ปัญหาทางคณิตศาสตร์แบบใดที่สามารถแก้ไขได้โดยผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติ

ฉันสามารถพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้โดยใช้ผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติที่มีอยู่ได้หรือไม่?

1. $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$(A

2. ถ้าแล้ว7a-5B$11 \mid 2a-3b$$11 \mid 7a-5b$

3. ถ้าแล้ว2-4ac}}}$ax^2+bx+c=0$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

4. หากคือค่าแม้จะเป็นเช่นนั้น$a$$4a$

และอื่น ๆ !

ฉันถามคำถามนี้เพราะฉันเพิ่งค้นพบการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทอัตโนมัติในการพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยเหตุผล

ข้อความส่วนใหญ่ของคุณเป็นพีชคณิตเบื้องต้นดังนั้นสิ่งเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้โดยอัตโนมัติโดยระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ (CAS) เช่น Maple หรือ Mathematica

(ในกรณีที่คุณสนใจคณิตศาสตร์หลัง CAS ฉันสามารถแนะนำหนังสือModern Computer Algebraโดย Joachim von zur Gathen และJürgen Gerhard หนังสือสวยงามถือเป็น 'พระคัมภีร์' ของฟิลด์)

ทฤษฎีการพิสูจน์โดยอัตโนมัติมีแนวโน้มที่จะเป็นกรณีส่วนใหญ่ของการทำการค้นหาฮิวริสติกในโครงสร้างที่แสดงถึงการพิสูจน์หากการพิสูจน์ไม่ใช่หนึ่งในไม่กี่กรณีที่มีอัลกอริทึมที่สามารถแก้ปัญหาได้อย่างแน่นอน เนื่องจากข้อความนี้ไม่ซับซ้อนมากนักมีแนวโน้มว่าผู้ตรวจสอบอัตโนมัติสามารถ 'ค้นหา' หลักฐานได้

อย่างไรก็ตามฉันคิดว่ามันน่าสนใจที่จะพูดเพิ่มเติมเกี่ยวกับข้อความที่มีอัลกอริทึมที่ดี:

คำแถลง 3 คือ (กรณีง่าย ๆ ) เกี่ยวกับรากของสมการพหุนามและสามารถแก้ไขได้โดยการหาพื้นฐานของGröbnerด้วยอัลกอริทึมของ Buchberger พื้นฐานของGröbnerและอัลกอริทึมของ Buchberger ในการค้นหาหนึ่งเป็นเครื่องมือที่ดีมากสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติ ตัวอย่างเช่นเราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทระดับประถมศึกษาในรูปทรงเรขาคณิตได้โดยอัตโนมัติด้วยการเปลี่ยนปัญหาโดยอัตโนมัติเพื่อค้นหารากของสมการพหุนามในวิธีที่ฉลาด!

คลาสของทฤษฎีบทที่น่าสนใจอีกอย่างคือข้อความที่แสดงในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของ Presburger ที่ไม่มีปริมาณ(โดยเฉพาะอย่างยิ่งเลขคณิตนี้ไม่มีการคูณดังนั้นสิ่งนี้จึงไม่สามารถนำไปใช้กับข้อความของคุณได้) เนื่องจากมีอัลกอริทึม ค่อนข้างช้า