มีปัญหาเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ควอนตัมที่เป็นที่รู้จักกันเพื่อให้ได้เปรียบเชิงชี้แจง?

เป็นที่เชื่อกันโดยทั่วไปและอ้างว่าคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถมีประสิทธิภาพสูงกว่าอุปกรณ์คลาสสิกในงานบางอย่างน้อย

หนึ่งในตัวอย่างที่อ้างกันมากที่สุดของปัญหาในการที่คอมพิวเตอร์ควอนตัมจะมีประสิทธิภาพสูงกว่าอุปกรณ์ที่คลาสสิกแต่แล้วอีกครั้งก็ยังไม่เป็นที่รู้จักไม่ว่าจะเป็นแฟยังเป็นอย่างมีประสิทธิภาพแก้ปัญหากับคอมพิวเตอร์คลาสสิก (นั่นคือไม่ว่าจะเป็นแฟ∈ P )$\text{Factoring}$$\text{Factoring}$$\text{Factoring}\in \text{P}$

สำหรับปัญหาที่อ้างถึงทั่วไปอื่น ๆ ซึ่งคอมพิวเตอร์ควอนตัมเป็นที่รู้จักกันเพื่อให้ได้เปรียบเช่นการค้นหาฐานข้อมูลการเร่งความเร็วเป็นพหุนามเท่านั้น

มีตัวอย่างของปัญหาที่รู้จักซึ่งสามารถแสดงให้เห็น (ไม่ว่าจะพิสูจน์หรือพิสูจน์ได้ภายใต้สมมติฐานความซับซ้อนของการคำนวณที่แข็งแกร่ง) ว่าคอมพิวเตอร์ควอนตัมจะให้ความได้เปรียบอย่างมากหรือไม่?

สมมติว่าฟังก์ชันมีคุณสมบัติอยากรู้อยากเห็นต่อไปนี้: มีs ∈ { 0 , 1 } nเช่นนั้นที่f ( x ) = f ( y )ถ้าหากx + y = sเท่านั้น ถ้าs = 0เป็นคำตอบเดียวนี่หมายความว่าfคือ 1 ต่อ 1 มิฉะนั้นจะมีค่าเป็นศูนย์= f ( x + s $f\colon {\mathbb F_2}^n \to {\mathbb F_2}^n$$s \in \{0,1\}^n$$f(x) = f(y)$$x + y = s$$s = 0$$f$เช่นว่า F ( x $s$$f(x) = f(x + s)$สำหรับทั้งหมดเนื่องจาก$x$หมายความว่า fคือ 2- ต่อ -1$2 = 0$$f$

ราคาสำหรับความน่าจะเป็นที่กำหนดใด ๆ ของความสำเร็จบนคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมหรือแบบควอนตัมคือการแยกฟังก์ชั่นแบบสุ่ม 1 ต่อ 1 ที่เหมือนกันจากฟังก์ชั่นแบบสุ่ม 2 ต่อ 1 ที่เป็นไปตามคุณสมบัตินี้ -1 หรือ 2 ต่อ 1) มีโอกาสเท่ากันหรือไม่

คือฉันแอบพลิกเหรียญอย่างยุติธรรม ถ้าฉันได้หัวฉันจะส่งกล่องดำ (คลาสสิกหรือควอนตัม, resp.) ให้วงจรสำหรับฟังก์ชั่นสุ่ม 1 ต่อ 1 ที่เป็นชุดในขณะที่ถ้าผมได้หางผมจะส่งวงจรกล่องดำให้คุณ ฟังก์ชั่น -1$f$ฉ เท่าไหร่คุณจะต้องมีค่าใช้จ่ายที่จะได้รับความน่าจะเป็นของความสำเร็จที่กำหนดพีบอกว่าฉันมีหัวหรือหาง?$f$$p$

นี่คือสถานการณ์ของอัลกอริทึมของไซมอน มันมีโปรแกรมลับในการเข้ารหัสไร้สาระ , ^*และมันเป็นเครื่องมือที่ใช้ในช่วงต้นในการศึกษาเรียนซับซ้อน BQP และ BPP และเป็นแรงบันดาลใจต้นสำหรับขั้นตอนวิธีของชอร์

Simon แสดงอัลกอริทึมควอนตัม (§3.1, p. 7) ว่ามีค่าใช้จ่าย qubits และ O ( n ⋅ T f ( n ) + G ( n ) ) ที่คาดการณ์ไว้สำหรับความน่าจะเป็นใกล้ 1 แห่งความสำเร็จ T f ( n )คือเวลาในการคำนวณการทับซ้อนของค่า fบนอินพุตของขนาด nและตำแหน่งที่ G ( n )เป็นเวลาที่จะแก้$O(n + |f|)$$O(n \cdot T_f(n) + G(n))$$T_f(n)$$f$$n$$G(n)$ระบบของสมการเชิงเส้นใน$n \times n$ 2$\mathbb F_2$

Simon ได้ร่างหลักฐานเพิ่มเติม (ทฤษฎีบท 3.1, หน้า 9) ว่าอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมประเมินที่ค่าไม่ต่อเนื่องไม่เกิน2 n / 4 ที่แตกต่างกันไม่สามารถเดาเหรียญด้วยความได้เปรียบดีกว่า2 - n $f$$2^{n/4}$กว่าสุ่มเดาเครื่องแบบ$2^{-n/2}$

ในความรู้สึกบางนี้ตอบคำถามของคุณในเชิงบวก: การคำนวณควอนตัมที่ต้องมีการเชิงเส้นจำนวนการประเมินผลการทำงานแบบสุ่มในการทับซ้อนควอนตัมของปัจจัยการผลิตสามารถที่จะบรรลุความน่าจะดีกว่าที่ประสบความสำเร็จมากกว่าการคำนวณคลาสสิกต้องมีการชี้แจงตัวเลขการประเมินของฟังก์ชันสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง อินพุตในขนาดของอินพุต แต่ในอีกแง่หนึ่งมันไม่ได้ตอบคำถามของคุณเลยเพราะอาจเป็นได้ว่าสำหรับทุกฟังก์ชั่นเฉพาะมีวิธีที่เร็วกว่าในการคำนวณการค้นหา$f$

อัลกอริทึม Deutsch-Jozsaทำหน้าที่เป็นภาพประกอบที่คล้ายกันสำหรับปัญหาเทียมแตกต่างกันเล็กน้อยในการศึกษาเรียนซับซ้อนที่แตกต่างกัน, P และ EQP, การหารายละเอียดของการที่เป็นซ้ายเป็นออกกำลังกายสำหรับผู้อ่าน

_{^* Simon's ไร้สาระสำหรับ cryptanalysis เพราะคนงี่เง่าที่สับสนอย่างไม่น่าเชื่อเท่านั้นที่จะป้อนรหัสลับของพวกเขาในวงจรควอนตัมของฝ่ายตรงข้ามที่จะใช้ในการซ้อนทับควอนตัมของอินพุต แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างทำให้ทุกครั้งที่มีคน เพื่อทำลายกุญแจของไอดอตด้วยฮาร์ดแวร์ในจินตนาการซึ่งเป็นวิธีการโจมตีเหล่านี้ทั้งหมด ข้อยกเว้น: เป็นไปได้ว่าสิ่งนี้อาจทำลายการเข้ารหัสกล่องขาวแต่เรื่องราวความปลอดภัยสำหรับการเข้ารหัสกล่องขาวแม้กับคู่แข่งคลาสสิกไม่ได้สัญญา}

ไม่แน่ใจว่านี่เป็นสิ่งที่คุณต้องการอย่างแน่นอนหรือไม่ และฉันไม่รู้ว่าฉันมีคุณสมบัติเป็น "เลขชี้กำลัง" (ฉันไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ดังนั้นความสามารถในการวิเคราะห์อัลกอริทึมของฉันจึงไม่มีอยู่จริง ... ) แต่ผลลัพธ์ล่าสุดโดย Bravyi และ อัลนำเสนอคลาสของ 'ปัญหาฟังก์ชั่นเชิงเส้นตรงที่ซ่อน 2D' ซึ่งใช้ทรัพยากรน้อยลงบนอุปกรณ์แบบควอนตัมแบบขนาน

$N\times N$$A$$b$$q$

$\log{N}$$>7/8$ (คุณอาจต้องการที่จะประสบความสำเร็จอย่างน้อยน่าจะเป็นนี้) วงจรควอนตัมสามารถทำได้โดยมีความลึกคงที่ซึ่งเป็นการปรับปรุงครั้งใหญ่

หลักฐานเป็นหลักจำนวนเงินที่รัฐที่ระบุกราฟเป็นเรื่องยากสำหรับวงจรคลาสสิกเพื่อจำลองนี้ย่อยผลได้รับการพิสูจน์แล้วว่าก่อนหน้านี้เล็กน้อย จากนั้นส่วนที่เหลือของกระดาษแสดงให้เห็นว่าปัญหาที่เกิดขึ้นในระดับที่สูงกว่ามีปัญหาที่ยากลำบากนี้

$\neq$

$\textbf{BPP}^O \neq \textbf{BQP}^O$ $\neq$

ในขณะที่ฉันไม่สามารถให้การพิสูจน์อย่างเป็นทางการการจำลองของ (วิวัฒนาการทางโลก) ของระบบควอนตัมเชื่อว่าเป็นกรณีเช่นนี้: ไม่มีทางรู้ที่ดีกว่าที่จะทำสิ่งนี้ในคอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมมากกว่าในเวลาชี้แจง แต่คอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถ ทำเพียงเล็กน้อยในเวลาพหุนาม

ความคิดในการจำลองควอนตัม (ดูบทความวิกิพีเดีย ) เป็นความจริงว่าคอมพิวเตอร์ควอนตัมได้รับการเสนอครั้งแรก