หมายความว่าอย่างไรเมื่อเราพูดว่าจุดส่วนใหญ่ใน hypercube นั้นอยู่ที่ขอบเขต

ถ้าฉันมี hypercube 50 มิติ และผมนิยามว่ามันเป็นขอบเขตด้วยหรือโดยที่เป็นมิติของไฮคิวบ์ จากนั้นการคำนวณสัดส่วนของคะแนนในเขตแดนของ hypercube ที่จะเป็น0.995มันหมายความว่าอะไร? หมายความว่าส่วนที่เหลือของพื้นที่ว่างเปล่าหรือไม่ ถ้า99 \%ของคะแนนอยู่ที่ขอบเขตแล้วคะแนนภายในลูกบาศก์จะต้องไม่กระจายอย่างสม่ำเสมอ?0.95 < x j < 1 x j 0.995 99 $0<x_j<0.05$$0.95<x_j<1$$x_j$$0.995$$99\%$

การพูดของ$99\%$ของคะแนนในไฮเปอร์คิวบ์ ' นั้นทำให้เข้าใจผิดเล็กน้อยเนื่องจากไฮเปอร์คิวบ์มีหลายจุดไม่สิ้นสุด มาพูดถึงปริมาณแทนกัน

ปริมาตรของไฮเปอร์คิวบ์เป็นผลคูณของความยาวด้าน สำหรับ hypercube หน่วย 50 มิติเราได้รับ

$$\text{Total volume} = \underbrace{1 \times 1 \times \dots \times 1}_{50 \text{ times}} = 1^{50} = 1.$$

ตอนนี้ให้เราแยกขอบเขตของไฮเพอร์คิวบ์และดูที่ 'การตกแต่งภายใน ' (ฉันใส่สิ่งนี้ในเครื่องหมายคำพูดเพราะคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ภายในมีความหมายแตกต่างกันมาก) เราเก็บคะแนนไว้ที่ที่พอใจ ปริมาณของ 'การตกแต่งภายใน ' นี้คืออะไร? ทีนี้ 'การตกแต่งภายใน ' เป็นไฮเปอร์คิวบ์อีกครั้งและความยาวของแต่ละด้านเท่ากับ ( ... มันช่วยให้จินตนาการได้ในสองและสามมิติ) ดังนั้นปริมาณจึงเป็น$x = (x_1, x_2, \dots, x_{50})$

$$0.05 < x_1 < 0.95 \,\text{ and }\, 0.05 < x_2 < 0.95 \,\text{ and }\, \dots \,\text{ and }\, 0.05 < x_{50} < 0.95.$$ $0.9$$=0.95 - 0.05$ $$\text{Interior volume} = \underbrace{0.9 \times 0.9 \times \dots \times 0.9}_{50 \text{ times}} = 0.9^{50} \approx 0.005.$$ เอาเป็นว่าปริมาณของ ' ขอบเขต ' (กำหนดเป็น hypercube หน่วยโดยไม่มี ' ภายใน ') คือ$1 - 0.9^{50} \approx 0.995.$

นี่แสดงให้เห็นว่าของปริมาตรของ hypercube 50 มิตินั้นเน้นที่ ' ขอบเขต '$99.5\%$

---

การติดตามผล: Ignatiusก่อให้เกิดคำถามที่น่าสนใจเกี่ยวกับการเชื่อมโยงกับความน่าจะเป็น นี่คือตัวอย่าง

สมมติว่าคุณสร้างโมเดล (การเรียนรู้ของเครื่อง) ที่ทำนายราคาที่อยู่อาศัยตามพารามิเตอร์อินพุต 50 รายการ ทั้งหมดป้อนพารามิเตอร์ 50 มีอิสระและกระจายอย่างสม่ำเสมอระหว่างและ1$0$$1$

ให้เราบอกว่าแบบจำลองของคุณทำงานได้ดีมากหากไม่มีพารามิเตอร์อินพุตมาก:ตราบใดที่พารามิเตอร์อินพุตทั้งหมดอยู่ระหว่างถึงโมเดลของคุณจะทำนายราคาบ้านได้อย่างสมบูรณ์แบบ แต่ถ้าพารามิเตอร์อินพุตอย่างน้อยหนึ่งพารามิเตอร์มีค่ามาก (น้อยกว่าหรือใหญ่กว่า ) การคาดการณ์ของโมเดลของคุณจะแย่มากอย่างแน่นอน$0.05$$0.95$$0.05$$0.95$

พารามิเตอร์ป้อนข้อมูลใด ๆ ให้เป็นมากมีโอกาสเพียง\% เห็นได้ชัดว่านี่เป็นแบบอย่างที่ดีใช่มั้ย No! ความน่าจะเป็นที่พารามิเตอร์อย่างน้อยหนึ่งในนั้นสุดขั้วคือ ดังนั้นในของการทำนายแบบจำลองของคุณนั้นแย่มาก$10\%$$50$$1 - 0.9^{50} \approx 0.995.$$99.5\%$

Rule of thumb: ในมิติที่สูงการสังเกตที่รุนแรงคือกฎและไม่ใช่ข้อยกเว้น

คุณสามารถมองเห็นลวดลายได้ชัดเจนแม้ในขนาดที่ต่ำกว่า

มิติที่ 1 ใช้ความยาว 10 และขอบเขต 1 ความยาวของขอบเขตคือ 2 และอัตราส่วน 8, 1: 4

มิติที่สอง ใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้าน 10 และขอบเขต 1 อีกครั้ง พื้นที่ของขอบเขตคือ 36, อัตราส่วนภายใน 64, 9:16

มิติที่ 3 ความยาวและขอบเขตเท่ากัน ปริมาตรของขอบเขตคือ 488, การตกแต่งภายในคือ 512, 61:64 - แล้วขอบเขตนั้นใช้พื้นที่เกือบเท่ากับภายใน

มิติที่สี่ตอนนี้ขอบเขตคือ 5904 และภายใน 4096 - ขอบเขตตอนนี้ใหญ่ขึ้น

แม้แต่สำหรับขอบเขตความยาวที่เล็กลงและเล็กลงเมื่อมิติเพิ่มขนาดปริมาตรขอบเขตจะแซงการตกแต่งภายในเสมอ

วิธีที่ดีที่สุดในการ "เข้าใจ" มัน (แม้ว่ามันจะเป็นไปไม่ได้สำหรับมนุษย์ IMHO) คือการเปรียบเทียบปริมาตรของลูกบอล n-Dim และ n-cube ด้วยการเติบโตของ n (มิติ) ปริมาณทั้งหมดของลูกบอล "รั่วไหลออกมา" และมุ่งเน้นที่มุมของลูกบาศก์ นี่เป็นหลักการทั่วไปที่มีประโยชน์ที่ต้องจำในทฤษฎีการเข้ารหัสและการใช้งาน

คำอธิบายตำราเรียนที่ดีที่สุดของหนังสือเล่มนี้อยู่ในหนังสือ "ทฤษฎีการเข้ารหัสและข้อมูล" ของ Richard W. Hamming (3.6 Geometric Approach, p 44)

บทความสั้น ๆ ในวิกิพีเดียจะให้สรุปสั้น ๆ ของเดียวกันถ้าคุณเก็บไว้ในใจว่าปริมาณของ n มิติลูกบาศก์หน่วยอยู่เสมอ 1 ^ n

ฉันหวังว่ามันจะช่วย