ฉันพยายามที่จะเข้าใจเลขคณิตเวกเตอร์ (และโดยเฉพาะการใช้ในเอ็นจิ้น Unity) ฉันไม่สามารถเข้าใจได้ว่าเวกเตอร์มีความยาว (ขนาด) อย่างไรถึงจะเป็นเพียงแค่จุด (ตำแหน่งและทิศทาง) เท่านั้น

นั่นหมายความว่าขนาดเป็นเพียงระยะทางจากจุดกำเนิด (0, 0, 0)? หรือว่าฉันขาดอะไรไป?

นั่นหมายความว่าขนาดเป็นเพียงระยะทางจากจุดกำเนิด (0, 0, 0)

TL; DRคำตอบอาจจะเป็น: ใช่คุณสามารถจินตนาการมันเหมือนว่า

แต่ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้อาจไม่นำไปสู่ความเข้าใจที่ผิด

เวกเตอร์ไม่ใช่จุดและมีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างสองสิ่งนี้!

ความจริงที่ว่าเวกเตอร์มักจะแสดงเป็น "ลูกศร" อาจทำให้เกิดความรู้สึกผิด อันที่จริงแล้วเวกเตอร์ไม่ใช่ลูกศรเดียว มันจะแม่นยำมากขึ้นถ้าจะบอกว่าเวกเตอร์เป็นเซตของลูกศรทั้งหมดที่มีความยาวและทิศทางเท่ากัน (ลูกศรที่มักจะวาดเป็นเพียงหนึ่งในตัวแทนของลูกศรเหล่านี้ทั้งหมด) แต่ฉันไม่ต้องการไปไกลเกินกว่ารายละเอียดที่น่าเบื่อของคณิตศาสตร์ที่นี่

ที่สำคัญกว่านั้นมีความแตกต่างที่สำคัญระหว่างจุดและเวกเตอร์ที่เห็นได้ชัดในการเขียนโปรแกรมกราฟิกเมื่อคุณเปลี่ยนจุดหรือเวกเตอร์ ฉันไม่คุ้นเคยกับ Unity แต่จากเอกสารอย่างรวดเร็วพวกเขากำลังสร้างแบบจำลองความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างจุดและเวกเตอร์ในMatrix4x4ชั้นเรียน มันมีฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันสองอย่าง:

• Matrix4x4.MultiplyVector และ
• Matrix4x4.MultiplyPoint

ความแตกต่างคือพูดคร่าว ๆ ว่าเวกเตอร์ไม่ได้แปลในขณะที่จุดคือ ลองนึกภาพเมทริกซ์ 4x4 ต่อไปนี้:

1.0   0.0   0.0   1.0
0.0   1.0   0.0   2.0
0.0   0.0   1.0   3.0
0.0   0.0   0.0   1.0

มันอธิบายการแปลเกี่ยวกับ (1,2,3) ตอนนี้เมื่อคุณมีรหัสเทียมต่อไปนี้

Vector3 tp = matrix.MultiplyPoint (new Vector3(2,3,4));
Vector3 tv = matrix.MultiplyVector(new Vector3(2,3,4));

จากนั้นtpจะเป็น (3,4,5) wheras tvจะยังคงอยู่ (2,3,4) การแปลเวกเตอร์ไม่เปลี่ยน (เพราะดังที่ได้กล่าวไปแล้วมันเป็นชุดของลูกศรทั้งหมดที่มีขนาดและทิศทางเท่ากัน)

ความจริงที่ว่า Unity ใช้Vector3คลาสสำหรับทั้งเวกเตอร์และคะแนนนั้นถูกต้องตามกฎหมาย แต่อาจทำให้สับสน ห้องสมุดอื่น ๆ dedicatedly ความแตกต่างระหว่างPoint3Dและบางครั้งก็มีฐานที่เหมือนกันเช่นVector3DTuple3D

นั่นหมายความว่าขนาดเป็นเพียงระยะทางจากจุดกำเนิด (0, 0, 0)

นั่นคือสิ่งที่แน่นอน

เหนือสิ่งอื่นใดเวกเตอร์สามารถแสดงจุด (ตำแหน่ง) ทิศทางและ / หรือความเร็วขึ้นอยู่กับบริบท

หากคุณมีตัวแปรนี้:

Vector3 mPosition;

โดยทั่วไปจะแสดงเฉพาะตำแหน่งเช่นที่ตั้งอยู่ในพื้นที่ 3 มิติ

หากคุณมีตัวแปรนี้:

Vector3 mDirection;

โดยทั่วไปแสดงถึงทิศทาง โดยทั่วไปเวกเตอร์เหล่านี้เป็นเวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ที่มีความยาว 1 (แต่ไม่จำเป็นเสมอไป) เวกเตอร์หน่วยและเวกเตอร์ปกติคือสิ่งเดียวกันพวกมันมีความยาว 1 ส่วนเวกเตอร์เหล่านี้มักใช้กับเวกเตอร์อื่นเพื่อเปลี่ยนตำแหน่ง

เมื่อ normalizing เวกเตอร์คุณสูญเสียความยาว (ขนาดของมัน) แต่ทิศทางยังคงเหมือนเดิม มีสถานการณ์เมื่อคุณต้องการเพียงทิศทาง (เช่นเมื่อคุณต้องการย้ายวัตถุในทิศทางนั้น) และมีขนาด (ไม่ยาวหน่วย) ในเวกเตอร์จะแนะนำผลการคำนวณที่ไม่คาดคิด

หากคุณต้องการเวกเตอร์ปกติสำหรับการคำนวณเดี่ยวคุณสามารถใช้myVec3.normalizedมันจะไม่ส่งผลกระทบmyVec3และถ้าคุณตั้งใจจะใช้เวกเตอร์ที่ทำให้ปกตินั้นบ่อยครั้งคุณควรสร้างตัวแปร:

Vector3 myVec3Normalized = myVec3.normalized;

เพื่อหลีกเลี่ยงการเรียกซ้ำไปยังnormalizedเมธอด

และถ้าคุณเห็นตัวแปร:

Vector3 mVelocity;

โดยทั่วไปจะแสดงถึงแรง / ความเร็ว: เวกเตอร์เหล่านี้แสดงทิศทางและขนาด (ความยาว) เป็นสิ่งสำคัญ พวกเขาอาจจะมีการแสดงด้วยและVector3 mDirection;float mSpeed;

สิ่งเหล่านี้ถูกใช้โดยคำนึงถึงที่มาของท้องถิ่นซึ่งอาจเป็น (0, 0, 0) หรืออาจเป็นตำแหน่งอื่นได้

นั่นหมายความว่าขนาดเป็นเพียงระยะทางจากจุดกำเนิด (0, 0, 0)

คุณสามารถเห็นมันเป็นอย่างนั้น แต่เพียงเห็นด้วยวิธีนั้นอาจนำไปสู่ความเข้าใจที่ผิด

ก่อนอื่นเวกเตอร์ไม่ใช่จุดและจุดไม่ใช่เวกเตอร์

ความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์และจุดเป็นเช่นเดียวกับระหว่างระยะเวลาและช่วงเวลาของวัน อดีตคือช่วงเวลา, หลังเป็นจุดเดียวในเวลา เห็นได้ชัดว่า 6 ชั่วโมงไม่เหมือนกันกับ 6 โมง คุณจะไม่พูดว่า "การแข่งขันจะใช้เวลา 1 นาฬิกา" และคุณจะไม่พูดว่า "มาพบกันที่ 13 ชั่วโมง" การแข่งขันเป็นเวลาหนึ่งชั่วโมง - ช่วงเวลา - และคุณพบกันที่ 13 โมง - จุดเฉพาะในเวลา

เช่นเดียวกับเวกเตอร์และจุด เวกเตอร์เป็น intervall - การกระจัดถ้าคุณจะ มันชี้ไปในทิศทางที่แน่นอนและใช่มันมีความยาว

คะแนนและเวกเตอร์จึงสัมพันธ์กันเช่นเดียวกับระยะเวลาและเวลาของวัน การแข่งขันเริ่มต้นที่ 13 โมงเช้าและสิ้นสุดที่ 15 โมง ทั้งสองเป็นจุดในเวลา แต่ 15 โมง - 13 โมง = 2 ชั่วโมงระยะเวลา การแข่งขันใช้เวลาสองชั่วโมงไม่ใช่ 2 โมงเช้า

เช่นเดียวกับคะแนน ความแตกต่างระหว่างจุด A และ B จะแสดงเป็น⃗v = B - A โดยที่⃗vหมายถึงเวกเตอร์และ A และ B หมายถึงจุด

ขณะนี้มีสิ่งที่เรียกว่าเวกเตอร์ตำแหน่ง คุณสามารถพิจารณาเวกเตอร์หนึ่งตัวชี้ไปที่ระดับหนึ่งเมื่อคุณพูดว่าเวกเตอร์นั้นชี้จากจุดกำเนิดไปยังจุดอื่น กล่าวอีกนัยหนึ่ง: หากเพื่อนของคุณทุกคนรู้ว่าคุณโทรหาช่วงเวลาของวันเป็นระยะเวลาตั้งแต่เที่ยงคืน (0 โมงเช้า) คุณสามารถพูดว่า "เราพบกัน 6 ชั่วโมง" พวกเขาจะรู้ว่า 0 โมงเช้า + 6 ชั่วโมง = 6 โมงเช้าดังนั้นเมื่อไรที่คุณ นี่คือความจริงที่ว่าเวลาของกองทัพเรือทำอะไร "เราพบกันตอนหกโมงครึ่ง" หมายถึง 6 โมงเช้า

เวกเตอร์ <1,2,3> ชี้ไปที่จุด (1,2,3) ถ้าคุณพิจารณาจุดกำเนิดจุดยึดและใช่ความยาวของเวกเตอร์นี้คือระยะทางของจุดนั้นจากจุดกำเนิด

แต่เวกเตอร์ <1,2,3> ยังจุดจาก (1,1,1) ถึง (2,3,4) และในกรณีที่ความยาวของมันหมายถึงระยะห่างระหว่างผู้สองจุด

อย่างที่คุณเห็นเวกเตอร์มีความยาวเพราะมันไม่ใช่จุด แต่เป็นช่วงเวลา - การกระจัด

เวกเตอร์สามารถแสดงเส้นแบ่งระหว่างสองจุดในพื้นที่ 3 มิติ (ทิศทางและระยะทาง) หรือตำแหน่งในพื้นที่ 3 มิติ (ความยาวคือระยะทางจากจุดกำเนิด)

หากคุณมีจุด A และจุด B ดังนั้น BA = AB = ทิศทางและระยะทางที่คุณต้องเดินทางจาก A ถึง B

สิ่งที่ Unity กล่าวเกี่ยวกับคะแนนเทียบกับเวกเตอร์นั้นไม่มีความหมายในระยะยาวเนื่องจาก API ของเรขาคณิตเพียงแค่เลือกคำจำกัดความที่แตกต่างกันเพื่อให้เครื่องมือสามารถเข้าถึงได้มากขึ้นพวกเขาไม่สอดคล้องกับสิ่งเหล่านี้ ดูการใช้งานของชั้นเรียนถ้าคุณสามารถ เพราะมันเป็นกฎเกณฑ์การรู้นิยามของมันเป็นวิธีเดียวที่จะเข้าใจว่าแนวคิดคืออะไร การเปิดเผยแบบเต็มฉันไม่ได้มีความเป็นเอกภาพ

เวกเตอร์เป็นจุดหนึ่งในปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งแนวคิดของจุดในเรขาคณิตนั้นถูกเข้ารหัสโดยองค์ประกอบของชุดต้นแบบ ปริภูมิเวกเตอร์มีเวกเตอร์ที่โดดเด่นเรียกว่าต้นกำเนิดหรือ 0 พีชคณิตเชิงเส้นเป็นความพยายามที่จะเข้ารหัสส่วนของเรขาคณิตแบบยูคลิดที่มีต้นกำเนิดพีชคณิต

ลูกศรและความยาว

การเคลื่อนที่ข้ามช่องว่างของคะแนนมักถูกตีความว่าเป็นลูกศรทั้งหมดจากแหล่งที่มา / ก่อนที่จะชี้ไปที่เป้าหมาย

ฟังก์ชั่นของทั้งสองมีปากเสียงสามารถนำไปใช้อาร์กิวเมนต์หนึ่งในการผลิตการทำงานของอาร์กิวเมนต์หนึ่ง - เราสามารถพูดของx + ฟังก์ชั่นที่ใช้เวลาเวกเตอร์แต่ละปีจะเวกเตอร์x + y ที่ นี่คือการแปลที่เกี่ยวข้อง w / เพิ่มx ลูกศรที่เกี่ยวข้องทำงานจากจุดYไปยังจุดx + y ที่ ดู: การประยุกต์ใช้บางส่วน , ความดีความชอบ

ดังนั้นทำไมเราจะใช้ลูกศรหนึ่ง ? ลูกศรจากจุดกำเนิดชี้ไปที่เวกเตอร์ที่ระบุxในx + - ต้นกำเนิดคือตัวตนของการบวกเวกเตอร์ ดังนั้นเราสามารถกู้คืนการแปลx + จากความคุ้มค่าคุ้มx 0 = x

ในฐานะที่เป็นตัวแทนกราฟิกของพื้นที่ตัวแทนลูกศรมีส่วนเกี่ยวข้องกับความสามารถของเราในการคาดการณ์ผลกระทบของการแปลโดยใช้สายตาหรือร่างกาย เมื่อไหร่ที่เรามีความสามารถนั้น

เพื่อให้ปริภูมิเวกเตอร์ที่บรรทัดฐานทำให้มันเป็นปริภูมิเวกเตอร์เกณฑ์คือการให้ความคิดของที่มีความยาวของเวกเตอร์ที่ทำให้รู้สึกเป็นระยะทางจาก 0. เช่นเดียวนี้คือการเป็นระยะไกลความพึงพอใจความไม่เท่าเทียมกันรูปสามเหลี่ยมซึ่งเป็น ข้อ จำกัด ที่แข็งแกร่งเกี่ยวกับความยาวของเวกเตอร์สองตัวที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของพวกเขา จากความยาวเราสามารถกำหนดระยะทางเพื่อทำให้นี่เป็นพื้นที่เมตริกและgeodesicเป็นเส้นทางที่อยู่ตรงภายในซึ่งสั้นที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ บรรทัดฐาน euclideanเจือจางระยะทางยุคลิดและผิวโค้งเป็นส่วนของเส้นของลูกศร แต่ถ้าคุณวาดลูกศรเป็นผิวโค้งโดยใช้บรรทัดฐานที่แตกต่างกันคุณสามารถคาดการณ์ผลกระทบทางเรขาคณิตของการแปลจาก geodesics เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับเรขาคณิต

ความหมายของจุดและเวกเตอร์

ในบางกรณีในการทำเรขาคณิตของเกมจุดว่างของคุณไม่ใช่เวกเตอร์สเปซ พื้นที่เลียนแบบของมิติn สามารถฝังตัวอยู่ในช่องว่างของมิติ projective n เลียนแบบแผนที่ลดเป็นโครงการ Projectivities ยังช่วยให้คุณทำ FOV, w / c ฉันคิดว่าไม่เลียนแบบ Projectivities มีประโยชน์:

projective n- space เหนือสนามสามารถสร้างได้จากเชิงเส้น ( n +1) -space (ปริภูมิเวกเตอร์) โดยการรักษาจุดของพื้นที่ projective เป็นเส้นผ่านต้นกำเนิดของพื้นที่เชิงเส้น เครื่องบินผ่านจุดกำเนิดในทางกลับกันให้เส้น projective การคูณเวกเตอร์ด้วยเมทริกซ์คงที่คือแผนที่เชิงเส้นนี่คือการคูณเมทริกซ์สำหรับ แผนที่เชิงเส้นรักษาต้นกำเนิดและเข้ากันได้กับอุบัติการณ์ โดยเฉพาะถ้าfเป็นเชิงเส้นออโตฟิซึม ( ตรงกับเมทริกซ์กลับด้าน ( n +1) x ( n +1) เมทริกซ์) และสองบรรทัดL, Mผ่านจุดกำเนิดจะกระจายระนาบAจากนั้นf L, f Mเป็นเส้นผ่านต้นกำเนิดซึ่งประกอบไปด้วยf Aดังนั้นfจะรักษาอุบัติการณ์ในพื้นที่ฉายภาพได้เช่นกัน - เมทริกซ์กลับด้านมีการฉายภาพที่เกี่ยวข้อง การคูณเมทริกซ์เข้ารหัสองค์ประกอบของแผนที่เชิงเส้นและด้วยเหตุนี้โครงการ

การลบจุดกำเนิดออกจากพื้นที่เชิงเส้นจุดทั้งหมดในบรรทัดที่กำหนดผ่านจุดกำเนิดคือทวีคูณสเกลาร์ของอีกจุดหนึ่ง การใช้ประโยชน์จากความเป็นจริงนี้เป็นเนื้อเดียวกันหยิบประเด็นเชิงเส้นที่จะยืนอยู่ในแต่ละจุด projective และเมทริกซ์ผกผันจะยืนอยู่ในแต่ละการเปลี่ยนแปลง projective (ในขณะนี้2D -> 2D เลียนแบบแผนที่เป็น 3 มิติ -> 3D เชิงเส้นแผนที่วิดีโอ ) ในดังกล่าว วิธีการที่ตัวแทนจะปิดภายใต้ผลิตภัณฑ์เมทริกซ์เมทริกซ์และเมทริกซ์เวกเตอร์และให้และได้รับจากสิ่ง projective ที่ไม่ซ้ำกัน คำอธิบายของการสร้างระนาบโปรเจคจากระนาบเชิงเส้นเชื่อมโยงบางสิ่งเข้าด้วยกัน

ดังนั้นในไปป์ไลน์เมทริกซ์การฉายแบบจำลองมุมมองเราใช้เวกเตอร์เพื่อเป็นตัวแทนจุดของพื้นที่โปรเจกต์ของเรา แต่พื้นที่โปรเจคต์ไม่ใช่พื้นที่เวคเตอร์และไม่ใช่เวกเตอร์ทั้งหมดในพื้นที่เวกเตอร์ที่เราใช้เป็นตัวแทนจุด ของรูปทรงเรขาคณิตของเรา (ดูรูปเลียนแบบเครื่องบินทางขวา ) เราใช้เมทริกซ์การแปลแทนผลรวมเวกเตอร์ถ้าเราต้องการการแปล บางครั้งผู้คนเรียกว่า projective หรือ affine points เวกเตอร์โดยเฉพาะเมื่อใช้การตั้งค่าในหลอดเลือดดำ

ความยาว (หรือขนาด) square root of (x*x+y*y+z*z)ของเวกเตอร์คือ เวกเตอร์ถือเป็นรังสีผ่านจากจุดกำเนิด<0,0,0> ถึงจุดที่อธิบายไว้ในเวกเตอร์<x,y,z>

เอกสารความสามัคคีในนี้จะพบที่นี่