การแก้ไขการเกิดซ้ำผ่านพหุนามลักษณะด้วยรากแบบจินตภาพ

ในการวิเคราะห์อัลกอริทึมคุณมักจะต้องแก้ปัญหาซ้ำ นอกเหนือไปจากโททฤษฎีบททดแทนและซ้ำวิธีการมีหนึ่งโดยใช้ชื่อที่ประกอบด้วยหลายลักษณะ

บอกว่าฉันได้ข้อสรุปว่าพหุนามลักษณะ $x^2 - 2x + 2$มีรากในจินตนาการคือ$x_1 = 1+i$ และ $x_2 =1-i$. ถ้าอย่างนั้นฉันก็ใช้ไม่ได้

$\qquad c_1\cdot x_1^n + c_2\cdot x_2^n$

ได้รับการแก้ปัญหาใช่มั้ย ฉันควรดำเนินการอย่างไรในกรณีนี้

ใช่การแก้ปัญหาเป็นจริง $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ สำหรับค่าคงที่บางค่า $\alpha$ และ $\beta$กำหนดโดยกรณีฐาน หากกรณีฐานเป็นจริงแล้ว (โดยการเหนี่ยวนำ) คำศัพท์ที่ซับซ้อนใน$T(n)$ จะยกเลิกสำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด $n$.

ตัวอย่างเช่นพิจารณาการเกิดซ้ำ $T(n) = 2T(n-1) - 2T(n-2)$กับกรณีฐาน $T(0)=0$ และ $T(1)=2$. พหุนามลักษณะของการเกิดซ้ำนี้คือ$x^2-2x+2$ดังนั้นทางออกคือ $T(n) = \alpha(1+i)^n + \beta(1-i)^n$ สำหรับค่าคงที่บางค่า $\alpha$ และ $\beta$. การเสียบเคสฐานทำให้เรา

$$T(0) = \alpha(1+i)^0 + \beta(1-i)^0 = \alpha+\beta = 0\\ T(1) = \alpha(1+i)^1 + \beta(1-i)^1 = (\alpha+\beta) + (\alpha-\beta)i = 2$$ ซึ่งแสดงถึง $$\alpha + \beta = 0 \\ \alpha - \beta = -2i$$ ซึ่งแสดงถึง $\alpha = -i$ และ $\beta = i$. ดังนั้นทางออกคือ $$T(n) = i\cdot ((1-i)^n - (1+i)^n).$$

ฟังก์ชั่นนี้จะสั่นระหว่าง $\sqrt{2}^n$ และ $-\sqrt{2}^n$ ด้วย "จุด" ของ 4 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรามี $T(4n) = 0$ เพื่อทุกสิ่ง $n$, เพราะ $(1-i)^4 = (1+i)^4 = -4$ (และเพราะฉันเลือกเคสหลัก $T(0)$ อย่างระมัดระวัง)