จุดบรรจบของการขยายเบต้า

Let $\to_\beta$ พ.ศ. $\beta$ -reduction ใน $\lambda$ แคลคูลัส กำหนด $\beta$ -expansion $\leftarrow_\beta$ โดย $t'\leftarrow_\beta t \iff t\to_\beta t'$ '

คือ $\leftarrow_\beta$ ไหลมารวมกัน? ในคำอื่น ๆ ที่เราจะมีที่ใด $l,d,r$ ถ้า $l \to_\beta^* d\leftarrow_\beta^* r$ แล้วมีอยู่ $u$ ดังกล่าวที่ $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ?

คำสำคัญ: การบรรจบขึ้น, คว่ำทรัพย์สิน CR

ฉันเริ่มต้นด้วยการดูที่คุณสมบัติที่อ่อนแอกว่า: การบรรจบกันของท้องถิ่น (เช่นถ้า $l \to_\beta d\leftarrow_\beta r$ , ดังนั้น $l\leftarrow_\beta^* u \to_\beta^* r$ ) แม้ว่านี้เป็นความจริงก็จะได้หมายความถึงการบรรจบกันตั้งแต่ $\beta$ -expansion ไม่ยุติ แต่ฉันคิดว่ามันจะช่วยให้ฉันเข้าใจอุปสรรค

(บนสุด)ในกรณีที่ทั้งสองลดลงอยู่ที่ระดับบนสมมติฐานที่จะกลายเป็น $(\lambda x_1.b_1)a_1\rightarrow b_1[a_1/x_1]=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ 2มากถึง $\alpha$ -renaming เราสามารถสรุปได้ว่า $x_1\not =x_2$ และนั่นไม่ใช่ $x_1$ หรือ $x_2$ เป็นอิสระในเงื่อนไขเหล่านั้น

(โยน)ถ้า $x_1$ ไม่ฟรีใน $b_1$ เรามี $b_1=b_2[a_2/x_2]$ และดังนั้นจึงมี $(\lambda x_1.b_1)a_1=(\lambda x_1.b_2[a_2/x_2])a_1\leftarrow(\lambda x_1.(\lambda x_2.b_2)a_2)a_1\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ 2

หลักฐานที่ไร้เดียงสาโดยอุปนัย (บน $b_1$ และ $b_2$ ) สำหรับกรณี (บนสุด) จะเป็นดังนี้:

หาก $b_1$ เป็นตัวแปร $y_1$ ,
- ถ้า $y_1=x_1$ สมมติฐานกลายเป็น $(\lambda x_1.x_1)a_1\rightarrow a_1=b_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ และเราแน่นอนมี $(\lambda x_1.x_1)a_1=(\lambda x_1.x_1)(b_2[a_2/x_2])\leftarrow (\lambda x_1.x_1)((\lambda x_2.b_2)a_2)\rightarrow (\lambda x_2.b_2)a_2$ 2
- ถ้า $y_1\not=x_1$ เราก็สามารถใช้ (Throw)
ใช้หลักฐานอันเดียวกันคือ $b_2$ เป็นตัวแปร
สำหรับ $b_1=\lambda y.c_1$ และ $b_2=\lambda y.c_2$ สมมติฐานกลายเป็น $(\lambda x_1.\lambda y. c_1)a_1\rightarrow \lambda y.c_1[a_1/x_1]=\lambda y.c_2[a_2/x_2]\leftarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ และสมมติฐานการเหนี่ยวนำให้ $d$ ดังกล่าวว่า $(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow d\rightarrow (\lambda x_2.c_2)a_2$ ซึ่งหมายความว่า $\lambda y.(\lambda x_1.c_1)a_1\leftarrow \lambda y.d\rightarrow \lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2$ 2แต่น่าเสียดายที่เราไม่ได้มี $\lambda y.(\lambda x_2.c_2)a_2\rightarrow (\lambda x_2.\lambda y.c_2)a_2$ 2(สิ่งนี้ทำให้ฉันคิดถึง $\sigma$ -reduction)
ปัญหาเดียวกันนี้เกิดขึ้นสำหรับการใช้งานที่: $\lambda$ s ไม่ได้ที่พวกเขาควรจะเป็น

lambda-calculus term-rewriting

— xavierm02
แหล่งที่มา

@chi เว้นแต่ฉันเข้าใจผิด

งาน

(λ b . y b) y \leftarrow (λ a . (λ b . a b) y) y \to (λ a . a y) y

$(\lambda b.yb)y\leftarrow(\lambda a. (\lambda b. a b)y)y\rightarrow (\lambda a. a y)y$

— xavierm02

ฉันเห็นด้วยกับ @chi มากว่ามันดูเหมือนว่าจะไหลมารวมกันหลังจากที่คุณคิดถึงมันและเห็นตัวอย่างเคาน์เตอร์ แต่จริงๆแล้วจะเป็นอย่างไร

(λ x . x x y) y \to y y y \leftarrow (λ x . y x x) y

$(\lambda x.x\;x\;y)\;y \to y\;y\;y \leftarrow (\lambda x.y\;x\;x)\;y$

— Rodolphe Lepigre

แม้ว่ามันจะสะดวกสำหรับฉันถ้ามันเป็นเรื่องจริงฉันก็เป็นคนมองโลกในแง่ร้ายอีกเล็กน้อย เพื่อนร่วมงานของฉันทำข้อสังเกตต่อไปนี้ซึ่งทำให้ดูเหมือนไม่น่าเป็นไปได้: มันบอกเป็นนัยว่าโปรแกรมสองโปรแกรมใด ๆ ที่คำนวณจำนวนเต็ม (โบสถ์) เดียวกันสามารถรวมกันได้

— xavierm02

คำตอบคือไม่ การออกกำลังกายใน 3.5.11 Barendregt ให้เคาน์เตอร์ตัวอย่างประกอบกับ Plotkin แต่ไม่มีการอ้างอิง:

และ

)

ฉันจะหาหลักฐาน

(λ x . b x (b c)) c

$(\lambda x. b x (b c)) c$

(λ x . x x) (b c)

$(\lambda x. x x) (b c)$

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'

ฉันโพสต์ตัวอย่างตัวอย่างเป็นคำตอบด้วยสิ่งที่ฉันคิดว่าจะเป็นหลักฐาน แต่มีขั้นตอนที่ฉันไม่สามารถเข้าใจได้ หากใครบางคนสามารถคิดออกได้โปรดโพสต์คำตอบและฉันจะลบของฉัน

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'

คำตอบ:

ตัวอย่างที่สองคือ:

$(\lambda x. b x (b c)) c$ และ $(\lambda x. x x) (b c)$ (Plotkin)
$(\lambda x. a (b x)) (c d)$ และ $a ((\lambda y. b (c y)) d)$ (Van Oostrom)

ตัวอย่างตัวอย่างรายละเอียดด้านล่างมีให้ในแลมบ์ดาแคลคูลัส: ไวยากรณ์และความหมายโดย HP Barenredgt ฉบับปรับปรุง (1984), การออกกำลังกาย 3.5.11 (vii) มันเกิดจาก Plotkin (ไม่มีการอ้างอิงที่แม่นยำ) ฉันให้หลักฐานที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งดัดแปลงมาจากหลักฐานโดย Vincent van Oostrom ของ counterexample ที่แตกต่างกันในการใช้เวลาห้า: การออกกำลังกายการขยายตัวง่าย (1996) [PDF]

พื้นฐานของการพิสูจน์คือทฤษฎีบทมาตรฐานซึ่งช่วยให้เราพิจารณาการขยายเบต้าในรูปแบบบางอย่างเท่านั้น การพูดอย่างสังหรณ์ใจการลดมาตรฐานคือการลดที่ทำให้การหดตัวทั้งหมดจากซ้ายไปขวา การลดลงนั้นไม่ได้มาตรฐานหากมีขั้นตอน $M_i$ ซึ่ง redex เป็นเศษเหลือของ redex ไปทางซ้ายของ redex ของขั้นตอนก่อนหน้า $M_j$ ; “ ซ้าย” และ“ ขวา” สำหรับ redex ถูกกำหนดโดยตำแหน่งของ $\lambda$ ที่ถูกกำจัดเมื่อทำสัญญา redex ทฤษฎีบทมาตรฐานกล่าวว่าหาก $M \rightarrow_\beta^* N$ มีการลดมาตรฐานจาก $M$ เป็น $N$ .

Let $L = (\lambda x. b x (b c)) c$ และ $R = (\lambda x. x x) (b c)$ )คำศัพท์ทั้งสองลดค่าเบต้าเป็น $b c (b c)$ ในขั้นตอนเดียว

สมมติว่ามีบรรพบุรุษร่วมกันดังกล่าวว่า Rด้วยทฤษฎีบทมาตรฐานเราสามารถสรุปได้ว่าการลดลงทั้งสองเป็นมาตรฐาน โดยไม่สูญเสียความคิดทั่วไปสมมติว่าเป็นขั้นตอนแรกที่การลดลงเหล่านี้แตกต่างกัน จากการลดลงทั้งสองนี้ขอให้เป็นอันที่ redex ของขั้นตอนแรกอยู่ทางซ้ายของอีกอันและเขียนโดยที่ $A$ $L \leftarrow_\beta^* A \rightarrow_\beta^* R$ $A$ $\sigma$ $A = C_1[(\lambda z. M) N]$ $C_1$ เป็นบริบทของการหดตัวนี้และ $(\lambda z. M) N$ คือ redex ให้ $\tau$ เป็นการลดอื่น ๆ

เนื่องจาก $\tau$ เป็นมาตรฐานและขั้นตอนแรกอยู่ทางขวาของรูใน $C_1$ จึงไม่สามารถหดที่ $C_1$ หรือทางซ้ายของมัน ดังนั้นเทอมสุดท้ายของ $\tau$ จึงเป็นรูปแบบ $C_2[(\lambda z. M') N']$ โดยที่ส่วนของ $C_1$ และ $C_2$ ทางด้านซ้ายของรูของพวกมันเหมือนกัน $M \rightarrow_\beta^* M'$ และ $N \rightarrow_\beta^* N'$ . เนื่องจาก $\sigma$ เริ่มต้นด้วยการลดที่ $C_1$ และไม่เคยลดลงเหลืออีกเทอมสุดท้ายของมันจะต้องอยู่ในรูปแบบ $C_3[S]$ โดยที่ส่วนของ $C_3$ ทางด้านซ้ายของรูนั้นเหมือนกับส่วนซ้ายของ $C_1$ และ $C_2$ และ $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* S$ S

$L$ $R$ $\tau$ $\lambda z. M$ $L$ $R$ $\tau$ $N$ $C_1 = C_2 = C_3 = []$

$\tau$ $R$ $M \rightarrow_\beta^* z z$ $N \rightarrow_\beta^* b c$ $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. b x (b c)) c$ $N$ $L$ $b c$ $N$ $N$ $\sigma$ $\check{N} P$ $\check{N}$ $N$ $L$ $b c$ $b c$ $N$ $L$ $b c$
$\tau$ $L$ $M \rightarrow_\beta^* b z (b c)$ $N \rightarrow_\beta^* c$ $M[z \leftarrow N] \rightarrow_\beta^* (\lambda x. x x) (b c)$ $N$ $R$ $c$

$N$ $M$

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'
แหล่งที่มา

$\beta$ $x$ $v$ $(\lambda x.v)\;t_1 \to_\beta v$ $(\lambda x.v)\;t_2 \to_\beta v$ $t_1$ $t_2$ $\beta$ $t_1$ $t_2$ $u$ $u \to_\beta^\ast t_1$ $u \to_\beta^\ast t_2$

— Rodolphe Lepigre
แหล่งที่มา

(λ x . v) t_{1} \leftarrow (λ x . (λ x . v) t_{1}) t_{2} \to (λ x . v) t_{2}

$(\lambda x .v) t_1\leftarrow (\lambda x .(\lambda x .v) t_1)t_2\rightarrow (\lambda x .v) t_2$

ประณามคุณถูก! ฉันจะพยายามคิดอย่างอื่นในภายหลังฉันไม่มีเวลา

— Rodolphe Lepigre