ฉันจะหาปริมาณความตรงของเส้นตรงได้อย่างไร

ฉันกำลังทำงานกับเกมที่ต้องการให้ผู้เล่นวาดเส้นจากจุด A (x1, y1) ไปยังอีกจุด B (x2, y2) บนหน้าจอของอุปกรณ์ Android

ฉันต้องการค้นหาว่าการวาดที่เหมาะสมกับเส้นตรงนั้นดีแค่ไหน ตัวอย่างเช่นผลลัพธ์ 90% จะหมายถึงการวาดเส้นนั้นเหมาะกับเส้น หากผู้เล่นลากเส้นโค้งจาก A ถึง B ก็ควรได้คะแนนต่ำ

ไม่ทราบจุดสิ้นสุดล่วงหน้า ฉันจะทำสิ่งนี้ได้อย่างไร

sqrt((x1-x2)² + (y1-y2)²)เป็นเส้นตรงอย่างสมบูรณ์แบบนอกจากนี้ยังจะเป็นเส้นที่สั้นที่สุดมีความยาวรวมของ เส้นที่มีลายเส้นมากกว่านั้นจะเป็นการเชื่อมต่อที่เหมาะสมน้อยกว่าและจะยาวกว่าอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

เมื่อคุณใช้แต่ละจุดของเส้นทางที่ผู้ใช้ดึงและสรุประยะทางระหว่างพวกเขาคุณสามารถเปรียบเทียบความยาวทั้งหมดกับความยาวในอุดมคติ ยิ่งความยาวทั้งหมดน้อยลงหารด้วยความยาวในอุดมคติ

นี่คือการสร้างภาพข้อมูล เมื่อจุดสีดำเป็นจุดสิ้นสุดของท่าทางและจุดสีฟ้าเป็นจุดที่คุณวัดระหว่างท่าทางคุณจะคำนวณและบวกความยาวของเส้นสีเขียวและหารด้วยความยาวของเส้นสีแดง:

คะแนนหรือดัชนีความไซน์ของ 1 จะสมบูรณ์แบบทุกอย่างที่สูงกว่าจะสมบูรณ์แบบน้อยลงและต่ำกว่า 1 จะเป็นจุดบกพร่อง เมื่อคุณต้องการให้คะแนนเป็นเปอร์เซ็นต์ให้หาร 100% ด้วยหมายเลขนั้น

นี่อาจไม่ใช่วิธีที่ดีที่สุดในการใช้สิ่งนี้ แต่ฉันขอแนะนำRMSD (ค่าเฉลี่ยเบี่ยงเบนกำลังสอง) จะดีกว่าวิธีการระยะทางในกรณีที่ Dancrumb กล่าวถึง (ดูสองบรรทัดแรกด้านล่าง)

RMSD = sqrt(mean(deviation^2))

บันทึก:

• ผลรวมของการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ (เหมือนอินทิกรัล) อาจจะดีกว่าเนื่องจากมันจะไม่เฉลี่ยข้อผิดพลาดเชิงบวกกับค่าลบ ( =sum(abs(deviation)))
• คุณอาจจะต้องค้นหาระยะทางที่สั้นที่สุดไปยังเส้นตรงหากมีวิธีที่สร้างระยะทางสั้นกว่าการวางฉากตั้งฉาก

(โปรดแก้ตัวภาพวาดของฉันที่มีคุณภาพต่ำ)

อย่างที่คุณเห็นคุณต้อง

1. หาเวกเตอร์มุมฉากกับเส้นของคุณ ( dot-product เท่ากับ 0 )
   หากบรรทัดของคุณชี้ไปทางที่(1, 3) คุณต้องการ(3, -1)(รางแต่ละต้น)
2. วัดระยะทาง hจากเส้นในอุดมคติไปยังผู้ใช้หนึ่งขนานกับเวกเตอร์นั้น
3. คำนวณ RMSD หรือผลรวมของความแตกต่างแบบสัมบูรณ์

คำตอบที่มีอยู่ไม่ได้คำนึงถึงว่าจุดสิ้นสุดนั้นเป็นไปตามอำเภอใจ (มากกว่าที่กำหนด) ดังนั้นเมื่อทำการวัดความตรงของเส้นโค้งมันไม่สมเหตุสมผลที่จะใช้จุดสิ้นสุด (ตัวอย่างเช่นในการคำนวณความยาวมุมตำแหน่งที่คาดหวัง) ตัวอย่างง่ายๆจะเป็นเส้นตรงที่มีปลายทั้งสอง kincked หากเราวัดระยะทางจากเส้นโค้งและเส้นตรงระหว่างจุดสิ้นสุดสิ่งนี้จะค่อนข้างใหญ่เนื่องจากเส้นตรงที่เราวาดนั้นถูกชดเชยจากเส้นตรงระหว่างจุดสิ้นสุด

เราจะบอกได้อย่างไรว่าเส้นโค้งเป็นอย่างไร สมมติว่าเส้นโค้งเรียบพอเราอยากรู้ว่าโดยเฉลี่ยแล้วการเปลี่ยนแทนเจนต์กับเส้นโค้งนั้นเปลี่ยนไปเท่าไหร่ สำหรับบรรทัดนี่จะเป็นศูนย์ (เนื่องจากแทนเจนต์คงที่)

ถ้าเราปล่อยให้ตำแหน่งในเวลา t เป็น (x (t), y (t)), แล้วแทนเจนต์คือ (Dx (t), Dy (t)), ที่ Dx (t) คืออนุพันธ์ของ x ณ เวลา t (ไซต์นี้ดูเหมือนว่าขาดการสนับสนุน TeX) หากเส้นโค้งไม่ได้แปรตามความยาวส่วนโค้งเราจะทำให้เป็นมาตรฐานโดยการหารด้วย || (Dx (t), Dy (t)) || เรามีเวกเตอร์หน่วย (หรือมุม) ของแทนเจนต์กับส่วนโค้งในเวลา t ดังนั้นมุมคือ (t) = (Dx (t), Dy (t)) / || (Dx (t), Dy (t)) | |

เรามีความสนใจใน | | Da (t) || ^ 2 รวมอยู่ในเส้นโค้ง

เนื่องจากเราน่าจะมีจุดข้อมูลที่แยกจากกันมากกว่าเป็นโค้งเราต้องใช้ความแตกต่างแน่นอนเพื่อประมาณอนุพันธ์ ดังนั้นดา (t) (a(t+h)-a(t))/hจะกลายเป็น และเป็น (t) ((x(t+h)-x(t))/h,(y(t+h)-y(t))/h)/||((x(t+h)-x(t))/h,(y(t+h)-y(t))/h)||จะกลายเป็น จากนั้นเราจะได้ S โดยการสรุปh||Da(t)||^2สำหรับดาต้าพอยน์ทั้งหมดและอาจทำให้ปกติเป็นความยาวของส่วนโค้ง เป็นไปได้มากที่เราใช้h=1แต่จริงๆแล้วมันเป็นเพียงตัวคูณสเกลโดยพลการ

หากต้องการย้ำอีกครั้ง S จะเป็นศูนย์สำหรับหนึ่งบรรทัดและยิ่งใหญ่กว่าก็จะเบี่ยงเบนจากบรรทัดมากขึ้น 1/(1+S)แปลงที่จำเป็นต้องใช้รูปแบบการใช้งาน เนื่องจากสเกลนั้นค่อนข้างเป็นการสุ่มคุณสามารถคูณ S ด้วยจำนวนบวกบางส่วน (หรือแปลงด้วยวิธีอื่นเช่นใช้ bS ^ c แทนที่จะเป็น S) เพื่อปรับว่าเส้นโค้งบางเส้นตรงเป็นอย่างไร

นี่คือระบบที่ใช้กริด ค้นหาคะแนนของคุณเองสำหรับบรรทัดและคำนวณความชันของเส้น ตอนนี้ใช้การคำนวณนั้นกำหนดจุดที่ถูกต้องที่เส้นจะผ่านให้กำหนดระยะขอบของความผิดพลาดบางส่วนจากค่าที่แน่นอน

ผ่านการทดสอบจำนวนสั้น ๆ ของการทดสอบและข้อผิดพลาดตรวจสอบว่ามีจุดการจับคู่ที่ดีและไม่ดีเท่าไรและตั้งค่าเกมของคุณโดยใช้สเกลสำหรับผลลัพธ์เดียวกันจากการทดสอบของคุณ

เช่นเส้นสั้น ๆ ที่มีความลาดชันเกือบแนวนอนอาจมี 7 คะแนน หากคุณสามารถจับคู่ 6 หรือมากกว่าจาก 7 อย่างต่อเนื่องที่กำหนดให้เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงนั่นจะเป็นคะแนนสูงสุด การให้คะแนนความยาวและความแม่นยำควรเป็นส่วนหนึ่งของการให้คะแนน

การวัดที่ง่ายและใช้งานง่ายคือพื้นที่ระหว่างเส้นตรงที่เหมาะสมที่สุดกับเส้นโค้งจริง การพิจารณาว่าสิ่งนี้ค่อนข้างตรงไปตรงมา:

1. ใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่น้อยที่สุดในทุกจุด (ซึ่งจะป้องกันปัญหาปลายหงิกงอที่ Joel Bosveld พูดถึง)
2. สำหรับทุกจุดบนเส้นโค้งให้กำหนดระยะทางกับเส้น นี่เป็นปัญหามาตรฐานด้วย (พีชคณิตเชิงเส้น, การแปลงฐาน)
3. รวมระยะทางทั้งหมด

แนวคิดคือการรักษาจุดทั้งหมดที่ผู้ใช้สัมผัสจากนั้นประเมินและรวมระยะห่างระหว่างแต่ละจุดเหล่านั้นกับบรรทัดที่เกิดขึ้นเมื่อผู้ใช้ปล่อยหน้าจอ

นี่คือสิ่งที่จะช่วยให้คุณเริ่มต้นในรหัสหลอก:

bool mIsRecording = false;
point[] mTouchedPoints = new point[];

function onTouch
  mIsRecording = true

functon update
  if mIsRecording
    mTouchedPoints.append(currentlyTouchedLocation)

function onRelease
  mIsRecording = false

  cumulativeDistance = 0

  line = makeLine( mTouchedPoints.first, mTouchedPoints.last )

  for each point in mTouchedPoints:
    cumulativeDistance = distanceOfPointToLine(point, line)

  mTouchedPoints = new point[]

อะไรคือสิ่งที่cumulativeDistanceทำให้คุณมีความคิดที่เหมาะสม ระยะทาง 0 หมายถึงผู้ใช้อยู่บนเส้นตลอดเวลา ตอนนี้คุณต้องทำการทดสอบเพื่อดูว่ามันทำงานอย่างไรในบริบทของคุณ และคุณอาจต้องการขยายค่าที่ส่งคืนdistanceOfPointToLineโดยการยกกำลังสองเพื่อปรับระยะห่างให้ห่างจากเส้น

ฉันไม่คุ้นเคยกับความสามัคคี แต่รหัสในupdateที่นี้อาจไปในonDragฟังก์ชั่น

และคุณอาจต้องการเพิ่มบางแห่งในรหัสเพื่อป้องกันการลงทะเบียนจุดถ้ามันเป็นเช่นเดียวกับการลงทะเบียนครั้งสุดท้าย คุณไม่ต้องการลงทะเบียนข้อมูลเมื่อผู้ใช้ไม่ย้าย

วิธีหนึ่งที่คุณสามารถใช้คือการแบ่งบรรทัดออกเป็นเซ็กเมนต์และทำผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ดอทระหว่างเวกเตอร์แต่ละอันที่แทนส่วนและเวกเตอร์ที่แสดงเส้นตรงระหว่างจุดแรกและจุดสุดท้าย นี่คือข้อดีของการให้คุณค้นหาเซ็กเมนต์ "แหลมคม" ได้อย่างง่ายดาย

แก้ไข:

นอกจากนี้ฉันจะพิจารณาใช้ความยาวของส่วนเพิ่มเติมจากผลิตภัณฑ์ดอท เวกเตอร์ที่สั้นมาก แต่ orthogonal ควรนับน้อยกว่าเวกเตอร์ที่มีความเบี่ยงเบนน้อยกว่า

วิธีที่ง่ายที่สุดและเร็วที่สุดอาจเป็นเพียงการค้นหาว่าเส้นหนาแค่ไหนที่จะครอบคลุมจุดทั้งหมดของเส้นที่วาดโดยผู้ใช้

ยิ่งเส้นหนาขึ้นเท่าไรผู้ใช้ก็ยิ่งวาดเส้นได้ยาก

อย่างใดหมายถึงคำตอบ MSalters นี่คือข้อมูลที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น

ใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุดเพื่อให้พอดีกับเส้นสำหรับคะแนนของคุณ คุณกำลังมองหาฟังก์ชั่น y = f (x) ซึ่งเหมาะสมที่สุด เมื่อคุณมีแล้วคุณสามารถใช้ค่า y จริงเพื่อหาผลรวมของความแตกต่าง:

s = ยอดรวม ((yf (x)) ^ 2)

ยิ่งผลรวมมีขนาดเล็กเท่าใด

วิธีรับการประมาณที่ดีที่สุดได้อธิบายไว้ที่นี่: http://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/ila0403.pdf

แค่อ่านจาก "การติดตั้งเป็นเส้นตรง" โปรดทราบว่าใช้ t แทน x และ b แทน y C และ D จะถูกกำหนดเป็นการประมาณจากนั้นคุณมี f (x) = C + Dx

หมายเหตุเพิ่มเติม: แน่นอนคุณต้องคำนึงถึงความยาวของบรรทัดด้วย ทุกบรรทัดประกอบด้วย 2 คะแนนจะสมบูรณ์แบบ ฉันไม่ทราบบริบทที่แน่นอน แต่ฉันเดาว่าฉันจะใช้ผลรวมของกำลังสองหารด้วยจำนวนคะแนนเป็นคะแนน นอกจากนี้ฉันจะเพิ่มข้อกำหนดของความยาวน้อยที่สุดจำนวนจุดน้อย (อาจจะประมาณ 75% ของความยาวสูงสุด)