คือปกติถ้า

12

ถ้า $A^2$ เป็นปกติมันเป็นไปตามที่ $A$ เป็นปกติหรือไม่?

ความพยายามของฉันในการพิสูจน์:

ใช่เพราะความขัดแย้งสมมติว่า $A$ ไม่ปกติ จากนั้น $A^2 = A \cdot A$

เนื่องจากการต่อข้อมูลสองภาษาที่ไม่ใช่ภาษาปกติไม่ใช่ภาษาปกติ $A^2$ จึงไม่สามารถเป็นภาษาปกติได้ สิ่งนี้ขัดแย้งกับสมมติฐานของเรา ดังนั้นจึง $A$ เป็นปกติ ดังนั้นถ้า $A^2$ ปกติแล้ว $A$ เป็นปกติ

หลักฐานถูกต้องหรือไม่

เราจะพูดเรื่องนี้กับ $A^3$ , $A^4$ , etc ... ได้ไหม? และยังถ้าเป็นปกติแล้วไม่จำเป็นต้องเป็นปกติ? $A^*$ $A$

ตัวอย่าง: $A=\lbrace 1^{2^i} \mid i \geq 0\rbrace$ ไม่ปกติ แต่ $A^*$ เป็นปกติ

formal-languages regular-languages closure-properties

— Akshay
แหล่งที่มา

2

หลักฐานแรกทำให้การกระโดดครั้งใหญ่ อะไรคือข้อพิสูจน์ของคุณว่า

ไม่ปกติแปลว่า

ไม่ปกติ? การพิสูจน์ว่าอาจนำคุณไปสู่สัญชาตญาณเพื่อช่วยตอบคำถามที่เหลือถ้าเป็นเรื่องจริง

A

$A$

A^{2}

$A^2$

— Dave Clarke

@DaveClarke แก้ไขหลักฐานแล้ว

— akshay

3

คุณจัดการสะกดอย่างไร "ฉันถูกต้อง" วิธีนั้นเป็นสิ่งที่น่าสนใจมาก ตามคำแนะนำทั่วไป: เมื่อคนหลายร้อยอ่านสิ่งที่คุณเขียนความเหมาะสมทั่วไปต้องการให้คุณใส่ใจกับวิธีที่คุณเขียน ... ;-)

— Andrej Bauer

6

@AndrejBauer OP อาจเป็นคนที่ไม่ใช่เจ้าของภาษาอังกฤษและอาจไม่มีโอกาสได้รับคำแนะนำเกี่ยวกับภาษาอังกฤษที่เป็นทางการ นี่คือเหตุผลที่ทำให้หมดกำลังใจไม่มีใครแม้ว่ามันจะมีประโยชน์ในการแก้ไขพวกเขา

— Yuval Filmus

28

พิจารณาLagrange สี่ตารางทฤษฎีบท มันระบุว่าถ้าจากนั้น }ถ้าเป็นปกติใช้อื่นใช้ 2ไม่ว่าจะด้วยวิธีใดสิ่งนี้พิสูจน์ให้เห็นถึงการมีอยู่ของผิดปกติเช่นว่าเป็นปกติ $B = \{1^{n^2}| n \geq 0\}$ $B^4 = \{1^n | n \geq 0\}$ $B^2$ $A = B$ $A = B^2$ $A$ $A^2$

— Karolis Juodelė
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจหลักฐานนี้ คุณช่วยอธิบายหน่อยได้ไหม?

— G. Bach

2

อธิบายนี้ (สวย) หลักฐาน: เรามีที่

และ

G

สังเกตว่า

2

ทีนี้ถ้า

ถ้า

ก็เอา

เรามี counterexample และถ้า

แล้วก็เอา

เรามี counterexample

B \notin R E G

$B\notin REG$

B^{4} \in R E G

$B^4\in REG$

B^{4} = (B^{2})^{2}

$B^4=(B^2)^2$

B^{2} \in R E G

$B^2\in REG$

A = B

$A=B$

B^{2} \notin R E G

$B^2\notin REG$

A = B^{2}

$A=B^2$

— Shaull

1

สวยงามอย่างแน่นอน

— vonbrand

3

@YuvalFilmus แน่นอน แต่ฉันไม่มีหลักฐานและฉันไม่ต้องการที่จะสงสัย ตอนนี้ฉันดูเหมือนจะได้พบหนึ่ง "หมายเลข

คือผลรวมของสองกำลังสองถ้าหากปัจจัยเฉพาะทั้งหมดของแบบฟอร์ม

มีเลขชี้กำลังในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ

" ให้

เป็นความยาวในการสูบ พิจารณา

. ให้

เป็นไพร์มของรูปแบบ

และให้

เป็นความยาวที่เราเลือกสูบ จากนั้น

n

$n$

4 k + 3

$4k+3$

n

$n$

n

$n$

w = (n!)^{2}

$w = (n!)^2$

p

$p$

4 k + 3

$4k+3$

m

$m$

มีสัญลักษณ์แปลก

และจึงไม่ได้อยู่ใน

2

w + (p - 1) \frac{w}{m} \cdot m = p w

$w + (p-1)\frac{w}{m}\cdot m = pw$

p

$p$

B^{2}

$B^2$

— Karolis Juodelė

1

@ JonasKölkerเห็นด้วย

— Karolis Juodelė

8

นี่คือตัวอย่างของภาษาที่ไม่ใช่คำนวณดังกล่าวว่า *ใช้ใด ๆ ที่ไม่ได้คำนวณ (แสดงเป็นชุดของตัวเลขเช่นรหัสของเครื่องทัวริงที่หยุด) และกำหนด ดังนั้นมีคำอื่น ๆ ทั้งหมดกว่าคนที่มีความยาวสำหรับบาง Kถ้า $A$ $A^2 = \Sigma^*$ $K$

A = {w \in Σ^{*} : | w | \neq 4^{k} for all k \in K} .

$A = \{ w \in \Sigma^* : |w| \neq 4^k \text{ for all } k \in K \}.$

A

$A$

4^{k}

$4^k$

k \in K

$k \in K$

A

$A$ มีการคำนวณแล้วคุณสามารถคำนวณ

: ได้รับ

, ตรวจสอบว่า

(นั่นคือ

ศูนย์) อยู่ใน

หรือไม่ เนื่องจากเราคิดว่า

ไม่สามารถคำนวณได้

จึงต้องไม่สามารถคำนวณได้

K

$K$

k

$k$

0^{4^{k}}

$0^{4^k}$

4^{k}

$4^k$

A

$A$

K

$K$

A

$A$

$A^2 = \Sigma^*$ $w$ $n$ $n$ $4$ $w \in A$ $A$ $w \in A^2$ $n$ $4$ $n/2$ $4$ $w = xy$ $|x| = |y| = n/2$ $x,y \in A$ $w = xy \in A^2$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

1

A

$A$

K

$K$

K

$K$

2

หลักฐานของคุณยังคงเพิ่มขึ้นอย่างมาก (การพิจารณาว่าการต่อภาษาที่ไม่ปกติเป็นเรื่องที่ไม่ธรรมดา)

$A=\{1^p: p\text{ is a prime}\}$ $A^2=\{1^{2k}: k>1\}$

สิ่งนี้ไม่ได้แก้คำถามทั้งหมด แต่ให้หลักฐานที่ชัดเจนว่าคำตอบคือไม่ (มิฉะนั้นการคาดเดาของ Goldbach เป็นเท็จ) อย่างไรก็ตามคำตอบอาจเป็นเรื่องยากมากที่จะพิสูจน์ถ้านี่เป็นเพียงตัวอย่างที่รู้จัก

— Shaull
แหล่งที่มา

เราสามารถสรุปอะไรได้บ้างเกี่ยวกับคำถาม

— akshay

A^{2}

$A^2$

A

$A$

2

ในการแสดงหลักฐาน "ของจริง" ฉันไม่คิดว่าการใช้การคาดเดาที่ไม่ได้รับการพิสูจน์นั้นยุติธรรม บางทีการเชื่อมต่อน่าสนใจสำหรับบางคน?

— Raphael

แน่นอนหลังจากคำตอบต่อไปนี้เป็นซ้ำซ้อน อย่างไรก็ตามคุณสามารถเห็นการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ที่ดีที่นี่: คำตอบตามการคาดเดาที่รู้จักกันดีแล้วคำตอบที่เกี่ยวข้อง (ใช้ทฤษฎีบทของลากรองจ์) ซึ่งอยู่บนพื้นฐานของความคิดที่คล้ายกัน

— Shaull

1

ในความเป็นจริงถ้าคุณใช้เฉพาะและ semiprimes คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทของเฉิน

— sdcvvc

2

การอ้างสิทธิ์ผิด

$D$ $x \in D$ $y\in D$ $|y| > 4|x|$ $|x|>4|y|$ ^$\dagger$

$A = \Sigma^* \setminus D$ $A$

$A^2 = \Sigma^*$ $\ \ \$

^$\dagger$_{$|y|>2|x|$ $|y|>2|x|+2$ $|y|>4|x|$}

— รันจี
แหล่งที่มา

1 \in A

$1 \in A$

1^{k} \notin A ⟹ 1^{k - 1} \in A

$1^k \notin A \implies 1^{k-1} \in A$

2

$X \subseteq {1}^\ast$ $A=\{1\} \cup \{1^{2x}:x \in \mathbb N\} \cup \{1^{2x+1}:1^x \in X\}$

$A$ $A^2=1^{\ast}$

— sdcvvc
แหล่งที่มา

2

$U\subseteq \mathbb{N}$ $I = \{2u+1\mid u\in U\}\cup\{0,2,4,\dots\}$ $L = \{a^i\mid i\in I\}$ $L$ $L^2 = \{a^{2n}\mid n\in \mathbb{N}\} \cup \{a^n\mid n\geq \min\,I\}$

— David Richerby
แหล่งที่มา

0

$\{a^k\mid m\text{ is composite}\}$ $n\geq 8$ $n-4$ $4$ $n\geq 13$ $n-9$ $9$ $n-9=2m$ $m\geq 2$ $A^2 = \{a^8,a^{10}\}\cup\{a^k\mid k\geq 12\}$ $\{\epsilon,a,aa,\dots,a^6,a^7,a^9,a^{11}\}$

— David Richerby
แหล่งที่มา