เครื่องจักรทัวริง + การขยายเวลา = แก้ปัญหาการหยุดพักหรือไม่

มีความสัมพันธ์ระหว่างกาลอวกาศ (เช่น MH spacetimes; ดู Hogarth 1994) ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุดของโลกที่สามารถบรรจุไว้ในอดีตของผู้สังเกตการณ์ที่มีขอบเขต ซึ่งหมายความว่าผู้สังเกตการณ์ปกติสามารถเข้าถึงจำนวนขั้นตอนการคำนวณได้ไม่ จำกัด

สมมติว่าเป็นไปได้ที่คอมพิวเตอร์จะทำงานได้อย่างสมบูรณ์แบบในระยะเวลาไม่ จำกัด (และฉันรู้ว่ามันเป็นคำถามที่ยิ่งใหญ่): เราสามารถสร้างคอมพิวเตอร์ HM ที่เดินทางไปตามโลกที่ไม่มีที่สิ้นสุดนี้ HM ส่งสัญญาณไปยังผู้สังเกตการณ์ที่แน่นอน ถ้าหลังจากผู้สังเกตการณ์ไม่ได้รับสัญญาณจำนวนก้าวที่ไม่สิ้นสุดผู้สังเกตจะรู้ว่าเอ็มลูปแก้ปัญหาการหยุดชะงัก

จนถึงตอนนี้ฟังดูโอเคสำหรับฉัน คำถามของฉันคือ: ถ้าสิ่งที่ฉันพูดไปนั้นถูกต้องแล้วสิ่งนี้จะเปลี่ยนแปลงข้อพิสูจน์ของทัวริงได้อย่างไรว่าปัญหาการหยุดพักไม่สามารถตัดสินใจได้ ทำไมหลักฐานของเขาล้มเหลวในการ spacetimes เหล่านี้ ?

โปรดทราบว่าการพิสูจน์ของทัวริงเป็นหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ไม่ใช่วิชาฟิสิกส์ ภายในโมเดลของเครื่องทัวริงที่กำหนดทัวริงความไม่แน่นอนของปัญหาการหยุดชะงักได้รับการพิสูจน์แล้วและเป็นข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นการพิสูจน์ของทัวริงจะไม่ 'ล้มเหลว' ในกาลอวกาศมันจะไม่พิสูจน์อะไรเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของปัญหาการหยุดชะงักและการขยายเวลา

อย่างไรก็ตามสิ่งที่คุณอาจต้องการทราบก็คือ 'เครื่องขยายเวลาทัวริง' สามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักได้หรือไม่

หากคุณต้องการศึกษาผลกระทบของ 'การขยายเวลา' ในเครื่องทัวริงคุณจะต้องระบุรูปแบบที่เป็นทางการซึ่งเราสามารถเข้าใจอย่างเป็นทางการว่าเครื่อง Turing ใช้การขยายเวลาอย่างไร น่าเสียดายที่รูปแบบนี้ไม่เหมาะสมสำหรับการให้แบบจำลองที่เป็นทางการ (เว้นแต่มีคนอื่นเขียนบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้) เนื่องจากการสร้างแบบจำลองนั้นกว้างเกินไป

อย่างไรก็ตามมันไม่น่าเป็นไปได้ที่การทำให้เป็นระเบียบบางอย่างสามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักได้ บทความนี้โดย Scott Aaronson, Mohammad Bavarian และ Giulio Gueltriniดูที่แบบจำลองการคำนวณภายใต้สมมติฐานที่เรียกว่า loops เหมือนเวลาปิดและสรุปว่าปัญหาการหยุดชะงักนั้นคำนวณได้จริงภายในแบบจำลองนั้น

เครื่องทัวริงเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการของการคำนวณมันไม่ได้ตอบข้อ จำกัด ทางกายภาพใด ๆ และไม่สนใจผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพ ซึ่งหมายความว่าการพิสูจน์ของทัวริงไม่ได้ล้มเหลวเนื่องจากคำจำกัดความมาตรฐานของเครื่องทัวริงไม่ได้มีแนวคิดของ "spacetime"

สิ่งที่คุณสามารถลองทำคือกำหนดรูปแบบการคำนวณที่แตกต่างซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากสัมพัทธภาพ อีกครั้งนี่จะเป็นวัตถุทางการเท่านั้นและคำถามที่ว่ามันสามารถหรือไม่สามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักได้หรือไม่นั้นเป็นของอาณาจักรคณิตศาสตร์และขึ้นอยู่กับคำจำกัดความเฉพาะของคุณ อย่างไรก็ตามคำถามที่แท้จริงในขณะนี้คือว่ารูปแบบใหม่นี้ถูกต้องจับผลกระทบเชิงความสัมพันธ์อย่างถูกต้องหรือไม่นั่นคือมันสะท้อนให้เห็นถึงฟิสิกส์ของเราจริง ๆ และสามารถนำไปใช้ในโลกของเราได้หรือไม่?

คุณสามารถดูการสนทนาเกี่ยวกับการคำนวณควอนตัม เรามีคำนิยามอย่างเป็นทางการของ "เครื่องทัวริงควอนตัม" และพลังการคำนวณที่แน่นอนของพวกเขายังคงเป็นปัญหาที่เปิดในคณิตศาสตร์ (ไม่ได้ใกล้เคียงกับปัญหาการหยุดชะงัก) ถึงกระนั้นคุณสามารถยืนยันว่าคำจำกัดความนี้ไม่ได้สะท้อนความเข้าใจในฟิสิกส์ควอนตัมของเราและจำเป็นต้องมีสิ่งที่ดีกว่า มีข้อโต้แย้งที่แสดงให้เห็นว่าเครื่องจักรดังกล่าวไม่สามารถสร้างได้ดังนั้นพลังที่แน่นอนของพวกเขาจึงไม่มีผลต่อการทำวิทยานิพนธ์ที่น่าเชื่อถือของโบสถ์

กลับไปที่คำถามของคุณ มีแนวคิดอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับเครื่องจักรทัวริงที่ไม่มีที่สิ้นสุดแต่เพื่อให้มันมีผลกระทบต่อการทำวิทยานิพนธ์ของทัวริง - ทัวริงคุณจำเป็นต้องมีมันในทางปฏิบัติ คุณอาจสนใจในบทความของ Scott ซึ่งมีหัวข้อเกี่ยวกับการคำนวณที่ใช้เอฟเฟกต์สัมพัทธภาพแม้ว่ามันจะดูเหมือนว่าการโต้แย้งที่ไร้เดียงสาไร้ความหวัง

การพิสูจน์ของทัวริงแสดงให้เห็นว่าไม่มีเครื่องทัวริงสามารถแก้ปัญหาการหยุดไม่ว่าคุณจะให้เวลาเท่าใด หากยานอวกาศของคุณใช้การขยายเวลาเพื่อให้คอมพิวเตอร์ใช้เวลาหนึ่งพันล้านปีในการทำงานมันก็ยังคงไม่สามารถบอกอะไรคุณได้ชัดเจนไปกว่า“ ยังไม่ได้”

เห็นได้ชัดว่า (ขอบคุณ @DiscreteLizard!) หากคุณมีเวลาเดินทางที่ไม่สามารถทำให้เกิดความขัดแย้งคุณสามารถตั้งค่าช่วงเวลาที่จะทำให้เกิดความขัดแย้งหากคอมพิวเตอร์ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเครื่องทัวริงหยุดทำงานหรือไม่ ไม่ว่าจะได้รับคำตอบจากอนาคตและส่งกลับไปยังตัวมันเองหรือมันจะทำงานตลอดไป (และส่งกลับการซ้อนทับควอนตัมอย่างชาญฉลาดซึ่งจะเปลี่ยนเป็นช่วงเวลาที่เสถียร) แต่ก่อนที่คุณจะลองทำสิ่งนี้ให้แน่ใจว่าปลอดภัยที่จะทำให้เกิดความขัดแย้งในการเดินทางข้ามเวลา

การคัดค้านคือคุณได้กำหนดกระบวนการที่สามารถผลิตเอนโทรปีที่ไม่มีที่สิ้นสุดในพื้นที่ขนาดกะทัดรัดและดูเหมือนว่าจะทำเช่นนั้นในส่วนที่ จำกัด ของอดีตของผู้สังเกตการณ์ นี่หมายถึงบางสิ่ง

• เอนโทรปีของการคำนวณในภูมิภาคขนาดกะทัดรัดนั้นสูงกว่าBekensteinผูกพันกับเอนโทรปี (ซึ่งถูกผูกไว้เป็นสัดส่วนกับพื้นที่ผิวของภูมิภาค) ดังนั้นมันจึงยุบลงในหลุมดำ (ทันที) และไม่มีสัญญาณใดสามารถติดต่อคุณจากภายในได้ (Kerr metric อธิบายช่วงเวลาของ MH) กระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นถูกตั้งข้อสังเกตให้เสร็จสิ้นเมื่อผู้สังเกตการณ์ผ่านเข้าไปในขอบฟ้าเหตุการณ์ภายในโดยไม่คำนึงถึงความไม่แน่นอนในปัจจุบันเกี่ยวกับฟิสิกส์ของเนื้อเรื่องดังกล่าวไม่มีผู้สังเกตการณ์จากระยะไกล - มีเพียงผู้สังเกตการณ์ที่หายไปในหลุมดำเท่านั้นที่มีผลลัพธ์นี่ไม่ใช่คำอธิบายของกระบวนการคำนวณที่มีประโยชน์ในการถอดความ: "เรามี oracle ที่สร้างคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามใด ๆ ที่คุณถามในเวลาคงที่เช่นนี้ วิธีที่คำตอบนั้นมีอยู่ในทันทีที่มันถูกทำลายโดยการล้างมันลงไปในหลุมดำ ")
• เครื่องทัวริงทำลายข้อมูลทุกครั้งที่มันเขียนทับสัญลักษณ์บนเทปดังนั้นโดยหลักการของ Landauerการคำนวณที่แน่นอนบนเส้นโลกที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งถูกบีบอัดเป็นส่วน จำกัด ในกรวยแสงที่ผ่านมาของการสังเกตต้องสังเกตว่าต้องการพลังงานและปล่อย ความร้อนที่ไม่มีที่สิ้นสุดในช่วงเวลาที่น้อยที่สุดมันเป็นที่สังเกตว่าการทำงาน นั่นคือเนื่องจากการหยุดทำได้ในเวลาที่ จำกัด จึงทำได้ทันทีจากมุมมองของผู้สังเกตการณ์ภายนอกดังนั้นพลังงานทั้งหมดจึงถูกใช้ในทันทีและความร้อนทั้งหมดจะถูกพัฒนาทันที อีกทางเลือกหนึ่งถ้าการคำนวณไม่ได้หยุดขอบเขตกะทัดรัดจะใช้พลังงานไม่สิ้นสุดและปล่อยความร้อนไม่สิ้นสุด ผลสุทธิ: หลุมดำอีกครั้ง
• อีกวิธีหนึ่งคือหลักการ Landauer ไม่ได้นำไปใช้กับคอมพิวเตอร์แบบพลิกกลับได้และมีอยู่ ( สากล ) เครื่องจักรทัวริงกลับได้ อย่างไรก็ตามเครื่องทัวริงเช่นนั้นต้องการความสามารถในการแสดงพื้นที่ทั้งหมดของสถานะการคำนวณที่มีศักยภาพซึ่งเป็นเลขยกกำลังในขนาดของจำนวนเทปที่ใช้ดังนั้นจึงวิ่งเข้าไปใน Bekenstein อย่างรวดเร็ว ท้ายที่สุดเราสามารถหลีกเลี่ยงปัญหาความร้อนได้ด้วยการ จำกัด เฉพาะเทปที่มีความยาวเท่าขอบ เท่ากันเรามีขอบเขตบนความยาวของเทปที่ใช้งานได้ถูกควบคุมโดยพื้นที่ผิวของภูมิภาคที่มีโลกที่ไม่สิ้นสุด หากคุณไม่ได้คำนึงถึงเรื่องนี้และการคำนวณของคุณใช้เทปมากเกินไปคุณจะได้รับหลุมดำอีกครั้ง

มันเป็นคำถามเปิดที่น่าสนใจว่าข้อ จำกัด เหล่านี้ใช้กับคอมพิวเตอร์ควอนตัมหรือไม่ อาจเป็นไปได้ว่าความซับซ้อนของการคำนวณที่คอมพิวเตอร์ควอนตัมทำได้นั้นถูก จำกัด ด้วยพื้นที่ผิวของคอมพิวเตอร์ ดังนั้นเราอาจต้องเพิ่มพื้นที่ผิวของคอมพิวเตอร์ควอนตัมมากเป็นสองเท่าเพื่อรับการคำนวณที่ใช้งานได้มากกว่าหนึ่ง สิ่งนี้จะนำไปสู่คอมพิวเตอร์ขนาดใหญ่ที่ใช้งานไม่ได้อย่างรวดเร็ว

อ้างอิงจากเรียบ, Crunches, Whimpers และ Shrieks:

โคมไฟทอมสันสุดยอด $\pi$เครื่องจักรและคอมพิวเตอร์ Platonist เป็นส่วนหนึ่งของนักปรัชญา พวกเขาสามารถอยู่รอดได้ในบรรยากาศของวารสารปรัชญาเท่านั้น ในท้ายที่สุด M-H spacetimes และ supertasks ที่พวกเขาทำประกันอาจพิสูจน์ได้ว่าเป็นเรื่องสมมติสำหรับนักสัมพัทธภาพทั่วไปโดยไม่มีอะไรดีไปกว่านี้แล้ว แต่ในการที่จะมาถึงตำแหน่งหลังนี้ได้นั้นต้องให้คนแรกแก้ไขปัญหารากฐานที่ลึกที่สุดในสัมพัทธภาพทั่วไปแบบคลาสสิกรวมถึงธรรมชาติของภาวะเอกฐานและชะตากรรมของการเซ็นเซอร์จักรวาล มันคือการเชื่อมต่อกับปัญหาที่แท้จริงในวิชาฟิสิกส์ที่ทำให้พวกเขาสมควรที่จะพูดคุยกัน

นอกจากนี้ยังมีการเชื่อมต่อกับปรัชญาคณิตศาสตร์และทฤษฎีการคำนวณ เนื่องจากนักปราชญ์ด้านสติปัญญานักปรัชญาบางคนสงสัยว่ามันมีความหมายที่จะกำหนดค่าความจริงให้กับสูตรเลขคณิตของรูปแบบ$(\exists x_1)(\exists x_2)\dots(\exists x_n)F(x_l,x_2,\dots,x_n)$. ดูเหมือนว่าฉันไม่น่าสนใจที่จะทำให้ความจริงของข้อความทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับภาระผูกพันของโครงสร้างกาลอวกาศ การเรียงลำดับของข้อตกลงที่พิจารณาข้างต้นสามารถนำมาใช้ในการตัดสินคุณค่าความจริงของการยืนยันทางคณิตศาสตร์ด้วยรูปแบบปกติของ prenex ที่มีอยู่จริงล้วนๆหรือเป็นสากลอย่างหมดจด (ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์มีรูปแบบที่เป็นสากลอย่างแท้จริง) สำหรับการยืนยันดังกล่าว$\gamma_1$ ถูกตั้งค่าให้ทำงานเพื่อตรวจสอบรายการ (จำนวนนับไม่สิ้นสุด) ของ $n$- ทวีคูณของตัวเลขในการค้นหา falsifier หรือ verifier ตามการยืนยันที่จะทดสอบเป็นสากลหรือมีอยู่และ $\gamma_1$ความรู้เกี่ยวกับคุณค่าความจริงของการยืนยัน แต่ทันทีที่มีการผสมกันของปริมาณวิธีการล้มเหลว อย่างไรก็ตาม Hogarth (1994) ได้แสดงให้เห็นถึงวิธีการที่ซับซ้อนมากขึ้นในหลักการทั่วไปของความสัมพันธ์เชิงพื้นที่สามารถใช้ในการตรวจสอบค่าความจริงของการยืนยันทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ของความซับซ้อนเชิงปริมาณโดยพลการ ภายในกาลอวกาศมันยากที่จะเห็นวิธีการรักษาทัศนคติที่เราไม่ได้มีความคิดที่ชัดเจนของความจริงในการคำนวณ