พิสูจน์อย่างเข้มงวดเพื่อความถูกต้องของสมมติฐาน

ทฤษฎีบท Master เป็นเครื่องมือที่สวยงามสำหรับการแก้บางชนิดของการกลับเป็นซ้ำ อย่างไรก็ตามเรามักจะปัดส่วนที่สำคัญเมื่อนำไปใช้ ตัวอย่างเช่นระหว่างการวิเคราะห์ของการควบรวมกิจการเราไปอย่างมีความสุข

$\qquad T(n) = T\left(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right) + T\left(\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil\right) + f(n)$

ถึง

$\qquad T'(n) = 2 T'\left(\frac{n}{2}\right) + f(n)$

พิจารณาเพียง kเรามั่นใจ ourselved ว่าขั้นตอนนี้เป็นที่ถูกต้อง - นั่นคือ - เพราะพฤติกรรม "อย่าง" โดยทั่วไปเราถือว่าสำหรับตัวส่วนร่วม $n=2^k$ $T \in \Theta(T')$ $T$ $n=b^k$ $b$

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างซ้ำซึ่งไม่อนุญาตให้มีความเรียบง่ายนี้โดยการใช้หินฉตัวอย่างเช่นการเกิดซ้ำข้างต้นสำหรับ $f$ $T\,$ /ด้วย $\,T'$

$\qquad f(n) = \begin{cases} 1 &, n=2^k \\ n &, \text{else} \end{cases}$

จะให้ผลผลิตโดยใช้ทฤษฎีบทโทในทางปกติ แต่มีอย่างชัดเจน subsequence ที่เติบโตเหมือน )ดูที่นี่สำหรับอีกตัวอย่างหนึ่งที่มีการวางแผนมากขึ้น $\Theta(n)$ $\Theta(n \log n)$

เราจะทำให้สิ่งนี้ "เข้มงวด" อย่างเข้มงวดได้อย่างไร? ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าการพูดอย่างเดียวก็เพียงพอแล้ว แต่ไม่ใช่แม้แต่การเกิดขึ้นอีกครั้งของ Mergesort ที่เรียบง่ายก็คือเสียงเดียว มีองค์ประกอบเป็นระยะ (ซึ่งครอบงำ asymptotically) มันเพียงพอที่จะตรวจสอบและเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับที่ทำให้ทฤษฎีบทของ Master ทำงานได้อย่างไร? $f$ $f$

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

ผลลัพธ์ที่เหมือนกันคือทฤษฎีของ Akra-Bazzi "การแก้ปัญหาของสมการการเกิดซ้ำเชิงเส้น", การเพิ่มประสิทธิภาพการคำนวณและการประยุกต์, 10 (2), 195-210 (1998), หรือ Drmota และ Szpankowski "ทฤษฎีบทแยกแบบไม่ต่อเนื่อง and Conquer Recurrences ", SODA'11 < dl.acm.org/citation.cfm?id=2133036.2133064 >

— vonbrand

นี่คือลิงค์ไปยังเอกสารข้างต้นซึ่งไม่ได้อยู่เบื้องหลัง paywall

— Paresh

IIRC มีการกล่าวถึงในบทที่ 4 ของ CLRS

— Kaveh

@Kaveh ขอบคุณสำหรับตัวชี้ ส่วนใหญ่พวกเขาเรียกมันว่า "ความเลอะเทอะที่พอประมาณ"; นี่เป็นสิ่งที่ดีในบริบทของพวกเขาเพราะพวกเขาคิดว่าคุณได้รับเพียงสมมติฐานในภายหลังเพื่อพิสูจน์ว่าถูกต้องโดยการเหนี่ยวนำ พวกเขาพูดถึงอันตราย (4.6) ใน 4.6.2 พวกเขาให้การพิสูจน์ แต่มันอยู่ในระดับสูงและพวกเขาไม่ได้พูดอย่างชัดเจนว่าข้อ จำกัด เกี่ยวกับ

จะต้องเกิดขึ้น ดังนั้นมันจึงดูเหมือนว่า "

เช่นนี้ที่คณิตศาสตร์ผ่าน" ซึ่งฉันคิดว่าส่วนใหญ่ต้องการ

เพื่อให้มี "ดี"

-class

T

$T$

T

$T$

f

$f$

Θ

$\Theta$

— กราฟิลส์

ในกรณีทั่วไปเมื่อคุณไม่มีขนาดใกล้เคียงกันคุณสามารถใช้วิธี Akra – Bazziซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทต้นแบบได้ว่าจะเปลี่ยนฟังก์ชั่นที่เฉพาะเจาะจงให้เป็นสิ่งที่ใช้งานได้ในทฤษฎีนี้หรือไม่? นี่คือสิ่งที่คนทั่วไปใช้เพื่อพิสูจน์ความซับซ้อนของเวลา

ตลอดคำตอบนี้เราคิดว่าและไม่ใช่ลบ หลักฐานของเราทำงานเมื่อใดก็ตามที่ $f$ $T$ $f = \Theta(g)$ สำหรับบางคนเดียวกรัมซึ่งรวมถึงตัวอย่างการควบรวมกิจการของคุณซึ่งและฟังก์ชันใด ๆ ที่มีอัตราการเติบโตของพหุนาม (หรือแม้แต่ ) $g$ $f=\Theta(n)$ $\Theta(n^a \log^b n)$

ลองพิจารณากรณีแรกที่เป็นเสียงเดียวไม่ลด (เราจะผ่อนคลายสมมติฐานนี้ในภายหลัง) เรามุ่งเน้นการทำซ้ำตัวอย่างของคุณ $f$ การกำเริบนี้ต้องสองกรณีฐานและ )เราทำสมมุติฐานว่า

T (n) = T (⌊ n / 2 ⌋) + T (⌈ n / 2 ⌉) + f (n) .

$T(n) = T(\lfloor n/2 \rfloor) + T(\lceil n/2 \rceil) + f(n).$

T (0)

$T(0)$

T (1)

$T(1)$

ซึ่งเรายังผ่อนคลายในภายหลัง

T (0) \leq T (1)

$T(0) \leq T(1)$

ฉันอ้างว่าเป็นเสียงเดียวไม่ลดลง เราพิสูจน์โดยอุปนัยสมบูรณ์ว่า $T(n)$ )นี้จะได้รับสำหรับเพื่อให้ 1เรามี $T(n+1) \geq T(n)$ $n = 0$ $n \geq 1$ นี่ก็หมายความว่า ดังนั้นถ้า

\begin{aligned} T (n + 1) & = T (⌊ (n + 1) / 2 ⌋) + T (⌈ (n + 1) / 2 ⌉) + f (n + 1) \\ \geq T (⌊ n / 2 ⌋) + T (⌈ n / 2 ⌉) + f (n) = T (n) . \end{aligned}

$\begin{align*} T(n+1) &= T(\lfloor (n+1)/2 \rfloor) + T(\lceil (n+1)/2 \rceil) + f(n+1) \\ &\geq T(\lfloor n/2 \rfloor) + T(\lceil n/2 \rceil) + f(n) = T(n). \end{align*}$

T (2^{⌊ \log_{2} n ⌋}) \leq T (n) \leq T (2^{⌈ \log_{2} n ⌋}) .

$T(2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}) \leq T(n) \leq T(2^{\lceil \log_2 n \rfloor}).$

เราเสร็จแล้ว นี้อยู่เสมอกรณีที่หากแก้ปัญหาสำหรับอำนาจของทั้งสองเป็นรูปแบบ

)

T (2^{m}) = Θ (T (2^{m + 1}))

$T(2^m) = \Theta(T(2^{m+1}))$

T (n) = Θ (n^{a} \log^{b} n)

$T(n) = \Theta(n^a \log^b n)$

ตอนนี้ขอผ่อนคลายสมมติฐานที่ว่า )พิจารณาการกลับเป็นซ้ำใหม่ที่กำหนดไว้ในทางเดียวกันว่าเพียง )เราสามารถพิสูจน์ได้ด้วยการเหนี่ยวนำว่า $T(0) \leq T(1)$ $T'$ $T'(0) = T'(1) = \min(T(0),T(1))$ $T'(n) \leq T(n)$ . ในทำนองเดียวกันเราสามารถกำหนดกลับเป็นซ้ำใหม่ความพึงพอใจของ )กล่าวถึงทฤษฎีบทโทเราจะเห็นว่าและ $T''$ , จากนั้น $T''(0) = T''(1) = \max(T(0),T(1))$ $T(n) \leq T''(n)$ $T'=\Theta(h)$ สำหรับฟังก์ชันเดียวกันและดังนั้นเช่นกัน $T''=\Theta(h)$ $h$ $T = \Theta(h)$

ทีนี้ลองคลายสมมติฐานที่เป็นเสียงโมโน สมมติว่าสำหรับบางฟังก์ชั่นเดียวกรัมดังนั้น $f$ $f = \Theta(g)$ $g$ $cg(n) \leq f(n) \leq Cg(n)$ $c,C>0$ $n$ $n=0$ $T',T''$ $f$ $cg,Cg$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

T (2^{m}) \in Θ (T (2^{m + 1}))

$T(2^m) \in \Theta(T(2^{m+1}))$

T

$T$

c g

$cg$

f

$f$

C g

$Cg$

c < 1

$c < 1$

f = Θ (n^{α})

$f = \Theta(n^\alpha)$

g

$g$

f = Θ (n^{α} \log^{β} n)

$f = \Theta(n^\alpha \log^\beta n)$

g

$g$

f

$f$

g

$g$

f = Θ (g)

$f = \Theta(g)$

— Yuval Filmus

g

$g$

f : n \mapsto 2^{n}

$f : n \mapsto 2^n$

g

$g$

c g

$cg$

C g

$Cg$

ฉันยังคิดว่ามันเป็นเรื่องทางเทคนิค เงื่อนไขที่คุณกังวลคือเงื่อนไขทางเทคนิค สำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่ที่ปรากฏในทางปฏิบัติเงื่อนไขจะถือ คุณกำลังถามถึงสภาวะทั่วไปที่สุดภายใต้ร่างการพิสูจน์ด้านบน นั่นเป็นคำถามที่น่าสนใจที่ฉันขี้เกียจเกินกว่าจะตอบได้

— Yuval Filmus