อาจมีการขออภัยในการถามคำถามอื่นเกี่ยวกับข้อกำหนดเบื้องต้น แต่ฉันสับสนเกี่ยวกับจุดเริ่มต้น ฉันเจอคำศัพท์ต่าง ๆ เช่น "Modal Logic", "Temporal logic", "First-order Logic", "ตรรกะลำดับที่สอง" และ "ตรรกะลำดับที่สูงกว่า"

"ลอจิก" มีความหมายอะไรในบริบทนี้ เราจะนิยามคำว่า "ลอจิก" อย่างจริงจังได้อย่างไร?

หลังจากผ่านหน้าเริ่มต้นของหนังสือสองสามเล่มฉันสามารถสรุปได้อย่างคร่าว ๆ ว่า "ลอจิกคือวิธีการตัดสินใจสิ่งที่ตามมาจากสิ่งที่มีความสำคัญในการออกแบบภาษาการเขียนโปรแกรมตามที่กำหนดและอำนวยความสะดวกในการออกแบบโปรแกรม เพื่อทำความเข้าใจเกี่ยวกับจุดที่สองในลักษณะที่ละเอียด

ตอนนี้มาถึง logics เหล่านี้

Logics เหล่านี้ทั้งหมด "temporal Logic", "Modal Logic", "First order Logic", "ตรรกะลำดับที่สูงกว่า" เป็นอิสระจากกันหรือเราจำเป็นต้องเข้าใจตรรกะเหล่านี้เล็กน้อยเพื่อทำความเข้าใจกับคนอื่น ๆ ในกลุ่มนี้? สรุปสิ่งที่จำเป็นสำหรับพวกเขาคืออะไร? (มันจะดีมากถ้าฉันจะได้รับคำแนะนำเกี่ยวกับวัสดุบางอย่างด้วย)

PS: ขอบคุณมากสำหรับความมีน้ำใจของคุณ

โดยพื้นฐานแล้วตรรกะประกอบด้วยสองสิ่ง

• ไวยากรณ์คือชุดของกฎที่กำหนดว่าอะไรคืออะไรและไม่ใช่สูตร
• ซีแมนทิกส์คือชุดของกฎที่กำหนดว่าสูตรใดที่ "จริง" และ "เท็จ" คืออะไร สำหรับนักทฤษฎีแบบจำลองสิ่งนี้แสดงโดยสูตรที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่พวกมันเป็นจริง กับทฤษฎีการพิสูจน์ความจริงสอดคล้องกับ provability จากชุดได้รับการแต่งตั้งของสัจพจน์กับชุดที่ได้รับการแต่งตั้งของกฎหลักฐาน (เทคนิค)

ความแตกต่างระหว่าง logics ที่แตกต่างกันคือสิ่งที่ง่ายที่สุดในการเลือกไวยากรณ์และซีแมนทิกส์ logics ส่วนใหญ่จะเป็นส่วนขยายของตรรกะประพจน์หรือตรรกะลำดับแรก ในความเป็นจริงคุณสามารถเห็นส่วนขยายเหล่านี้ว่า "เพิ่มคุณสมบัติเพิ่มเติม" กับตรรกะ ตัวอย่างเช่นการบันทึกชั่วคราวเกี่ยวกับความจริงที่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ตลอดเวลา

โดยทั่วไปคุณสมบัติเหล่านี้สามารถแสดงในตรรกะที่ง่ายกว่าโดยไม่ต้องเขียนสูตรอีกต่อไป ยกตัวอย่างเช่นแนวคิดชั่ว "  เป็นจริงจากจุดนี้นิรันดร์" สามารถแสดงออกในทางที่สั่งซื้อครั้งแรกโดยการเพิ่มพารามิเตอร์เวลาที่จะเสนอทั้งหมดของคุณและพูดว่า "สำหรับทุกครั้ง ถ้า  คือมากกว่าหรือเท่ากับ ถึงเวลาปัจจุบัน  จะเป็นจริง ณ เวลา  " ในแง่หนึ่งคุณสามารถคิดว่า logics เหล่านี้เป็นการเพิ่มไลบรารี่ในภาษาการเขียนโปรแกรมพื้นฐานเพื่อให้คุณสามารถพูดสิ่งต่าง ๆ ได้ง่ายt t φ $\varphi$$t$$t$$\varphi$$t$

เนื่องจากการลอจิกทั้งหมดนั้นใช้ตรรกะเชิงประพจน์และลำดับที่หนึ่งฉันจึงแนะนำให้เรียนรู้เกี่ยวกับสิ่งเหล่านั้นก่อน

ในขณะที่สาขาต่าง ๆ เช่นวิทยาการคอมพิวเตอร์คณิตศาสตร์และฟิสิกส์มีการจัดระเบียบค่อนข้างดีลอจิกมีประวัติวุ่นวาย องค์กรของมันสับสนจริงๆดังนั้นฉันคิดว่ามันสำคัญที่จะต้องอ่านประวัติเพื่อทำความเข้าใจกับโครงสร้างที่หนาแน่นของสนาม

เส้นทางที่คุณควรเลือกจะขึ้นอยู่กับพื้นหลังและเป้าหมายของคุณ

ตรรกะคืออะไร

1. มุมมองแบบดั้งเดิมบอกว่าตรรกะเป็นระบบที่เป็นทางการด้วยภาษาที่เป็นทางการ (ไวยากรณ์), ความหมาย (ความหมายภายนอก, คิดว่าเป็นล่ามของโปรแกรม) และชุดของกฎเพื่ออนุมานคำพูดจากคนอื่น ๆ (คิดว่ากฎของ การลดโปรแกรม) ตรรกะนั้นถูกมองว่าเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียว

2. มุมมองที่ทันสมัยกล่าวว่าผ่านมอร์ฟิซึ่มส์ Curry-Howard ที่มีชื่อเสียงว่าตรรกะเป็นระบบประเภทที่เชื่อมโยงกัน (การพิสูจน์เป็นโปรแกรมและประเภทเป็นสูตร) แม่นยำยิ่งขึ้น: ระบบการอนุมานกฎเพลิดเพลินกับทฤษฎีการตัดและทฤษฎีบทการรวมกลุ่มของโบสถ์ - Rosser / ทฤษฎีการบรรจบกันซึ่งหมายความว่าระบบการเขียนโปรแกรมพื้นฐานจะทำงานได้ดี

3. เกี่ยวกับการสั่งซื้อตรรกะเชิงประพจน์สามารถถูกมองว่าเป็นระบบการสั่งซื้อ 0 (สมมุติว่าตัวแปรสำหรับข้อเสนอมีการบันทึกไว้ ) พวกเขาทำตัวเหมือนฟังก์ชั่นโดยไม่มีข้อโต้แย้ง (ค่าคงที่)$p, q$

   • เมื่อเราไปตรรกะลำดับแรกตัวแปรสำหรับข้อเสนอกลายเป็นตัวแปรของภาคและใช้เวลาวัตถุเป็นอาร์กิวเมนต์ ,x_n) พวกมันทำตัวเหมือนฟังก์ชั่นที่ถ่ายวัตถุ (คู่, จำนวนเต็ม, สตริง) เป็นอาร์กิวเมนต์ นึกถึงภาษาCP ( x 1 , . . . , x n ) Q ( x 1 , . . . , x n$P, Q$$P(x_1, ..., x_n)$$Q(x_1, ..., x_n)$
   • ในลอจิกลำดับที่สองตัวแปรสำหรับเพรดิเคตจะเป็นชนิดของฟังก์ชันที่รับลำดับที่หนึ่ง พวกมันทำตัวเหมือนฟังก์ชั่นที่รับฟังก์ชั่นอันดับหนึ่งเป็นอาร์กิวเมนต์ ตัวอย่างเช่นเราสามารถมีภาคแสดงและปริมาณมากกว่าภาคแสดง
   • การให้เหตุผลที่เหมือนกันสำหรับคำสั่งซื้อที่สามเป็นต้น Logics คำสั่งซื้อที่สูงกว่ายอมรับคำสั่งใด ๆ คิดว่าHaskellและOCamlซึ่งมีฟังก์ชั่นการใช้งานฟังก์ชั่นการทำงานของฟังก์ชั่น ฯลฯ เป็นอาร์กิวเมนต์

4. โดยทั่วไปไม่มีความเห็นเป็นเอกฉันท์เกี่ยวกับสิ่งที่เป็นลอจิกตรรกะ นักปรัชญาบางคนใช้ระบบที่ไม่มีระบบการเขียนโปรแกรมพื้นฐานที่สอดคล้องกัน จริงๆแล้วฉันจะบอกว่าทุกสาขาที่ใช้ลอจิกมีความคิดของตัวเองของตรรกะ และนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่อาจไม่สนใจว่าตรรกะคืออะไร

โครงสร้างของสนาม

ประวัติศาสตร์ของลอจิกมีขนาดใหญ่เกินไปดังนั้นฉันจะให้โครงสร้างของสนาม สนามของตรรกะที่เป็นทางการแบ่งออกเป็น: การใช้ปรัชญาคณิตศาสตร์และการคำนวณ ตรรกะอย่างเป็นทางการเริ่มต้นในศตวรรษที่ 19-20

• คุณควรศึกษาตรรกะเชิงประพจน์และตรรกะอันดับหนึ่งก่อน พวกเขาเป็นคนที่ได้มาตรฐานมากที่สุด พวกเขาถูกสร้างขึ้นเพื่อให้บัญชีอย่างเป็นทางการ / ทางคณิตศาสตร์กับตรรกะเก่าของยุคกรีกโบราณ

  • ทฤษฎีแบบจำลอง (อรรถศาสตร์) ศึกษาโครงสร้างทางคณิตศาสตร์จากมุมมองของตรรกะ
  • ทฤษฎีการพิสูจน์ (ไวยากรณ์) อิสระศึกษาหลักฐานในฐานะที่เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์

• ตรรกะลำดับสองคือส่วนขยายของตรรกะลำดับแรกซึ่งเป็นส่วนขยายของตรรกะเชิงประพจน์ มันน่าสนใจอย่างยิ่งเพราะเลขคณิต "สด" ในลำดับที่สอง (เพรดิเคตของเพรดิเคตด้วยการเหนี่ยวนำ) โทโพโลยีอาศัยอยู่ใน "ลำดับที่สาม" (เพรดิเคตในเซตที่สามารถมองเห็นเป็นเพรดิเคตเอง)

• จากนั้นLEJ Brouwerซึ่งแยกตรรกะออกเป็นสองส่วน:

  • Classical Logicเป็นตรรกะปกติตามที่กำหนดไว้ก่อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับทุก,ถือ (ยกเว้นกลาง)∨ $A$$A \lor \lnot A$
  • Intuitionistic Logicเป็นตรรกะชนิดหนึ่งที่ปฏิเสธกลางและกฎหมายที่เท่าเทียมกันทั้งหมด (สำหรับเหตุผลทางเทคนิคและปรัชญาที่ฉันจะไม่อธิบายที่นี่)

• ในบริบทอื่นนักปรัชญาเริ่มให้ความสนใจในตรรกะที่เป็นทางการและคิดว่ามันสามารถตอบคำถามเชิงปรัชญาได้ (ปรัชญานักวิเคราะห์) พวกเขาสร้างระบบลอจิคัลอิสระของตัวเอง (logics paraconsistent logics ความเกี่ยวข้องและ logics modal เช่น logics deontic, logics ชั่วคราว, logics epistemic, ... ) Logal ของ Modal นั้นใช้ไม่ได้กับความจริง แต่มี modalities เช่นความเป็นไปได้, ความจำเป็น, เวลา, ความรู้ พวกเขาทั้งหมดเป็นอิสระจาก logics ข้างต้น

• The Curry-Howard correspondence ให้การติดต่ออย่างเป็นทางการ (isomorphism) ระหว่างการพิสูจน์และโปรแกรม ตอนนี้ logics มากมายอาจถูกมองว่าเป็นระบบการเขียนโปรแกรม ตรรกะปรีชาญาณซึ่งถูกเพิกเฉยเล็กน้อยตอนนี้ถูกมองว่าเป็นระบบการเขียนโปรแกรมการทำงาน ( -calculus) จะนำไปสู่การศึกษาของประเภททฤษฎี มันเป็นหัวข้อที่ใช้งานในปัจจุบันของการวิจัย$\lambda$

• นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ต้องการตรวจสอบและพิสูจน์ความเป็นระบบในแบบเป็นทางการและดูเหมือนว่า logics กิริยามีความเกี่ยวข้อง วันนี้พวกเขาใช้การบันทึกชั่วคราวและตรรกะโมดอลเพื่อให้เหตุผลกับระบบ (ดู: วิธีการอย่างเป็นทางการ, การตรวจสอบรูปแบบ) ระบบถูกสร้างแบบจำลองผ่านทฤษฎีออโตมาตา (ตัวอย่าง) และตรวจสอบโดยใช้เครื่องมือโลจิคัล มันนำไปสู่การเชิงเส้นขมับลอจิก (LTL)และการคำนวณต้นไม้ลอจิก (CTL)

• ในแรงจูงใจเดียวกันนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ต้องการตรวจสอบความสมบูรณ์และพิสูจน์คุณสมบัติเกี่ยวกับโปรแกรม ดังนั้นเราจึงคิดค้นโฮร์ลอจิกสำหรับโปรแกรมที่จำเป็นและอื่น ๆ โดยทั่วไปLogics แยก

• โดยการศึกษา Curry-Howard isomorphism เป็นตรรกะใหม่ที่เกิดขึ้น: Linear Logicซึ่ง จำกัด กฎโครงสร้าง (การอ่อนตัวและการหดตัว) ที่มองว่าเป็นการลบและการทำงานซ้ำซ้อนในการพิสูจน์และโปรแกรม ศักยภาพที่ไม่มีที่สิ้นสุดของความจริงถูกสำรวจ ดูเหมือนว่าตรรกะนี้เป็นลักษณะทั่วไปของตรรกะคลาสสิกและ intuitionistic และให้ความคิดใหม่ของตรรกะบนพื้นฐานของการคำนวณและกระบวนทัศน์กระบวนงาน ส่วนใหญ่เป็นการศึกษาโดยนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

• ลอจิกเชิงเส้นยังมาจากสิ่งที่เราเรียกว่าลอจิคัล Substructuralปฏิเสธกฎโครงสร้างของลอจิก ลอจิกที่เกี่ยวข้องและลอจิก Affine เป็นตัวอย่างสำหรับระบบดังกล่าว

สรุปและเลือกเส้นทาง

• ตรรกะใด ๆ อาจเป็น: ตรรกะเชิงประพจน์ลำดับที่หนึ่งลำดับที่สองลำดับที่สามลำดับที่ ... ลำดับที่สูงขึ้น

• เราสามารถเพิ่มหรือลบกฎเพื่อสร้างตัวแปรของระบบที่มีอยู่:

  • ลบตรรกะที่ไม่รวมกึ่งกลาง: intuitionistic
  • เพิ่ม modalities: modal logics
  • จำกัดความขัดแย้งและการอ่อนแรง: ตรรกะเชิงเส้น
  • ลบการหดตัว: เลียนแบบตรรกะ
  • ลบความอ่อนแอ: ตรรกะที่เกี่ยวข้อง
  • จัดการกับการปฏิเสธต่างกัน: ตรรกะแบบ paraconsistent

• เรียนรู้ตรรกะเชิงประพจน์และคำสั่งแรกก่อนและ:

  • ทฤษฎีโมเดล, อันดับที่สอง, ลำดับที่สูงกว่าหากคุณสนใจคณิตศาสตร์
  • ทฤษฎีการพิสูจน์ตรรกะปรีชาลำดับที่สองตรรกะเชิงเส้นหากคุณสนใจรากฐานของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์
  • Logal Logics, Hoare Logics, Logics แยกหากคุณสนใจในการยืนยันระบบและโปรแกรม
  • logal แบบโมดัล, logics ที่ไม่ใช่แบบคลาสสิกโดยทั่วไปหากคุณสนใจในปรัชญา

ข้อมูลอ้างอิง (หนังสือ)

ฉันเองแนะนำให้ผสมการอ้างอิงถ้าเป็นไปได้

• คณิตตรรกศาสตร์ (Chiswell & Hodges) : หนังสือที่รัดกุมและง่ายมากที่จะเริ่มต้นด้วย
• หลักสูตรแรกในลอจิก (Hedman) : เป็นเหมือนหลักสูตรด้านบน แต่ให้รายละเอียดเพิ่มเติมและคำนึงถึงความสามารถในการคำนวณ
• คู่มือของตรรกะเชิงปฏิบัติและการใช้เหตุผลอัตโนมัติ (แฮร์ริสัน) : หากคุณต้องการที่จะเข้าใจว่ามีการนำแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับตรรกะมาใช้ในทางปฏิบัติอย่างไร เน้นการให้เหตุผลแบบอัตโนมัติมากขึ้น
• ลอจิกในวิทยาการคอมพิวเตอร์ (Huth & Ryan) : ชัดเจนมากและมุ่งเน้นไปที่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ (การตรวจสอบโปรแกรมและระบบลอจิก Hoare การใช้ประโยชน์จากตรรกะโมดอลตรรกะชั่วคราวการตรวจสอบแบบจำลอง)
• ทฤษฎีพิสูจน์เบื้องต้น (Buss) : บทนำของทฤษฎีพิสูจน์ ควรอ่านเรื่องนี้ดีกว่าตรรกะทั่วไป

ข้อมูลอ้างอิง (Wikipedia)

• https://en.wikipedia.org/wiki/Philosophical_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Curry%E2%80%93Howard_correspondence
• https://en.wikipedia.org/wiki/Non-classical_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Modal_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Model_theory
• https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_theory
• https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_temporal_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Computation_tree_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Separation_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Hoare_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_logic
• https://en.wikipedia.org/wiki/Substructural_logic

ทั้งหมด logics เหล่านี้จะมาอยู่ภายใต้ของคณิตศาสตร์ Logic

ตรรกะทางคณิตศาสตร์มักถูกแบ่งออกเป็นส่วนของทฤษฎีเซตทฤษฎีแบบจำลองทฤษฎีการวนซ้ำและทฤษฎีการพิสูจน์ พื้นที่เหล่านี้แบ่งปันผลลัพธ์พื้นฐานเกี่ยวกับตรรกะโดยเฉพาะอย่างยิ่งตรรกะลำดับแรกและความชัดเจน ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการจำแนก ACM) ตรรกะทางคณิตศาสตร์บนโลกไซเบอร์ครอบคลุมหัวข้อเพิ่มเติมที่ไม่มีรายละเอียดในบทความนี้; เห็นเหตุผลในวิทยาการคอมพิวเตอร์สำหรับสิ่งเหล่านั้น

นอกจากนี้หากคุณต้องการทราบเกี่ยวกับตรรกะในแง่ทั่วไปบทความนี้อาจมีประโยชน์

ตรรกะเดิมทีหมายถึง "คำว่า" หรือ "สิ่งที่พูด" แต่มาถึงความหมาย "ความคิด" หรือ "เหตุผล" เป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับกฎหมายความจริงทั่วไปมากที่สุดและตอนนี้โดยทั่วไปจะประกอบด้วยการศึกษาอย่างเป็นระบบ ของรูปแบบของการอนุมานที่ถูกต้อง การอนุมานที่ถูกต้องเป็นสิ่งที่มีความสัมพันธ์เฉพาะของการสนับสนุนทางตรรกะระหว่างสมมติฐานของการอนุมานและการสรุป