วงกลมภายในการชนกันของวงกลม

ในโครงการหนึ่งของฉันฉันมีพื้นที่เล่นเกมในรูปวงกลม ภายในวงกลมนี้มีวงกลมเล็ก ๆ อีกวงหนึ่งกำลังเคลื่อนที่ สิ่งที่ฉันต้องการจะทำคือป้องกันไม่ให้วงกลมเล็ก ๆ เคลื่อนไปข้างนอกวงกลมที่ใหญ่กว่า ด้านล่างคุณจะเห็นว่าในกรอบที่ 2 วงกลมเล็กด้านนอกฉันต้องการวิธีย้ายมันกลับไปก่อนที่มันจะออกไปข้างนอก สิ่งนี้สามารถทำได้?

นอกจากนี้ฉันต้องการจุดชนตามส่วนโค้งของวงกลมใหญ่เพื่อให้ฉันสามารถอัปเดตความเร็วของวงกลมขนาดเล็กได้ เราจะคำนวณจุดนี้อย่างไร

สิ่งที่ฉันต้องการจะทำคือก่อนที่จะย้ายวงกลมเล็ก ๆ ฉันทำนายตำแหน่งต่อไปของมันและถ้ามันอยู่นอกฉันจะหาเวลาของการชนกันระหว่าง t = 0 และ t = 1 (t = 1 เต็มเวลา) ถ้าฉันมีเวลาปะทะ t ฉันก็แค่ขยับวงกลมเล็ก ๆ ในช่วง t แทนขั้นตอนเต็มเวลา แต่อีกครั้งปัญหาคือฉันไม่รู้วิธีตรวจจับในเวลานั้นการชนเกิดขึ้นเมื่อมันมาถึงวงกลมสองวงและวงหนึ่งอยู่ภายในอีกวงหนึ่ง

แก้ไข:

ตัวอย่างจุดปะทะ (สีเขียว) ที่ฉันต้องการค้นหา บางทีภาพอาจจะออกมาเล็กน้อย แต่คุณก็เข้าใจ

สมมติว่าวงกลมขนาดใหญ่มีศูนย์AและรัศมีRและวงกลมขนาดเล็กมีศูนย์Bและรัศมีย้ายไปยังสถานที่ตั้งrC

มีวิธีที่สง่างามในการแก้ปัญหานี้โดยใช้เป็นเงินก้อน Minkovskiเปลี่ยนแผ่นดิสก์ของรัศมี (subtractions จริง) Rกับแผ่นดิสก์ของรัศมีR-rและแผ่นดิสก์ของรัศมีrกับแผ่นดิสก์ของรัศมี0, เช่น Bจุดที่เรียบง่ายอยู่ที่ ปัญหากลายเป็นปัญหาการตัดกันของเส้นวงกลม

จากนั้นคุณต้องตรวจสอบว่าระยะทางACนั้นเล็กกว่าR-rหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นวงกลมจะไม่ชนกัน ถ้ามันมีขนาดใหญ่เพียงแค่หาจุดDบนBCที่ระยะห่างR-rของAและนี่คือสถานที่ใหม่ของศูนย์กลางของวงกลมขนาดเล็กของคุณ สิ่งนี้เทียบเท่ากับการค้นหาkสิ่งนั้น:

  vec(BD) = k*vec(BC)
and
  norm(vec(AD)) = R-r

แทนvec(AD)ด้วยการvec(AB) + vec(BD)ให้:

AB² + k² BC² + 2k vec(AB).vec(BC) = (R-r)²

หากตำแหน่งเริ่มต้นอยู่ในวงกลมขนาดใหญ่สมการกำลังสองในkนี้จะมีรากที่เป็นบวกหนึ่งอัน นี่คือวิธีแก้สมการใน pseudocode:

b = - vec(AB).vec(BC) / BC²    // dot product
c = (AB² - (R-r)²) / BC²
d = b*b - c
k = b - sqrt(d)
if (k < 0)
    k = b + sqrt(d)
if (k < 0)
    // no solution! we must be slightly out of the large circle

ที่มีค่านี้kที่วงกลมขนาดเล็กของศูนย์ใหม่ที่ดังกล่าวว่าDBD = kBC

แก้ไข : เพิ่มโซลูชันสมการกำลังสอง

สมมติว่าวงกลมใหญ่คือวงกลม A และวงกลมเล็กคือวงกลม B

ตรวจสอบว่า B อยู่ภายใน A หรือไม่:

distance = sqrt((B.x - A.x)^2 + (B.y - A.y)^2))
if(distance > A.Radius + B.Radius) { // B is outside A }

หากในเฟรมn-1B อยู่ภายใน A และในเฟรมnB อยู่นอก A และเวลาระหว่างเฟรมไม่ใหญ่เกินไป (aka B ไม่เคลื่อนที่เร็วเกินไป) เราสามารถประมาณจุดชนได้โดยเพียงแค่ค้นหาพิกัดคาร์ทีเซียนของญาติ B ถึง A:

collision.X = B.X - A.X;
collision.Y = B.Y - A.Y;

จากนั้นเราสามารถแปลงจุดนี้เป็นมุม:

collision.Normalize(); //not 100% certain if this step is necessary     
radians = atan2(collision.Y, collision.X)

ถ้าคุณต้องการทราบว่าtB คืออะไรนอก A เป็นครั้งแรกคุณสามารถทำเรย์วงกลมทุก ๆ เฟรมแล้วเปรียบเทียบว่าระยะทางจาก B ถึงจุดชนนั้นใหญ่กว่าหรือไม่นั้นระยะทาง B สามารถเดินทางได้ ความเร็วปัจจุบัน ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณสามารถคำนวณเวลาที่แน่นอนของการชน

ให้ (Xa, Ya) ตำแหน่งของวงกลมใหญ่และมันคือรัศมี R และ (Xb, Yb) ตำแหน่งของวงกลมขนาดเล็กและรัศมีของ r

คุณสามารถตรวจสอบว่าวงกลมสองวงนี้ชนกันหรือไม่

DistanceTest = sqrt(((Xa - Xb) ^ 2) + ((Ya - Yb) ^ 2)) >= (R - r)

หากต้องการค้นหาตำแหน่งของการชนให้ค้นหาช่วงเวลาที่แน่นอนเมื่อวงกลมชนกันโดยใช้การค้นหาแบบไบนารี แต่มีจำนวนขั้นตอนคงที่ ขึ้นอยู่กับวิธีการสร้างเกมของคุณคุณสามารถเพิ่มประสิทธิภาพส่วนนี้ของรหัส (ฉันให้วิธีนี้จะเป็นอิสระจากการทำงานของลูกบอลขนาดเล็กถ้ามันมีการเร่งความเร็วคงที่หรือความเร็วคงที่ส่วนนี้ของรหัสสามารถปรับให้เหมาะสมและ แทนที่ด้วยสูตรง่าย ๆ )

left = 0 //the frame with no collision
right = 1 //the frame after collision
steps = 8 //or some other value, depending on how accurate you want it to be
while (steps > 0)
    checktime = left + (right - left) / 2
    if DistanceTest(checktime) is inside circle //if at the moment in the middle of the interval [left;right] the small circle is still inside the bigger one
        then left = checktime //the collision is after this moment of time
        else right = checktime //the collision is before
    steps -= 1
finaltime = left + (right - left) / 2 // the moment of time will be somewhere in between, so we take the moment in the middle of interval to have a small overall error

เมื่อคุณทราบเวลาปะทะกันให้คำนวณตำแหน่งของวงกลมสองวงในเวลาสุดท้ายและจุดชนสุดท้ายคือ

CollisionX = (Xb - Xa)*R/(R-r) + Xa
CollisionY = (Yb - Ya)*R/(R-r) + Ya

ฉันใช้ตัวอย่างลูกที่กระเด้งเป็นวงกลมบน jsfiddle โดยใช้อัลกอริทึมที่อธิบายโดยSam Hocevar :

http://jsfiddle.net/klenwell/3ZdXf/

นี่คือจาวาสคริปต์ที่ระบุจุดติดต่อ:

find_contact_point: function(world, ball) {
    // see https://gamedev.stackexchange.com/a/29658
    var A = world.point();
    var B = ball.point().subtract(ball.velocity());
    var C = ball.point();
    var R = world.r;
    var r = ball.r;

    var AB = B.subtract(A);
    var BC = C.subtract(B);
    var AB_len = AB.get_length();
    var BC_len = BC.get_length();

    var b = AB.dot(BC) / Math.pow(BC_len, 2) * -1;
    var c = (Math.pow(AB_len, 2) - Math.pow(R - r, 2)) / Math.pow(BC_len, 2);
    var d = b * b - c;
    var k = b - Math.sqrt(d);

    if ( k < 0 ) {
        k = b + Math.sqrt(d);
    }

    var BD = C.subtract(B);
    var BD_len = BC_len * k;
    BD.set_length(BD_len);

    var D = B.add(BD);
    return D;
}