อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างหน้าที่ใน SML และทฤษฎีหมวดหมู่?

ตามความคิดเดียวกันกับคำกล่าวนี้โดยAndrej Bauerในคำตอบนี้

ชุมชน Haskell ได้มีการพัฒนาเทคนิคจำนวนหนึ่งแรงบันดาลใจจากทฤษฎีประเภทที่monadsเป็นที่รู้จักกันดีที่สุด แต่ไม่ควรจะสับสนกับmonads

อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างfunctorsใน SML และfunctorsในทฤษฎีหมวดหมู่?

เนื่องจากฉันไม่รู้เกี่ยวกับรายละเอียดของฟังก์ชั่นในภาษาอื่นเช่น Haskell หรือ OCaml หากมีข้อมูลที่มีค่ากรุณาเพิ่มหัวข้อสำหรับภาษาอื่นด้วย

หมวดหมู่เป็นหมวดหมู่ (ใหญ่) ที่มีวัตถุเป็นหมวดหมู่ (เล็ก) และมี morphisms เป็นหน้าที่ระหว่างหมวดหมู่เล็ก ๆ ในแง่นี้ฟังก์ชั่นในหมวดหมู่ทฤษฎีคือ "morphisms ขนาดที่สูงขึ้น"

ML ฟังก์ชั่นไม่ใช่ฟังก์ชั่นในการจัดหมวดหมู่ของคำ แต่พวกมันคือ "ฟังก์ชั่นขนาดที่สูงขึ้น" ในแง่ของทฤษฎีประเภท

คิดว่าประเภทข้อมูลที่เป็นรูปธรรมในภาษาการเขียนโปรแกรมทั่วไปเป็น "เล็ก" ดังนั้นint, bool, int -> intฯลฯ มีขนาดเล็กเรียนใน java มีขนาดเล็กเป็น structs Typeดีในซีเราอาจรวบรวมประเภทข้อมูลทั้งหมดลงในคอลเลกชันขนาดใหญ่ที่เรียกว่า ตัวสร้างประเภทเช่นlistหรือarrayเป็นฟังก์ชั่นจากไปType Typeดังนั้นมันจึงเป็นฟังก์ชั่น "ใหญ่" ML functor เป็นเพียงฟังก์ชั่นขนาดใหญ่ที่มีความซับซ้อนมากกว่าเล็กน้อย: มันยอมรับว่าเป็นการโต้เถียงหลายสิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ และมันจะคืนสิ่งเล็ก ๆ "สิ่งเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่รวมเข้าด้วยกัน" เรียกว่าโครงสร้างใน ML ในแง่ของทฤษฎีประเภทมาร์ติน - โลฟเรามีจักรวาล Typeขนาดเล็ก ชนิดที่มีขนาดใหญ่มักจะเรียกว่าชนิด ดังนั้นเราจึงมี:

1. ค่าที่เป็นองค์ประกอบของประเภท (ตัวอย่าง: 42 : int)
2. ชนิดที่มีองค์ประกอบของType(ตัวอย่าง: int : Type)
3. ลายเซ็น ML ชนิด (ตัวอย่าง: OrderedType)
4. ประเภทการก่อสร้างเป็นองค์ประกอบของชนิด (ตัวอย่าง: list : Type -> Type)
5. stuctures ML เป็นองค์ประกอบของชนิด (ตัวอย่าง: String : OrderedType)
6. functors ML มีฟังก์ชั่นระหว่างชนิด (ตัวอย่าง: Map.Make : Map.OrderedType -> Make.S)

ตอนนี้เราสามารถวาดการเปรียบเทียบระหว่าง ML และหมวดหมู่ภายใต้ฟังก์ชั่นที่สอดคล้องกับหน้าที่ แต่เรายังสังเกตเห็นว่าประเภทข้อมูลใน ML เป็นเหมือน "หมวดหมู่ขนาดเล็กที่ไม่มี morphisms" หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าพวกเขาเป็นเหมือนชุดมากกว่าพวกเขาจะเป็นหมวดหมู่ เราสามารถใช้การเปรียบเทียบระหว่าง ML กับทฤษฎีเซตแล้ว:

1. ประเภทข้อมูลเป็นเหมือนชุด
2. ชนิดเหมือนคลาส set-theoretic
3. Functionors เป็นเหมือนฟังก์ชั่นขนาดคลาส

โครงสร้างมาตรฐาน ML จะคล้ายกับผู้พีชคณิต ลายเซ็นของมันอธิบายคลาสของพีชคณิตทั้งรูปร่างที่คล้ายกัน

Standard ML functor เป็นแผนที่จากคลาสของ algebras ไปยัง algebras อีกชั้นหนึ่ง ตัวอย่างเช่นการเปรียบเทียบกับ functorsซึ่งเพิ่มการดำเนินการผกผันกับ monoids หรือซึ่งเพิ่ม monoid แบบ multiplicative สำหรับกลุ่ม Abelian เพื่อทำวงแหวน$F : {\bf Mon} \to {\bf Grp}$$F : {\bf Ab} \to {\bf Rng}$

ความคิดเหล่านี้ส่วนใหญ่ทำงานในชุดเอกสารโดย Burstall และ Goguen ในการออกแบบภาษาสเปคที่เรียกว่า CLEAR (อ้างอิง c5 และ c6 ในหน้า DBLP ) David MacQueen ทำงานร่วมกับ Burstall และ Sannella ในเวลานั้นและคุ้นเคยอย่างใกล้ชิด กับปัญหา ระบบโมดูล ML มาตรฐานยึดตามแนวคิดเหล่านี้

สิ่งที่คนส่วนใหญ่จะสงสัยคือสิ่งที่เกี่ยวกับ morphisms? หมวดหมู่ฟังก์ชั่นเชิงทฤษฎีมีส่วนของวัตถุและส่วนมอร์ฟิซึ่มส์ ฟังก์ชั่น ML มาตรฐานมีเหมือนกันหรือไม่? คำตอบคือใช่และไม่ใช่

• ส่วนของคำตอบที่ใช่ถ้าโครงสร้างเป็นลำดับแรก จากนั้นจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างโครงสร้างที่แตกต่างกันของลายเซ็นเดียวกันและ Standard ML functors จะจับคู่มันกับโฮโมมอร์ฟิซึมของลายเซ็นผลลัพธ์โดยอัตโนมัติ
• ส่วนที่ไม่มีคำตอบใช้เมื่อโครงสร้างมีการดำเนินการใบสั่งสูงกว่า

นี่หมายความว่า ML มาตรฐานเบี่ยงเบนจากทฤษฎีหมวดหมู่หรือไม่ ฉันไม่คิดอย่างนั้น ฉันคิดว่า Standard ML กำลังทำสิ่งที่ถูกต้องและทฤษฎีหมวดหมู่ก็ยังไม่ทันตามมา ทฤษฎีหมวดหมู่ยังไม่ทราบวิธีจัดการกับฟังก์ชั่นที่มีลำดับสูงกว่า สักวันมันจะ

นั่นคือที่ดีที่สุดของความรู้ของฉันไม่มีความสัมพันธ์อย่างเป็นทางการระหว่างfunctorsในหมวดหมู่ทฤษฎีและการfunctorsใน ML (SML หรือ OCaml พวกเขากำลังใกล้พอสำหรับจุดประสงค์ของเราที่นี่)

ในทฤษฎีหมวดหมู่ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันที่ทำงานกับวัตถุ พวกมันอยู่เหนือระดับมอร์ฟิซึ่มส์ซึ่งมักจะทำหน้าที่เกี่ยวกับองค์ประกอบ (หลายหมวดหมู่มีวัตถุที่ถูกกำหนดด้วยโครงสร้างพีชคณิตและลูกศรที่เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างโครงสร้างเหล่านี้) ML functor เป็นฟังก์ชั่นที่ทำงานบนโมดูลหนึ่งระดับเหนือฟังก์ชั่นที่ทำงานกับค่าภาษาหลัก ฉันคิดว่าความคล้ายคลึงหยุดลงที่นี่

ฟังก์ชั่น ML ได้รับบัพติศมาโดย Dave McQueen ในปี 1985 การแก้ไขโมดูลสำหรับมาตรฐาน ML (citeseerx)ที่ปรากฏในจดหมายข่าว Polymorphism (กระดาษต้นฉบับใช้นิพจน์ น่าเสียดายที่ฉันไม่พบสำเนาของกระดาษนั้น ใน 1,986 กระดาษของเขาใช้ประเภทขึ้นอยู่กับ Express โครงสร้าง Modular (Citeseerx)เขาให้ชื่อเป็นที่ยอมรับ.