ฉันจะเพิ่มและลบรูปหลายเหลี่ยมนูนได้อย่างไร

ฉันมีสองรูปหลายเหลี่ยมนูน 2D ที่ทับซ้อนกันซึ่งกันและกัน ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึมที่จะลบและเพิ่มพวกเขา ผลที่ได้จะต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมเว้าเดียวหรือ (ดียิ่งขึ้น) ชุดของนูนที่ใหญ่ที่สุดที่สร้างผลลัพธ์เว้า (เช่นสามเหลี่ยม)

( ซ้าย:รูปหลายเหลี่ยมที่ทับซ้อนกันเริ่มต้นกลาง:รูปหลายเหลี่ยมที่เกิดจากเว้าหลังการเพิ่มด้านขวา:ชุดของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่สร้างผลของเว้าที่นี่จะเป็นการดีกว่าที่จะได้รูปหลายเหลี่ยมนูนที่ใหญ่กว่าสามเหลี่ยมสำหรับเหตุผลด้านประสิทธิภาพ รูปหลายเหลี่ยมที่ซ้อนกันสองอันจะนำไปสู่รูปภาพเดียวกันทางด้านซ้าย แต่พื้นที่ที่ซ้อนทับไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้น)

ฉันจะทำสิ่งนี้ได้อย่างไร

TL; DR คุณต้องใช้การดำเนินการบูลีนโดยใช้แผนผัง BSP

ดูเหมือนว่าเรากำลังพูดถึงConstructive Solid Geometryที่นี่ ฉันนำ CSG ไปใช้ในเชิงพาณิชย์เพื่อให้ฉันรู้เรื่องหนึ่งหรือสองอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้

กระดาษคลาสสิกเกี่ยวกับ CSG เรียกว่าMerging BSP Trees Yields Polyhedral Set Operationsโดยทั่วไปแล้วมันอธิบายได้มากเกินไป แต่พูดสั้น ๆ เกี่ยวกับอัลกอริทึมที่เกี่ยวข้องกับรูปหลายเหลี่ยมที่วางอยู่บนระนาบเดียวกับการแบ่งพื้นที่ไบนารีโดยทั่วไปแล้ว ต้นไม้ BSP จากตาข่ายเหลี่ยมหลายอัน ขั้นตอนที่สองคือการรวมต้นไม้ BSP เหล่านั้น คุณเพียงนำต้นไม้หนึ่งต้นมาใส่ไว้ในต้นอีกต้นหนึ่ง จากนั้นอัลกอริทึมดำเนินการเพื่ออธิบายวิธีจัดการกับแต่ละโหนดปมสำหรับการแบ่งและการแทนที่โหนดโหนดที่ไม่ต้องการในรูปร่างสุดท้ายจะถูกลบออกส่วนอื่นจะได้รับพาเรนต์ที่เหมาะสม

แต่เดี๋ยวก่อน! โดยทั่วไปแล้วกระดาษนั้นพูดเกี่ยวกับตาข่ายเหลี่ยมและระนาบ 3 มิติใช่ไหม

อัลกอริทึมสามารถกำหนดให้เป็นมิติใดก็ได้ดังนั้นในกรณีแบบ 2D ของคุณคุณสามารถใช้เซกเมนต์เส้นได้ง่ายแทนที่จะเป็นระนาบพาร์ติชันแบบไบนารี ดังนั้นรูปหลายเหลี่ยมแต่ละอันจะถูกแปลงเป็นแผนผัง BSP กว่าทั้งสองจะรวมเข้าด้วยกัน ในที่สุดคุณจะข้ามต้นไม้ผลลัพธ์เพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยมสุดท้าย

โปรดทราบว่าอัลกอริทึมและ CSG นี้โดยทั่วไปไม่ได้จัดการกับการเรนเดอร์และการประกบใบหน้าโดยตรงและยังไม่พร้อมที่จะเรนเดอร์จริง ๆ ดังนั้นคุณต้องแยกใบหน้าของทรี BSP สุดท้าย ฉันยังพบว่าการติดตามรังสีเป็นวิธีที่ง่ายกว่าสำหรับการเรนเดอร์ผลลัพธ์ CSG คุณเพียงต้องการรังสีเพื่อสำรวจต้นไม้แทนที่จะแยกและแยกใบหน้าออกมาจริงๆ

เกี่ยวกับความทนทานเชิงตัวเลข เป็นการดีที่จะทราบว่ามีการคำนวณทางเรขาคณิตสองประเภท

• สิ่งที่อยู่บนพื้นฐานการก่อสร้างคุณสร้างรูปร่างตามผลลัพธ์ของการดำเนินการก่อนหน้า ตัวอย่างเช่นy = sqrt(x)จากนั้นใช้yในการดำเนินการใหม่ สิ่งนี้เรียกว่าการก่อสร้าง ปัญหาคือข้อผิดพลาดที่เป็นตัวเลขจะสะสมอย่างรวดเร็ว
• อีกวิธีหนึ่งคือมีการดำเนินงานที่ใช้เพรดิเคตแทนเป็นหลักแทนที่จะใช้การก่อสร้างคุณเพียงแค่ถามว่าเงื่อนไขเป็นจริง / เท็จและใช้ค่าเดียวกันในการดำเนินการที่แตกต่างกัน การทดสอบแบบคลาสสิกรวมถึงการวนรอบและการทดสอบการวางแนว นี่เป็นสิ่งที่น่าสงสัยว่าจะเกิดข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณใช้ความแม่นยำเดี่ยวหรือคู่ แต่โดยปกติแล้วจะให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่ามาก โซลูชันอื่น ๆ ที่แตกต่างกันไปตามความเร็วและความแม่นยำนั้นมีอยู่ นี่คือหนึ่งในเอกสารล่าสุดที่หลีกเลี่ยงการก่อสร้างโดยใช้รูปทรงเรขาคณิตบนเครื่องบินเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง ฉันจะพูดจากกระดาษ:

แนวคิดของการเป็นตัวแทนเครื่องบินโดยใช้ตาข่ายเหลี่ยมนั้นถูกอธิบายเป็นครั้งแรกโดย Sugihara และ Iri [SI89] การเป็นตัวแทนชนิดนี้ให้ประโยชน์ที่สำคัญอย่างหนึ่งเมื่อพูดถึงงานที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนโทโพโลยีของของแข็งที่เป็นตัวแทนของตาข่ายเช่นการประเมินผลของบูลีนนิพจน์: ไม่มีการสร้างข้อมูลเรขาคณิตเบื้องต้นใหม่เพื่อให้ได้รูปทรงหลายเหลี่ยม

และสุดท้ายผมอยากจะเพิ่มหากคุณต้องการที่จะเริ่มต้นการดำเนินงาน BSP CSG ของคุณผมจะแนะนำให้เริ่มต้นในBSP Faqs

ไปตามตัวอย่างของคุณ:

เลือกจุดเริ่มต้นเริ่มต้นบนรูปหลายเหลี่ยม A จากนั้นเริ่มตรวจสอบการตัดขอบตามเข็มนาฬิกา (หรือทวนเข็มนาฬิกา) หากไม่มีจุดตัดให้เพิ่มจุดสุดยอดก่อนหน้าในรูปหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้น หากมีจุดตัดให้เพิ่มจุดที่จุดตัดเหล่านั้นไปยังรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นผลลัพธ์ของคุณจากนั้นเริ่มการวนซ้ำรูปหลายเหลี่ยม B ตามลำดับการพัน ทำสิ่งเดียวกันสลับเป็นรูปหลายเหลี่ยม A อีกครั้งหากมีทางแยกเกิดขึ้น

เมื่อคุณได้สะสมจุดยอดทั้งหมดสำหรับรูปหลายเหลี่ยมใหม่แล้วให้ดำเนินการอัลกอริทึมการหาสามเหลี่ยมบนมัน วิธีการตัดหูเป็นเรื่องง่ายที่จะใช้ แต่มีตัวเลือกได้เร็วขึ้นออกมี

สำคัญ: ตรวจสอบให้แน่ใจว่าจุดสุดยอดที่คุณเริ่มต้นไม่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยมอื่น (ตรวจสอบบทความนี้เพื่อดูจุดในการทดสอบรูปหลายเหลี่ยม)

วนซ้ำไปตามแต่ละขอบเพื่อตรวจหาจุดตัดเป็นอัลกอริทึม O (n ^ 2) คุณสามารถเร่งความเร็วได้ก่อนโดยค้นหาจุดยอดที่อยู่ภายในรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ เนื่องจากขอบที่เชื่อมโยงกับจุดยอดเหล่านั้นจะเป็นจุดตัด

หากคุณต้องการรูปหลายเหลี่ยมเว้าเพียงแค่เลือกขอบที่ใกล้เคียงที่สุดระหว่างรูปหลายเหลี่ยมอินพุตสองอันและเพิ่มขอบใหม่สองอัน:

Convexมีความซับซ้อนมากกว่าเดิมเล็กน้อย:

วิธีการหนึ่งคือการทำซ้ำในการเพิ่มจุดยอดจากรูปหลายเหลี่ยมที่สองเป็นที่หนึ่งครั้งละหนึ่งการพัฒนารูปหลายเหลี่ยมแรกในภาชนะที่ครอบคลุมทุกอย่าง

โดยทั่วไป:

• วนซ้ำตามจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมที่สอง
• สำหรับแต่ละจุดยอด V วนซ้ำผ่านขอบรูปหลายเหลี่ยมแรก:
• ค้นหา "ช่วง" ของขอบที่เผชิญหน้ากับจุดสุดยอด
• ใช้คู่ด้านนอกของจุดยอดที่กำหนดช่วงนั้นและลบขอบทั้งหมดในช่วงที่เชื่อมต่อ
• วาดสองส่วนใหม่จากจุดยอดด้านนอกเหล่านั้นไปยังจุดยอดใหม่ (จากรูปหลายเหลี่ยมที่สอง) ตรวจสอบให้แน่ใจว่าขอบใหม่หันหน้าไปทางทิศทางที่ถูกต้อง
• ไปยังจุดสุดยอดถัดไปจากรูปหลายเหลี่ยมที่สอง

นี่คือไดอะแกรมที่แสดงกระบวนการสำหรับจุดสุดยอดแรก:

วิธีที่เร็วกว่าคือการค้นหารายการขอบในรูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปที่ไม่ต้องเผชิญกับรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ นำทุกอย่างออกแล้วเชื่อมต่อจุดสิ้นสุดของแถบเส้นที่เหลืออยู่เข้าด้วยกัน

บางทีคนอื่นก็สามารถพูดสอดด้วยคำแนะนำการลบบางอย่าง