ได้รับการสลายตัวสำหรับรวม

13

สมมติว่าเรามีวงจรย่อยสลายของรวมกันโดยใช้ชุดเกต Universal gate (ตัวอย่างเช่น CNOT-gates และยูนิต qubit เดี่ยว) มีทางตรงที่จะเขียนลงวงจรของการควบคุมที่สอดคล้องกันการรวมกันโดยใช้ชุดเดียวกันประตูสากล? $U$ $C_U$

ตัวอย่างเช่นใช้เป็นวงจร: $U=i Y = H X H X$

เราสามารถแทนที่ประตูด้วย (CNOT) ประตูเพื่อรับ : $X$ $C_X$ $C_U$

สิ่งนี้ได้ผลเพราะถ้า qubit ควบคุมอยู่ในสถานะการกระทำของเป้าหมายคือในขณะที่สำหรับมันใช้วงจรสำหรับUสำหรับแตกต่างกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามันทำงานกับหลาย qubits การเกิดวงจรเช่นนี้อาจจะยุ่งยาก มีสูตรที่จะได้รับวงจรของระบุว่าคุณรู้วิธีการสร้าง ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— M. Stern
แหล่งที่มา

คุณจะถามวิธีการสร้าง CU จาก U-one-bitbit โดยพลการหรือไม่? วิธีการดังกล่าวสามารถพบได้ในบทที่ 4 ของ N&C (ดูตัวอย่างที่ 4.6 ในฉบับที่แล้ว) ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของการสลายตัวที่คุณแสดงให้เห็น

— glS

@glS โอ้ว้าวฉันไม่ทราบว่า ดูเหมือนกับตัวอย่างของฉัน ดีที่จะเห็นว่ามันใช้เฟส

อย่างไร แต่ดูเหมือนว่าพวกเขาจะไม่พูดคุยเกี่ยวกับลักษณะทั่วไปของ qubits เป้าหมายมากขึ้น?

α

$\alpha$

— เอ็มสเติร์น

15

คำถามอาจไม่ได้ถูกนิยามไว้อย่างสมบูรณ์ในแง่ที่ว่าจะต้องหาวิธีคำนวณจากการย่อยสลายของคุณต้องระบุชุดของประตูที่คุณยินดีใช้ แท้จริงมันเป็นผลที่รู้จักกันว่าประตู -qubit สามารถย่อยสลายว่าใช้และเดี่ยว qubit การดำเนินงานเพื่อให้คำตอบที่ไร้เดียงสากับคำถามที่จะเป็น: เพียงย่อยสลายโดยใช้เดียวคิวบิตและ s $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

ตีความที่แตกต่างกันของคำถามคือต่อไปนี้: รับ , ฉันสามารถคำนวณโดยใช้ชุดของการดำเนินงานเดียวคิวบิตและ s ไม่ได้อยู่ในคิวบิตควบคุมและ s พร้อมด้วยการควบคุมเป็น qubit ครั้งแรก? ซึ่งสามารถทำได้ generalising ผลที่พบในบทที่สี่ของนีลเซ่นและจวง $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

ให้เป็นประตู qubit เดียว จากนั้นก็สามารถพิสูจน์ให้เห็นว่าจะสามารถเขียนเป็นที่คือประตู Pauli X และและมีการดำเนินงานเดียว qubit ดังกล่าวว่า ( ดูหลักฐานของ N&C) ตามด้วย $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ ที่

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

เป็นเกทเฟสที่ใช้กับ qubit แรกและ

คือ

นำไปใช้กับ qubit ที่สอง นี่คือทันทีที่คุณตระหนักว่าถ้า qubit แรกนั้นคือ

จากนั้น

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ กลายเป็นตัวตนและในควิบิตที่สองคุณมีการดำเนินงาน

ซึ่งให้ตัวตน ในทางตรงกันข้ามถ้า qubit แรกคือ

จากนั้นบนรางที่สองคุณมี

ซึ่ง (พร้อมเฟส) เท่ากับ

ตามคำจำกัดความ

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

การสลายตัวข้างต้นสามารถใช้ในการหาวิธีที่ไร้เดียงสาในการคำนวณสำหรับประตูรวม -qubitทั่วไป สังเกตที่สำคัญคือว่าถ้าสำหรับชุดของประตูใด ๆ , จากนั้น $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$ แต่เรารู้ด้วยว่า qubitสามารถย่อยสลายได้ในแง่ของ CNOT และการดำเนินการแบบควิบิตเดียว มันตามมาว่าเป็นลำดับของการดำเนินงานCCNOT และที่ CCNOT อยู่ที่นี่ประตูนำไปใช้กับบาง qubit ปรับอากาศเพื่อสอง qubits อื่น ๆและเป็นการดำเนินการแบบควิบิตเดียวในบางควิบิต แต่อีกครั้งการดำเนินการ CCNOT ใด ๆ (เรียกอีกอย่างว่าToffoli) สามารถย่อยสลายได้ดังแสดงในรูปที่ 4.9 ใน N&C และ

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ จะถูกย่อยสลายตามที่แสดงในส่วนแรกของคำตอบ

$n$ $U$ $\text{CNOT}$

— แอลเอส
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่านั่นคือสิ่งที่ฉันกำลังมองหา เพื่อให้แน่ใจว่า: ให้พูดถึงการสลายตัวที่รู้จัก

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

@ M.Stern เกือบดี ถ้า

มี

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

5

แม้ว่าสิ่งนี้อาจไม่สามารถตอบคำถามของคุณได้อย่างสมบูรณ์ แต่ฉันคิดว่ามันอาจให้ทิศทางของการคิด ข้อเท็จจริงสำคัญสองประการ:

$2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
$U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

$n\times n$

1 ประตูหลักสำหรับการคำนวณควอนตัม -A Barenco (Oxford), CH Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), DP DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA) ), H. Weinfurter (อินส์บรุค)

2 การรับรู้ที่ดีที่สุดของประตู Unitary Controlled - Guang Song, Andreas Klappenecker (มหาวิทยาลัย Texas A&M)

— Sanchayan Dutta
แหล่งที่มา