดอะไรไปหรือเปล่า

ถ้าเป็นฟังก์ชันที่คำนวณได้ใด ๆ ดังนั้นหมายถึง$f$$g$

นอกจากนี้ยังคำนวณสำหรับทางเลือกของโวลต์$k,v$

โดยทั่วไปหากคุณมีโปรแกรมซึ่งคำนวณสำหรับทั้งหมดยกเว้นคุณสามารถ "แก้ไข" กรณีนั้น (เช่นใช้) และรับโปรแกรมที่คำนวณสำหรับ ทั้งหมดn$P'$$g(n)$$n$$n=k$if then else$P$$g(n)$$n$

ดังนั้นหากคุณสามารถคำนวณฟังก์ชั่นการหยุด "ยกเว้นกรณีหนึ่ง" คุณสามารถคำนวณฟังก์ชั่นการหยุดพัก (ไม่มีข้อยกเว้น) จากนั้นคุณสามารถได้รับความขัดแย้งตามปกติ

สรุป: ไม่คุณไม่สามารถตัดสินใจปัญหาการหยุด "ยกเว้นหนึ่งกรณี" (หรือ "ยกเว้นหลายกรณีที่มีขอบเขต")

ปัญหาการหยุดทำงานที่คำนวณโดยโปรแกรม P สำหรับโปรแกรมอื่น ๆ ทั้งหมดที่ใช้เป็นอินพุต แต่ตัว P เอง

ไม่พิจารณาลำดับที่ไม่สิ้นสุดของโปรแกรมโดยที่คือ "ย้ายหัว  กำลังสองไปทางขวาจากนั้น  กำลังสองทางซ้ายแล้วทำสิ่งที่จะทำ" โปรแกรมเหล่านี้ทุกโปรแกรมสร้างเอาต์พุตเหมือนกับ สำหรับทุกอินพุต (รวมถึงวนซ้ำตลอดไปถ้าวนซ้ำตลอด ไป) แต่เป็นโปรแกรมที่แตกต่างกันทั้งหมด$P_1, P_2, \dots$$P_i$$i$$i$$P$$P$$P$

และคุณไม่สามารถหลีกเลี่ยงปัญหานี้ได้โดยกำหนดให้ทำงานกับโปรแกรมที่ไม่สามารถใช้งานได้เทียบเท่ากับตัวเองเนื่องจากคุณสมบัตินั้นไม่สามารถระบุได้ อาจเป็นปัญหาที่สามารถตัดสินใจได้เมื่อถูก จำกัด กับอินสแตนซ์เหล่านั้น (แต่ฉันสงสัยว่ามันจะไม่) แต่ชุดของอินสแตนซ์นั้นไม่สามารถระบุได้ดังนั้นคุณจึงไม่สามารถทำการ จำกัด ได้$P$

มีอัลกอริธึมที่จะแสดงว่าบางคลาสของโปรแกรมทำหรือไม่หยุด ตัวอย่างเช่น,

• เป็นไปได้ที่จะกำหนดอัลกอริธึมว่าโปรแกรมที่จำลองเครื่อง จำกัด สถานะหยุดทำงานหรือไม่
• เป็นไปได้ที่จะกำหนดทางคณิตศาสตร์ว่าเครื่องทัวริงที่มีขอบเขตเป็นเส้นตรงจะหยุดลงหรือไม่
• หากคุณรู้ว่ามีโปรแกรมซับซ้อนอยู่ในคลาสใดคุณจะรู้ว่าโปรแกรมหยุดทำงานเพื่อรับอินพุตที่ จำกัด

ในขณะที่ไม่มีอัลกอริทึมในการพิจารณาว่าโปรแกรมใดหยุดทำงานโค้ดส่วนใหญ่ได้รับการออกแบบมาเพื่อหยุด (เช่นรูทีนย่อยส่วนใหญ่) หรือไม่หยุด (เช่นวงวนไม่สิ้นสุดเพื่อจัดการเหตุการณ์) และเป็นไปได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณสามารถมีอัลกอริทึมที่ตอบว่า "หยุด", "ไม่หยุด" หรือ "I dunno" และอัลกอริทึมดังกล่าวสามารถออกแบบให้ครอบคลุมโปรแกรมมากพอที่จะเป็นประโยชน์

การพิสูจน์โดยความขัดแย้งไม่จำเป็นต้องละเอียดถี่ถ้วนตัวอย่างเคาน์เตอร์เดียวก็เพียงพอแล้ว การพิสูจน์ปัญหาการหยุดชะงักที่ไม่สามารถตัดสินใจได้จะช่วยให้คุณมีตัวอย่างหนึ่งของ P ซึ่งคุณสมบัติการหยุดไม่สามารถตัดสินใจได้ หลักฐานนี้ไม่ได้ระบุว่า P เป็นโปรแกรมดังกล่าวเท่านั้นในความเป็นจริงอาจมีการพิสูจน์อิสระที่สร้างคลาสที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงของ P

การพิสูจน์นั้นเป็นเรื่องทั่วไปมากขึ้น: ปัญหาการหยุดชะงักเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทข้าวซึ่งระบุไว้

ถ้าเป็นคุณสมบัติของโปรแกรมที่ไม่ขึ้นกับการเป็นตัวแทนมันเป็นจริงเสมอเท็จเสมอหรือไม่สามารถตัดสินใจได้$\Phi$

ที่ "เป็นอิสระจากการเป็นตัวแทน" หมายถึงว่าถ้าและBเป็นโปรแกรมที่มีพฤติกรรมเหมือนกันสำหรับปัจจัยการผลิตทั้งหมดแล้วΦ ( )ถือ IFF Φ ( B )ถือ$A$$B$$\Phi(A)$$\Phi(B)$

ซึ่งหมายความว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับทุกอินพุตชุดของโปรแกรมที่หยุดบนxนั้นไม่สามารถระบุได้ คุณไม่สามารถตัดสินใจได้โดยการลดพื้นที่อินพุต$x$$x$

คุณสามารถรับผลลัพธ์บางอย่างได้ด้วยการ จำกัด พื้นที่ของโปรแกรมที่คุณต้องการใช้งานแม้ว่าข้อ จำกัด เหล่านี้จะค่อนข้างรุนแรง ตัวอย่างเช่นหากคุณรับประกันว่าโปรแกรมที่คุณได้รับจะหยุดพักภายใน 100 ขั้นตอนหรือทำงานตลอดไปตัดสินใจว่าจะหยุดพักหรือไม่

$N$$k$$BB(k)$

ให้ R เป็นชุดที่นับซ้ำ แต่ไม่สามารถเรียกซ้ำได้ มีฉากดังกล่าวมากมาย ปล่อยให้ T เป็นเครื่องจักรทัวริงที่หยุดอยู่กับอินพุต k ถ้า k มีค่าใน R ถ้าเช่นนั้น T จะมีอยู่สำหรับชุดนับจำนวนที่เรียกซ้ำได้ มันเป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนโปรแกรมที่สามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักของ T นี้นี่เป็นเพราะอัลกอริทึมใด ๆ ที่จะตรวจสอบว่า T halts จะให้อัลกอริทึมสำหรับการพิจารณาสมาชิกใน R ซึ่งเป็นไปไม่ได้ถ้า R เนื่องจากมีจำนวน R มากเช่นนี้แต่ละเครื่องให้ทัวริงที่แตกต่างกันมีเครื่องทัวริงจำนวนมากที่โปรแกรมหยุดทำงาน P ที่พยายามจะล้มเหลว