O (mn) ถือว่าการเติบโตแบบ "เชิงเส้น" หรือ "กำลังสอง" หรือไม่?

ถ้าฉันมีฟังก์ชั่นบางตัวที่ความซับซ้อนของเวลาคือ O ( mn ) โดยที่mและnเป็นขนาดของอินพุตทั้งสองเราจะเรียกความซับซ้อนของเวลาว่า "เป็นเส้นตรง" (เนื่องจากเป็นเชิงเส้นทั้งในmและn ) หรือ "กำลังสอง" ( เนื่องจากเป็นผลิตภัณฑ์ที่มีสองขนาด) หรืออย่างอื่น?

ฉันรู้สึกว่าเรียกว่า "เป็นเส้นตรง" ทำให้สับสนเพราะ O (m + n) เป็นเส้นตรง แต่เร็วกว่ามาก แต่ฉันรู้สึกว่าเรียกมันว่า "กำลังสอง" นั้นก็แปลกเพราะมันเป็นเส้นตรงในตัวแปรแต่ละตัว

ในวิชาคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเช่นนี้เรียกว่าฟังก์ชันหลายเส้น แต่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์อาจไม่รู้คำศัพท์นี้โดยทั่วไป ฟังก์ชั่นนี้ไม่ควรเรียกว่าเป็นเส้นตรงไม่ว่าจะเป็นคณิตศาสตร์หรือวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เว้นแต่ว่าคุณสามารถพิจารณาหนึ่งในและnอย่างคงที่$m$$n$

หากต้องการอธิบายให้ชัดเจนเกี่ยวกับการอภิปรายในความคิดเห็นมันเป็นสิ่งสำคัญที่คุณวัดการเติบโตเมื่อเทียบกับ

ดังที่ @Kaveh กล่าวไว้ไม่ได้เป็นเส้นตรงทั้งสองในเวลาเดียวกัน แต่เป็นเส้นตรงถ้าหนึ่งคงที่และอีกเติบโต$O(mn)$

ในทางกลับกันน่าจะถือว่าเป็นเส้นตรง โดยสังหรณ์ใจถ้าmเป็นสองเท่าหรือถ้าnเป็นสองเท่าหรือแม้ว่าทั้งคู่กับmและn เป็นสองเท่าm + nจะไม่สามารถมากกว่าสองเท่าได้ นี่ไม่ใช่ความจริงของm n ; ถ้าmและnทั้งคู่m nเพิ่มขึ้น 4 นี่คือเหตุผลว่าทำไมในบริบทจำนวนมากเวลาทำงานนี้จึงถูกพิจารณาว่าเป็นกำลังสอง ฉันยกตัวอย่างสิ่งนี้ด้วยการจับคู่สตริงในวรรคสอง$O(m+n)$$m$$n$$m$$n$$m+n$$mn$$m$$n$$mn$

แต่โดยปกติเมื่อคุณใช้สัญลักษณ์ Big- คุณจะใช้มันในการอ้างอิงถึงบางสิ่งโดยเฉพาะ เนื่องจากเราเป็นนักทฤษฎีส่วนใหญ่โดยทั่วไปแล้วขนาดของอินพุตกับปัญหา$O$

ตัวอย่างเช่นลองเพิ่มเมทริกซ์ เพิ่มสองเมทริกซ์ใช้เวลาO ( มn )เวลา แต่องค์ประกอบของอินพุตของเราแต่ละครั้งจะถูกสัมผัสเพียงครั้งเดียวดังนั้นจึงมักจะเรียกว่าเชิงเส้น กล่าวอีกนัยหนึ่งอินพุตของเรามีขนาดO ( m n )ดังนั้นเวลาทำงานของO ( m n )จึงเป็นเชิงเส้นตรงตามขนาดของอินพุต$m\times n$$O(mn)$$O(mn)$$O(mn)$

ตอนนี้เรามาดูการจับคู่สตริง - คือเราจะได้รับสตริงของขนาดและสตริงที่มีขนาดnและเราต้องการที่จะดูว่ามีการเกิดขึ้นของสตริงที่มีขนาดเล็กกว่าในสตริงที่ใหญ่กว่า เราสามารถตรวจสอบได้อย่างไร้เดียงสาในเวลาO ( m n ) ; โดยทั่วไปจะได้รับการพิจารณาเป็นกำลังสอง ทำไม? หากเมตรและnสามารถเป็นอะไรก็ได้ชุดม. = n จากนั้นเวลาในการทำงานของเราคือO ( ม. 2 )และการป้อนข้อมูลของเรามีขนาด2เมตร$m$$n$$O(mn)$$m$$n$$m = n$$O(m^2)$$2m$

ในทางกลับกันถ้าเราใช้ราบินคาร์พ-ขั้นตอนวิธีการที่เราได้รับ (โดยเฉลี่ย) เวลา อินพุตของเราประกอบด้วยทั้งสองสตริงดังนั้นอินพุตของเรามีขนาดO ( m + n )เช่นกัน ดังนั้นโดยทั่วไปจะเรียกว่าเชิงเส้น$O(m+n)$$O(m+n)$

เพื่อสรุป: โดยทั่วไปเรียกว่า linear สำหรับสิ่งต่าง ๆ เช่นการคูณเมทริกซ์เพราะมันเป็นเส้นตรงในขนาดของอินพุต แต่โดยทั่วไปจะเรียกว่ากำลังสองสำหรับสิ่งต่าง ๆ เช่นการจับคู่สตริงเนื่องจากอินพุตที่เล็กกว่า คำใดที่เหมาะสมขึ้นอยู่กับบริบทที่คุณใช้$O(mn)$

หากคุณมีการวัดเวลาการทำงานในแล้วO ( มn )คือไม่ได้ฟังก์ชั่นเชิงเส้น( ม. , n ) หากไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างmและnฟังก์ชั่นนี้จะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าโดยทั่วไป$(m,n)$$O(mn)$$(m,n)$$m$$n$

อย่างไรก็ตามมันเป็นฟังก์ชั่นเชิงเส้นในแต่ละฟังก์ชันแยกจากกันเช่นถ้าคุณแก้ไขหนึ่งในนั้นและดูที่การเติบโตในตัวแปรอื่น ๆ มันก็เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นในอีกอันหนึ่ง

ในการวัดความซับซ้อนของปัญหาที่มีหลายอินพุตวิธีหนึ่งคือการค้นหาตัวแปรที่โดดเด่นแล้วผูกอินพุตอื่น ๆ ตามตัวแปรนั้น ด้วยวิธีนี้คุณอาจจะมีฟังก์ชั่นความซับซ้อนขึ้นอยู่กับตัวแปรเดียว

$L = \{w_1\#w_2|w_i \in (\Sigma\setminus\{\#\})^*,\dots\}$$f$$\min\{|w_1|,|w_2|\} \leq f(|w|)$$w=w_1\#w_2 \in L$$\mathcal O(|w_1|\cdot|w_2|)$$L$$\mathcal O(f(|w|)\cdot(|w|-f(|w|))= \mathcal O(f(|w|)|w|-f(|w|)^2)= \mathcal O(f(|w|)|w|)$

$\mathcal O(n\log n)$