การประมาณประตูผ่านสเกลประตูสากลด้วยความยาวของการคำนวณอย่างไร

ผมเข้าใจว่ามีหลักฐานที่สร้างสรรค์ที่ประตูโดยพลการจะสามารถประมาณการโดย จำกัด ชุดประตูสากลซึ่งเป็นSolovay-Kitaev ทฤษฎีบท
อย่างไรก็ตามการประมาณแนะนำข้อผิดพลาดซึ่งจะแพร่กระจายและสะสมในการคำนวณที่ยาวนาน สิ่งนี้น่าจะมีขนาดที่ไม่ดีกับความยาวของการคำนวณหรือไม่ อาจเป็นไปได้ว่าอาจใช้อัลกอริทึมการประมาณกับวงจรที่สมบูรณ์โดยรวมไม่ใช่ประตูเดียว แต่สเกลนี้มีความยาวของการคำนวณอย่างไร (เช่นสเกลการประมาณกับมิติของประตู) การประมาณค่าเกทนั้นเกี่ยวข้องกับการสังเคราะห์เกทอย่างไร เพราะฉันสามารถจินตนาการได้ว่าสิ่งนี้มีผลต่อความยาวสุดท้ายของการคำนวณหรือไม่
รบกวนฉันมากยิ่งขึ้น: จะเกิดอะไรขึ้นหากความยาวของการคำนวณไม่เป็นที่รู้จักในขณะที่ลำดับเกตถูกรวบรวม?

— M. Stern
แหล่งที่มา

$A$ $\left\lVert A\right\rVert$ $A$ $A$ $\epsilon$

O (\log^{c} \frac{1}{ϵ})

$\mathcal O\left(\log^c\frac 1\epsilon\right)$

c < 4

$c<4$

สำหรับส่วนแรก:

การประมาณแนะนำข้อผิดพลาดซึ่งจะแพร่กระจายและสะสมในการคำนวณที่ยาวนาน

มันสามารถแสดงให้เห็นได้โดยการเหนี่ยวนำว่าข้อผิดพลาดที่สะสมผ่านการใช้เมทริกซ์หนึ่งไปประมาณอีกอันหนึ่งเป็นแบบ subadditive (ดูตัวอย่างเช่นบันทึกการบรรยายของ Andrew Child ) นั่นคือสำหรับการฝึกอบรมรวมและ ,เสื้อ $U_i$ $V_i$ $\left\lVert U_i - V_i\right\rVert < \epsilon\,\forall\, i \in \left\lbrace1, 2, \ldots, t\right \rbrace\implies \left\lVert U_t\ldots U_2U_1 - V_t\ldots V_2V_1\right\rVert \leq t\epsilon$

สิ่งนี้หมายความว่าในแง่ของการดำเนินการคือเพื่อให้เกิดข้อผิดพลาดโดยรวมไม่เกินที่จะบรรลุแต่ละประตูจะต้องประมาณภายในหรือ $\epsilon$ $\epsilon/t$

ใช้การประมาณกับวงจรโดยรวม

เหมือนกับการใช้การประมาณกับแต่ละเกทแต่ละอันแต่ละอันมีข้อผิดพลาดไม่เกินกว่าของวงจรทั้งหมดหารด้วยจำนวนประตูที่คุณประมาณ

ในแง่ของการสังเคราะห์เกทอัลกอริธึมจะดำเนินการโดยการนำผลิตภัณฑ์ของชุดประตูมาสร้างเกทใหม่ซึ่งเป็นรูปแบบสุทธิสำหรับ (สำหรับ ใด ๆ ) เริ่มต้นจากตัวตนรวมกันใหม่ถูกค้นพบซ้ำจากชุดประตูใหม่เพื่อให้ได้รอบสุทธิที่แน่นขึ้นรวมกันเป็นเป้าหมาย ผิดปกติพอเวลาสำหรับอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมเพื่อดำเนินการนี้ก็คือซึ่งเป็นเวลาพหุนามย่อย อย่างไรก็ตามตาม $\Gamma$ $\Gamma_0$ $\epsilon^2$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $A \in \operatorname{SU}\left(d\right),\, \exists U\in\Gamma_0\, s.t. \left\lVert A-U\right\rVert\leq\epsilon^2$ $\mathcal O\left(\mathit{poly} \log 1/\epsilon\right)$ Harrow, Recht, Chuangใน dimensions ราวกับลูกบอลรัศมีรอบมีปริมาตรเครื่องชั่งนี้อธิบายแบบทวีคูณ ในสำหรับจำนวนมิติที่ไม่คงที่ $d$ $\epsilon$ $\operatorname{SU}\left(d\right)$ $\propto \epsilon^{d^2-1}$ $d^2$

สิ่งนี้จะมีผลกับเวลาการคำนวณขั้นสุดท้าย อย่างไรก็ตามเนื่องจากการปรับขนาดทั้งจำนวนประตูและความซับซ้อนในการคำนวณแบบดั้งเดิมนั้นเป็นพหุนามย่อยจึงไม่เปลี่ยนคลาสความซับซ้อนของอัลกอริทึมใด ๆ อย่างน้อยสำหรับคลาสที่พิจารณาโดยทั่วไป

สำหรับประตูโดยรวม (เวลาและประตู) ความซับซ้อนเป็นแล้ว $t$ ขวา)

O (t p o l y \log \frac{t}{ϵ})

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac t\epsilon\right)$

เมื่อใช้โมเดลวงจรรวมที่ไม่มีการวัดค่าตัวกลางจะรู้จำนวนของประตูที่จะนำไปใช้ก่อนการคำนวณเสมอ อย่างไรก็ตามมันเป็นไปได้ที่จะสมมติว่านี่ไม่ใช่กรณีที่มีการใช้การวัดค่าตัวกลางดังนั้นเมื่อไม่ทราบจำนวนประตูที่คุณต้องการประมาณจำนวนนี้จะบอกว่าเป็นที่รู้จัก และถ้าคุณไม่ได้รู้ว่าสิ่งคือคุณสามารถเห็นได้ชัดไม่ได้ใกล้เคียงกับประตูแต่ละข้อผิดพลาดตัน หากคุณรู้ขอบเขตของจำนวนประตู (พูด, ) คุณสามารถประมาณแต่ละช่องประตูภายในเพื่อรับข้อผิดพลาดโดยรวม $t$ $t$ $\epsilon/t$ $t_{\text{max}}$ $\epsilon/t_{\text{max}}$ $\leq\epsilon$ และความซับซ้อนแม้ว่าจะไม่มีขอบเขตบน ประตูเป็นที่รู้จักกันแล้วแต่ละประตูจะประมาณ (เล็ก)บางคนทำให้เกิดข้อผิดพลาดโดยรวมสำหรับจำนวนประตูที่นำไปใช้ (ซึ่งเป็นที่รู้จักในตอนเริ่ม)ด้วย ความซับซ้อนโดยรวมของ

O (t p o l y \log \frac{t_{max}}{ϵ}),

$\mathcal O\left(t\, \mathit{poly} \log \frac {t_{\text{max}}}{\epsilon}\right),$

ϵ^{'}

$\epsilon'$

\leq t^{'} ϵ

$\leq t'\epsilon$

t^{'}

$t'$

O (t^{'} p o l y \log \frac{1}{ϵ^{'}}) .

$\mathcal O\left(t'\, \mathit{poly} \log \frac {1}{\epsilon'}\right).$

แน่นอนว่าข้อผิดพลาดทั้งหมดนี้คือยังคงมากมายดังนั้นหนึ่งง่าย¹วิธีในการรักษาข้อผิดพลาดที่สิ้นสุดจะลดความผิดพลาดในแต่ละครั้งโดยปัจจัยที่พูด,เพื่อให้ประตูจะเป็น ดำเนินการกับข้อผิดพลาด n ความซับซ้อนนั้นจะเป็นทำให้ความซับซ้อนโดยรวม (ตอนนี้พหุนาม)ถึงแม้นี่จะไม่ได้ประโยชน์จากการรับประกันความผิดพลาดล้อมรอบ $2$ $n^{th}$ $\epsilon/2^n$

O (p o l y \log \frac{2^{n}}{ϵ^{'}}) = O (p o l y n \log \frac{1}{ϵ^{'}}),

$\mathcal O\left(\mathit{poly} \log \frac {2^n}{\epsilon'}\right) = \mathcal O\left(\mathit{poly}\, n\log \frac {1}{\epsilon'}\right),$

O (p o l y t \log \frac{1}{ϵ}),

$\mathcal O\left(\mathit{poly}\, t \log \frac {1}{\epsilon}\right),$

นี่ไม่ได้เลวร้ายเกินไปดังนั้นฉันหวังว่า (เมื่อไม่ทราบจำนวนประตู) คอมพิวเตอร์คลาสสิคจะสามารถมากับประตูที่ถูกต้องอย่างน้อยก็เร็วเท่าที่ตัวประมวลผลควอนตัมต้องการ ถ้าไม่ใช่ตอนนี้หวังว่าเมื่อตัวประมวลผลควอนตัมดีพอที่จริงกลายเป็นปัญหา!

^{1 แม้ว่าจะไม่ได้มีประสิทธิภาพมากที่สุด}

— Mithrandir24601
แหล่งที่มา