ตัวดำเนินการประตูหมุนชั้นนำหมายถึงอะไร

12

ฉันรู้ว่าผู้เขียนที่แตกต่างกันใช้สัญกรณ์ที่แตกต่างกันเพื่อเป็นตัวแทนความหมายของการเขียนโปรแกรมภาษา เป็นเรื่องของความเป็นจริงผู้ชายสตีลที่อยู่ในปัญหานี้ในวิดีโอที่น่าสนใจ

ฉันต้องการที่จะรู้ว่าใครรู้ว่าผู้ประกอบการประตูหมุนชั้นนำมีความหมายที่รู้จักกันดี ตัวอย่างเช่นฉันไม่เข้าใจตัวดำเนินการชั้นนำที่จุดเริ่มต้นของตัวส่วนต่อไปนี้: $\vdash$

\frac{x : T_{1} ⊢ t_{2} : T_{2}}{⊢ λ x : T_{1} . t_{2} : T_{1} \to T_{2}}

$\frac{x:T_1 \vdash t_2:T_2}{\vdash \lambda x:T_1 . t_2 ~:~ T_1 \to T_2}$

มีคนช่วยฉันเข้าใจไหม ขอบคุณ

type-theory denotational-semantics

— จิมนิวตัน
แหล่งที่มา

ที่เกี่ยวข้อง

— leftaroundabout

ว้าวคำถามนี้มีจำนวนการดู "1k" ซึ่งมากกว่าจำนวนรวมของการดูคำถามใหม่ 29 ข้อ! ขณะที่ฉันตรวจสอบแล้วแท็ก "type-theory" และแท็ก "denotational-semantics" ไม่อยู่ในแท็กยอดนิยม 50 อันดับแรก ฉันอยากรู้เกี่ยวกับสาเหตุที่อยู่เบื้องหลังปรากฏการณ์นี้ ฉันไม่มีเงื่อนงำ @DW? ฉันมีคำถามเมตาหรือไม่?

— John L.

ถ้าฉันไม่ผิดคุณจะต้องย้ายผู้ประกอบการหมุน ( ) ในการสรุปของกฎระหว่างและt_2ฉันจะเพิ่มแท็ก

⊢

$\vdash$

λ x : T_{1}

$\lambda x:T_1$

t_{2}

$t_2$ type-checking

— mchar

3

@ Apass.Jack มันสิ้นสุดลงในคำถามเกี่ยวกับเครือข่ายที่ร้อนแรงดังนั้นมันจึงได้รับความสนใจมากขึ้นเพราะสิ่งนั้น

— JAB

20

ทางด้านซ้ายของประตูหมุนคุณสามารถค้นหาบริบทท้องถิ่นรายการขอบเขตที่แน่นอนเกี่ยวกับประเภทของตัวแปรที่อยู่ในมือ

x_{1} : T_{1}, \dots, x_{n} : T_{n} ⊢ e : T

$x_1:T_1, \ldots, x_n:T_n \vdash e:T$

ข้างต้นสามารถเป็นศูนย์ที่เกิดใน T ซึ่งหมายความว่าไม่มีการตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับตัวแปร โดยปกติแล้วที่นี้หมายถึงว่าเป็นคำปิด (ไม่มีตัวแปรใด ๆ ฟรี) มีประเภทT $n$ $\vdash e:T$ $e$ $T$

บ่อยครั้งที่กฎที่คุณพูดถึงถูกเขียนในรูปแบบทั่วไปที่สามารถมีสมมติฐานได้มากกว่าที่กล่าวถึงในคำถาม

\frac{Γ, x : T_{1} ⊢ t : T_{2}}{Γ ⊢ (λ x : T_{1} . t) : T_{1} \to T_{2}}

$\dfrac{ \Gamma, x:T_1 \vdash t : T_2 }{ \Gamma\vdash (\lambda x:T_1. t) : T_1\to T_2 }$

นี่แสดงให้เห็นถึงบริบทใด ๆ และแสดงให้เห็นถึงการขยายได้โดยการผนวกสมมติฐานเพิ่มเติมในรายการ\เป็นเรื่องปกติที่จะต้องให้ไม่ปรากฏในดังนั้นส่วนขยายจึงไม่ "ขัดแย้ง" กับข้อสันนิษฐานก่อนหน้านี้ $\Gamma$ $\Gamma, x:T_1$ $x:T_1$ $\Gamma$ $x$ $\Gamma$

— ไค
แหล่งที่มา

7

ในฐานะที่เป็นส่วนเติมเต็มให้กับคำตอบอื่น ๆ โปรดทราบว่ามี "ความหมาย" สามระดับในการพิมพ์ derivations และคำพูดเดียวกันถือด้วยการพิสูจน์เชิงตรรกะเนื่องจากมีการติดต่อกันระหว่างสองคน (เรียกว่าการติดต่อกันของ Curry-Howard)

ความหมายแรกคือลูกศรที่ปรากฏในสูตรและสอดคล้องกับความหมายเชิงตรรกะในสูตร (หรือประเภทฟังก์ชั่นสำหรับ -calculus) $\lambda$

ความหมายที่สองปรากฏขึ้นโดยสัญลักษณ์หมุนรอบตัวและหมายถึง "สมมติว่าทุกสูตรทางด้านซ้ายเป็นสูตรทางด้านขวา" โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎที่คุณให้จะบอกว่าเราควรพิสูจน์นัยได้อย่างไร: เพื่อพิสูจน์จากนั้นเราต้องพิสูจน์ภายใต้สมมติฐานที่ว่าถือ ในแง่ของ -calculus เพื่อพิสูจน์ว่ามีประเภทเราต้องแสดงให้เห็นว่ามีประเภทโดยสมมติว่าเป็นตัวแปรประเภท (ดูที่การติดต่อ?) $A \Rightarrow B$ $B$ $A$ $\lambda$ $\lambda x.t$ $A \to B$ $t$ $B$ $x$ $A$

ระดับที่สามของความหมายจะเกิดขึ้นโดยแถบแนวนอนและหมายถึง "ถ้าทุก ๆ สถานที่ (องค์ประกอบที่ด้านบน) ถือจากนั้นข้อสรุป (องค์ประกอบที่ด้านล่าง) ถือ คุณสามารถเชื่อมโยงสิ่งนั้นกับการตีความกฎการพิมพ์สำหรับ -abstraction ที่คุณให้ไว้ (ดูคำอธิบายในย่อหน้าก่อนหน้า) $\lambda$

— Rodolphe Lepigre
แหล่งที่มา

3

ในประเภทการตรวจสอบระบบการ ( ) แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ที่ประกอบไปด้วยสภาพแวดล้อมประเภทการแสดงออกและประเภท:Typ $\vdash$ $\vdash \texttt Env \times \texttt Exp \times \texttt Typ$

ในตัวอย่างของคุณนิพจน์ถูกพิมพ์ที่ประเภท wrt กับสภาพแวดล้อมประเภทที่มีการจับคู่ประเภทกับตัวแปรประเภท $t_2$ $T_2$ $T_1$ $x$

ในบริบทนี้สภาพแวดล้อมประเภทเป็นฟังก์ชั่นบางส่วนที่กำหนดประเภทให้กับตัวแปรมักจะแสดงด้วยโดยที่ $\Gamma$ $\Gamma \in \texttt Env : Var \rightharpoonup Typ$

โปรดทราบว่าผู้ประกอบการขอสงวนฟังก์ชันการทำงานโดยไม่คำนึงถึงสถานที่ที่ปรากฏทั้งในสถานที่หรือข้อสรุปของกฎ

— mchar
แหล่งที่มา

-1

ในทุกสถานการณ์ที่ฉันได้เห็นหมายความว่ามีข้อพิสูจน์ของ โดยสมมติว่า ถือ หาก ว่างเปล่านั่นหมายความว่า เป็นคำซ้ำซาก: มีหลักฐานโดยไม่จำเป็นต้องมีข้อสมมติฐานใด ๆ $X\vdash Y$ $Y$ $X$ $X$ $Y$

— David Richerby
แหล่งที่มา

1

แต่ถ้าสิ่งที่คุณพูดเป็นความจริงมันแปลกเพราะนั่นก็หมายความว่าแถบแนวนอนหมายถึงใช่มั้ย ถ้าด้านบนเป็นจริงด้านล่างจะเป็นจริง ดังนั้นผลจะหมายถึงว่าเป็นจริงดังนั้นเป็นจริงโดยไม่มีเงื่อนไข

\frac{X}{⊢ Y}

$\frac{X}{\vdash Y}$

X

$X$

Y

$Y$

— Jim Newton

1

แถบแนวนอนหมายความว่าสิ่งที่อยู่ด้านล่างเป็นการหักจากสิ่งที่อยู่ด้านบนทันที แม้ว่าฉันจะเห็นด้วยว่ามันดูแปลกมากในตัวอย่างของคุณที่ความจริงที่ไม่มีเงื่อนไขมาจากเงื่อนไขที่มีเงื่อนไข ...

— David Richerby

ทฤษฎีประเภทไม่ใช่เหตุผล มันเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องในหลาย ๆ ทางและ (บางส่วนโดยเจตนา) ใช้สัญกรณ์ที่คล้ายกัน แต่ก็ไม่มีการเชื่อมต่อกับความสัมพันธ์ที่พิสูจน์ได้และแน่นอนไม่มีการเชื่อมต่อด้านหลัง (อย่างน้อยก็ไม่สมเหตุสมผลตรรกะจากระยะไกล) อย่างที่เขียนไว้คือคำตอบที่ดีที่สุดทำให้เข้าใจผิดเพราะมันแสดงให้เห็นว่า " " เป็นสูตรที่แทบไม่เคยอยู่ในทฤษฎีประเภทเช่นภาษาที่มีสูตรเช่นคือ โดยทั่วไปไม่ได้อธิบายและมักเป็นไปไม่ได้ในมาตรฐานเมตาตรรกะเช่นสำหรับแคลคูลัสแลมบ์ดาเชิงเส้น

x : T_{1}

$x:T_1$

(x : T_{1}) \lor (y : T_{2})

$(x:T_1)\lor(y:T_2)$

— Derek Elkins ออกจาก SE

@DerekElkins มันเป็นระบบพิสูจน์และระบบพิสูจน์เป็น logics เป็นข้อเสนอที่แม่นยำและไม่มีอะไรนอกจากคำกล่าวที่ว่าข้อเสนอนั้นเก็บไว้เมื่อถือ ความจริงที่ว่าความไม่ต่อเนื่องของข้อเสนอไม่ใช่สูตรเป็นเพียงข้อ จำกัด ของไวยากรณ์ของตรรกะ

x : T

$x\colon T$

Γ ⊢ x : T

$\Gamma\vdash x\colon T$

Γ

$\Gamma$

— David Richerby

มันไม่ใช่แค่ความแตกแยก ไม่มี ,หรือเป็นสูตรเช่นกัน หรือคุณกำลังบอกว่ามันเป็นตรรกะที่มีเพียงข้อเสนออะตอมเท่านั้น ฉันพูดถึงตรรกะเชิงเส้นเป็นตัวอย่าง ในคำสั่งให้ตรรกะเชิงเส้นได้อย่างง่ายดายมากสามารถเป็นกรณีที่ถือในขณะที่ไม่ได้ เครื่องหมายจุลภาคและเชื่อมโยงกันแบบใดที่สอดคล้องกับ "ค่าความจริง" ของ ,และและสร้างพฤติกรรมดังกล่าวข้างต้น มีตัวเลือกหากเมตาลอจิกยังเป็นตรรกะเชิงเส้นที่ได้รับคำสั่งด้วย แต่เราก็ไม่ได้อธิบายอะไรเลย

\neg (x : A)

$\neg (x:A)$

(x : A) \land (y : B)

$(x:A)\land(y:B)$

(x : A) \to (y : B)

$(x:A)\to(y:B)$

x : A, y : B ⊢ t : C

$x:A,y:B\vdash t:C$

y : B, x : A ⊢ t : C

$y:B,x:A\vdash t:C$

⊢

$\vdash$

x : A

$x:A$

y : B

$y:B$

t : C

$t:C$

— Derek Elkins ออกจาก SE