ค่าสามค่าแรกที่อธิบายระนาบ 3 มิติเป็นเวกเตอร์ 3 มิติจริงหรือไม่?

เครื่องบิน 3d a,b,c,dมักจะถูกกำหนดให้เป็น ที่a,b,cจริงแล้วx,y,zพิกัดของเวกเตอร์ 3 มิติด้วยdการกำหนดการหมุนของเครื่องบินจะเหมือนกับข้อมูลการหมุนของมุมแกนหรือไม่?

การแทนค่าแบบสี่ตัวแปรของระนาบคือสัมประสิทธิ์ในความเท่าเทียมกัน

ax + by + cz = d

สิ่งนี้สามารถเห็นได้ว่าN = ( a , b , c ) เป็นเวกเตอร์ปกติและdเป็นระยะทางจากจุดกำเนิดพิกัด (ในหน่วยของความยาว - ของ - N - N ) และเรายังสามารถเขียนสมการนี้เป็นN · P = d , โดยที่P = ( x , y , z )

การเป็นตัวแทนนี้ไม่อนุญาตให้กำหนด "ต้นกำเนิดของเครื่องบิน" โดยเฉพาะ - เครื่องบินคณิตศาสตร์ไม่มีต้นกำเนิด (อย่างไรก็ตามมันเกิดขึ้นที่ตั้งแต่N · P = dเราสามารถตั้งค่าP = ( d | N | ^-2 ) Nและรับจุดเฉพาะบนระนาบ: จุดที่ใกล้ที่สุดที่มาของระบบพิกัด )

หากคุณเปลี่ยน = เป็น <หรือ> คุณจะอธิบายถึง "half-space" ซึ่งสามารถใช้สำหรับสิ่งต่าง ๆ เช่นพื้นไม่สิ้นสุดในเครื่องมือฟิสิกส์ ตรงข้ามครึ่งพื้นที่จะได้รับโดยกวนทั้งNและD

"โดยทั่วไป"เป็นคำที่ค่อนข้างเป็นอัตนัยในประสบการณ์ของฉันมีวิธีที่แตกต่างในการอธิบายระนาบในพื้นที่ 3 มิติที่มีอยู่ทั่วไปเนื่องจากคุณสมบัติที่การก่อสร้างดังกล่าวแสดง

เกี่ยวกับคำถามของคุณไม่มีค่าที่จะใช้จริง 4 ค่าเพื่อกำหนดระนาบในพื้นที่ 3 มิติ ในขณะที่คุณชี้ให้เห็น a, b, c อาจเป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่ต้องการ หากN = (A, B, C) เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของเราคุณอาจพบจุดในระนาบของคุณที่เป็นP = d Nสำหรับบางdจริงและบวก ที่นี่คุณบอกว่าdคือระยะห่างจากจุดกำเนิดในระยะของN ; ถ้าNเป็นเวกเตอร์หน่วยดังนั้นdคือระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดและระนาบของคุณในแบบที่คำว่า"ระยะทาง"มีความหมายโดยทั่วไป

น่าแปลกที่คุณสามารถกำหนดระนาบเชิงเส้นที่เป็นไปได้ใด ๆ เพราะคุณสามารถใช้ค่าลบของd ; การทำเช่นนั้นคุณจะคลายความหมายโดยตรงของdเป็นระยะทางจนกระทั่งคุณใส่ค่าสัมบูรณ์ ( | d | )

เท่าที่ฉันรู้ว่าเครื่องบินมักจะถูกกำหนดโดยตำแหน่งเพื่อบอกเราว่าจุดกำเนิดนั้นอยู่ที่ไหนและมีการชี้ขึ้นจากเครื่องบินเพื่อบอกทิศทางที่เรามี เป็นเรื่องธรรมดาที่จะใช้เวกเตอร์สองตัวสำหรับเรื่องนี้

ด้วยสี่ตัวแปรคุณไม่มีตัวแปรเพียงพอที่จะกำหนดระนาบที่ไม่มีต้นกำเนิดที่ (0,0,0) หรือตัวแปรไม่เพียงพอที่จะอธิบายการหมุนทั้งหมด

ขั้นต่ำที่เราต้องการสำหรับเครื่องบินในปริภูมิแบบยุคลิดแบบ 3 มิติที่มีต้นกำเนิดที่ไม่ได้อยู่ที่ (0,0,0) และสามารถมุ่งเน้นในสิ่งที่เราต้องการคือ 5 ลองจินตนาการถึงทรงกลมของหน่วยเราต้องการตัวแปร 3 ตัวเพื่อกำหนดแหล่งกำเนิด ของหน่วยทรงกลมคือ (X, Y, Z) จากนั้นเราต้องการตัวแปรสองตัวเพื่อกำหนดว่า 'up' ของระนาบเป็นอย่างไร เราสามารถทำได้โดยใช้เวกเตอร์ที่อธิบายโดยไปจากจุดกำเนิดของทรงกลมไปยังพื้นผิวของมันโดยให้ละติจูดและลองจิจูด

คุณจะสร้างเครื่องบินใหม่ด้วยตัวแปรสี่ตัวที่ฉันไม่รู้จักได้อย่างไร บางทีคุณอาจทำงานในโดเมนที่แคบ (ระนาบอยู่ที่ (0,0,0) เสมอและตัวแปรสี่ตัวแปรนั้นเป็น quaternion หรือไม่หรือตัวแปรไม่ใช่สเกลาร์? คุณใช้สิ่งนี้ในบริบทใด a, b, c, d?