อะไรคือเหตุผลทางคณิตศาสตร์สำหรับ“ ความเป็นสากล” ของชุดควอนตัมประตูสากล (CNOT, H, Z, X และπ / 8)

ในคำตอบนี้ฉันได้กล่าวว่าประตู CNOT, H, X, Z และเป็นชุดประตูสากลที่ให้จำนวนประตูเพียงพอสามารถเข้ามาใกล้กับประตูควอนตัมแบบรวม (โดยไม่รู้ตัว) ความจริงจากการบรรยาย EdX ของศาสตราจารย์ Umesh Vazirani) แต่มีเหตุผลทางคณิตศาสตร์สำหรับสิ่งนี้หรือไม่? ควรจะมี! ฉันพยายามค้นหาเอกสารที่เกี่ยวข้อง แต่หาได้ไม่มาก$\pi/8$

คำตอบที่คุณพูดถึงการอ้างอิงหนังสือของ Michael Nielsen และ Isaac Chuang การคำนวณควอนตัมและข้อมูล Quantum (สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์) ซึ่งมีหลักฐานการพิสูจน์ความเป็นสากลของประตูเหล่านี้ (ในรุ่น 2000 ของฉันสามารถพบได้ในหน้า 194) ความเข้าใจที่สำคัญคือประตู (หรือประตูπ / 8 ) พร้อมกับประตูHสร้างการหมุนที่แตกต่างกันสองแบบบนทรงกลม Bloch พร้อมมุมที่ไม่มีเหตุผลหลายรายการ2 π สิ่งนี้จะช่วยให้การรวมกันของประตูTและHเพื่อเติมเต็มพื้นผิวของทรงกลม Bloch อย่างหนาแน่นและดังนั้นจึงประมาณผู้ประกอบการรวมหนึ่ง qubit$T$$\pi/8$$H$$2\pi$$T$$H$

$\log(1/\epsilon)$$\epsilon$

การรวมประตู CNOT ช่วยให้สามารถประมาณหน่วยที่มีหลายควอบิตตามอำเภอใจตามที่แสดงโดย Barenco et al ในสรวง Rev. A 52 3457 (1995) (สามารถอ่านตัวอย่างของบทความนี้ได้ที่https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016 ) นอกจากนี้ยังมีการกล่าวถึงใน Nielsen และ Chuang (หน้า 191 ในรุ่น 2000)

$Z$$X$
$\rm{CNOT}$$H$$T=\pi/8$

$H$$T$
$\rm{CNOT}$$\epsilon>0$$\mathcal{O}(\log^2(1/\epsilon))$

$\epsilon=0$$\pi/2$$\frac{a+ib}{2^n} + \frac{c+id}{2^{n+1/2}}$

$\{{\rm{CCNOT}},H\}$ ${D(\theta)}$