ห่วงโซ่ไม่มีที่สิ้นสุดของบิ๊ก

ก่อนอื่นให้ฉันเขียนนิยามของใหญ่เพื่อทำสิ่งที่ชัดเจน $O$

$f(n)\in O(g(n))\iff \exists c, n_0\gt 0$ เช่นนั้น $0\le f(n)\le cg(n), \forall n\ge n_0$

สมมติว่าเรามีฟังก์ชั่นจำนวน จำกัด :น่าพอใจ: $f_1,f_2,\dots f_n$

$O(f_1)\subseteq O(f_2)\dots \subseteq O(f_n)$

โดย transitivity ของเรามี: $O$ $O(f_1)\subseteq O(f_n)$

สิ่งนี้มีไว้หรือไม่ถ้าเรามีสายโซ่ที่ไม่สิ้นสุดของ ? อีกนัยหนึ่งคือ ? $O's$ $O(f_1) \subseteq O(f_\infty)$

ฉันมีปัญหาในการจินตนาการว่าเกิดอะไรขึ้น

asymptotics landau-notation

— saadtaame
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ก่อนอื่นเราต้องอธิบายสิ่งที่เราหมายถึงโดย "ถือนี้ถ้าเรามีห่วงโซ่ที่ไม่มีที่สิ้นสุด?" เราตีความว่ามันเป็นลำดับที่ไม่สิ้นสุดของฟังก์ชันเช่นนั้นสำหรับเรามี(n)) ลำดับดังกล่าวอาจไม่มีฟังก์ชันสุดท้าย $\{f_i:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \mid 1\leq i\}$ $i$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$

เราสามารถมองไปที่ขีด จำกัด ของการทำงานในลำดับเช่น(n) อย่างไรก็ตามเป็นไปได้ว่าไม่มีขีด จำกัด และแม้กระทั่งในกรณีที่มันมีอยู่เราอาจจะไม่ได้มี(n)) ยกตัวอย่างเช่นพิจารณาลำดับของฟังก์ชั่น{i} สำหรับแต่ละ , และดังนั้นจึง(n)) อย่างไรก็ตาม จึง(n)) $f_\infty(n) = \lim_{i\to \infty} f_i(n)$ $f_1(n) = O(f_\infty(n))$ $f_i(n) = \frac{n}{i}$ $i$ $f_i(n)=\Theta(n)$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$ $f_\infty(n)=\lim_{i\to\infty}f_i(n)=0=\Theta(1)$ $f_1(n) \neq O(f_\infty(n))$

บนมืออื่น ๆ ที่เราสามารถดูขีด จำกัด ของลำดับของการเรียนที่ซึ่งไม่จำเป็นต้องให้เท่ากับระดับของขีด จำกัด ของฟังก์ชั่นที่ เรามีดังนั้นและสำหรับทุกJขีด จำกัด ที่เหนือกว่ามีองค์ประกอบทั้งหมด (ฟังก์ชั่นในกรณีนี้) ซึ่งเกิดขึ้นบ่อยครั้งอย่างไม่ จำกัด และขีด จำกัด ที่ต่ำกว่ามีองค์ประกอบทั้งหมดที่เกิดขึ้นในสำหรับบางคน $f_i \in \mathcal O(f_{i+1})$ $\mathcal O(f_i) \subseteq \mathcal O(f_{i+1})$ $f_j \in \lim_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \limsup_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \liminf_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k>n}\mathcal O(f_k)$ $j$ $\mathcal O(f_i), i \ge n_0$ $n_0$ (ซึ่งอาจขึ้นอยู่กับองค์ประกอบ) เนื่องจากลำดับของคลาสนั้นเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากทั้งสองมีอยู่และมีค่าเท่ากัน justifies นี้การใช้งานของ\ $\lim$

— frafl
แหล่งที่มา

มีสองชุด: หนึ่งในฟังก์ชั่น (ซึ่งอาจมาบรรจบกันหรือไม่) และหนึ่งในชุด (ที่แต่ละชุดเป็นชุดสุดยอดของก่อนหน้านี้นี่คือเหตุผลที่ชุดนี้มาบรรจบกันดูคำนิยามของ Lim inf และ Lim sup สำหรับชุด) . ส่วนแรกตอบคำถามโดยไม่มีส่วนส่วนที่สองตอบส่วนทางลบ (ถ้าเป็นมะนาวบางชนิด)

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

เกิดอะไรขึ้นถ้าจำนวนคำที่ไม่สามารถนับได้? :)

— SamM

ใช้การเรียงลำดับที่ดีหรือคุณต้องการแทนที่ซีรีส์ด้วยบางสิ่งที่ต่อเนื่องมากกว่าหรือไม่ :)

— frafl

@Kaveh ขอบคุณมากมันทำให้รู้สึกมากตอนนี้ หากคุณสามารถแสดงให้เห็นถึงการใช้ข้อ จำกัด และความหมายของสิ่งนั้นนั่นหมายความว่านั่นจะทำให้ฉันเข้าใจ

— saadtaame

@saadtaame: อาจเป็นเพราะคำถามข้างต้นยังไม่ถามในสิ่งที่คุณอยากรู้? หากฉันจำได้อย่างถูกต้องคุณเพิ่มเนื่องจากมีความคิดเห็นแนะนำไว้ หากคุณให้บริบทบางคนอาจมีคนใช้คำถามใหม่อีกครั้ง

f_{\infty}

$f_\infty$

— frafl

ใช่เป็นไปได้ที่จะมีห่วงโซ่ไม่สิ้นสุด

ฉันแน่ใจว่าคุณคุ้นเคยกับตัวอย่างแล้ว: คุณมีโซ่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่นี่: พหุนามของระดับการเจริญเติบโต คุณไปต่อได้ไหม แน่นอน! เลขชี้กำลังเติบโตเร็วขึ้น (พูดแบบเชิงเส้นกำกับ) มากกว่าพหุนามใด ๆ และแน่นอนคุณสามารถไปต่อได้:

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots O(e^x)$

O (e^{x}) \subseteq O (x e^{x}) \subseteq O (e^{2 x}) \subseteq O (e^{e^{x}}) \subseteq \dots

$O(\mathrm{e}^x) \subseteq O(x\,\mathrm{e}^x) \subseteq O(\mathrm{e}^{2x}) \subseteq O(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}) \subseteq \ldots$

คุณสามารถสร้างโซ่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดในทิศทางอื่นได้เช่นกัน ถ้าดังนั้น (เกาะติดกับฟังก์ชั่นเชิงบวกเนื่องจากที่นี่เราพูดถึง asymptotics ของฟังก์ชันความซับซ้อน) ดังนั้นเราจึงมีตัวอย่าง: $f = O(g)$ $\dfrac{1}{g} = O\left(\dfrac{1}{f}\right)$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (\frac{e^{x}}{x^{2}}) \subseteq O (\frac{e^{x}}{x}) \subseteq O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right) \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x}\right) \subseteq O(e^x)$

ในความเป็นจริงเมื่อได้รับฟังก์ชั่นใด ๆคุณสามารถสร้างฟังก์ชั่นที่เติบโตเร็วกว่าพวกมันทั้งหมด (ฉันถือว่าเป็นฟังก์ชั่นจากถึง .) ก่อนอื่นเริ่มต้นด้วยความคิด\} อาจไม่ทำงานเนื่องจาก setสามารถถูก จำกัด ได้ แต่เนื่องจากเราเพียง แต่ยุ่งกับการเติบโตเชิงซีมโทติคก็พอที่จะเริ่มต้นเล็ก ๆ และเติบโตอย่างต่อเนื่อง ใช้เวลาไม่เกินกว่าจำกัดจำนวนหน้าที่ $f_1, \ldots, f_n$ $f_\infty$ $f_i$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}_+$ $f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$ $\{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$

f_{\infty} (x) = max {f_{n} (x) ∣ 1 \leq n \leq N} if N \leq x < N + 1

$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid 1 \le n \le N \} \qquad \text{if $N \le x \lt N+1$}$ แล้วสำหรับการใด ๆ ,ตั้งแต่(x) หากคุณต้องการฟังก์ชั่นที่เติบโตอย่างเคร่งครัดเร็วขึ้น ( ) ใช้(x))

N

$N$

f_{N} \in O (f_{\infty})

$f_N \in O(f_\infty)$

\forall x \geq N, f_{\infty} (x) \geq f_{N} (x)

$\forall x \ge N, f_\infty(x) \ge f_N(x)$

f_{\infty} = o (f_{\infty}^{'})

$f_\infty = o(f_\infty')$

f_{\infty}^{'} (x) = x \cdot (1 + f_{\infty} (x))

$f_\infty'(x) = x \cdot (1 + f_\infty(x))$

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'
แหล่งที่มา

คำตอบทั้งหมดนี้ (ของคุณและของคนอื่น) ขึ้นอยู่กับการสมมติว่าเรารู้ว่าเกิดอะไรขึ้นในอินฟินิตี้พวกเขาไม่พอใจสำหรับฉันฉันไม่รู้เกี่ยวกับ OP (ทำไมเราไม่ควรปิดกลุ่มที่มีขนาดไม่ จำกัด ?)

@ SaeedAmiri ฉันขอโทษฉันไม่เข้าใจความคิดเห็นของคุณ: คุณหมายถึงอะไรโดย“ เรารู้ว่าสิ่งที่เกิดขึ้นในอินฟินิตี้พวกเขาจะไม่พอใจสำหรับฉัน”?

— Gilles 'ดังนั้น - หยุดความชั่วร้าย'