ถ้าประตูควอนตัมทั้งหมดต้องรวมกันแล้วการวัดล่ะ?

การดำเนินการเชิงควอนตัมทั้งหมดต้องรวมกันเพื่อให้สามารถกลับรายการได้ แต่จะเกี่ยวกับการวัดอย่างไร การวัดสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์และเมทริกซ์นั้นถูกนำไปใช้กับ qubits ดังนั้นดูเหมือนว่าจะเทียบเท่ากับการทำงานของประตูควอนตัม ไม่สามารถย้อนกลับได้แน่นอน มีสถานการณ์ใดบ้างที่อาจได้รับอนุญาตจากประตูที่ไม่ใช่การรวมกัน?

การดำเนินการรวมเป็นเพียงกรณีพิเศษของการดำเนินการควอนตัมซึ่งเป็นแผนที่เชิงเส้นสมบูรณ์เชิงบวก ("ช่องทาง") ที่ตัวดำเนินการความหนาแน่นของแผนที่กับตัวดำเนินการความหนาแน่น นี้จะกลายเป็นที่เห็นได้ชัดใน Kraus ตัวแทนของช่องที่เรียกว่าผู้ประกอบการ Kraus K ฉันตอบสนองΣ n ฉัน= 1 K † ฉัน K ฉัน ≤ ฉัน ( สัญกรณ์

อย่างไรก็ตามประตูควอนตัมนั้นมีความเป็นเอกภาพเพราะมันถูกนำมาใช้ผ่านการกระทำของมิลโตเนียนในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งทำให้เกิดการวิวัฒนาการของเวลาแบบรวมตามสมการชโรดิงเงอร์

คำตอบสั้น ๆ

การดำเนินการของควอนตัมไม่จำเป็นต้องรวมกัน ในความเป็นจริงอัลกอริทึมควอนตัมและโปรโตคอลจำนวนมากใช้ประโยชน์จากหน่วยที่ไม่ใช่หน่วย

คำตอบยาว ๆ

วัดที่มีเนื้อหาที่ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดของการเปลี่ยนไม่ใช่รวมกันเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของอัลกอริทึม (ในความหมายที่ว่า "วัด" เทียบเท่ากับการสุ่มตัวอย่างจากการกระจายความน่าจะเป็นที่ได้รับหลังจากการดำเนินการ decoherence $\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$ )

โดยทั่วไปขั้นตอนวิธีควอนตัมใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับขั้นตอนความน่าจะเป็นต้องมีการดำเนินการที่ไม่รวมกัน ตัวอย่างที่เด่นชัดที่นึกได้คืออัลกอริทึมของ HHL09 เพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นของสมการ (ดู0811.3171 ) ขั้นตอนสำคัญในอัลกอริทึมนี้คือการแมป , ที่ไหน| λ j ⟩เป็นผู้ชำนาญการเฉพาะของผู้ปฏิบัติงาน การทำแผนที่นี้จำเป็นต้องมีความน่าจะเป็นและไม่รวมกัน$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$

อัลกอริธึมหรือโพรโทคอลใด ๆ ที่ใช้ฟีดไปข้างหน้า (แบบคลาสสิก) ก็ใช้การดำเนินการที่ไม่รวมกัน นี่คือการคำนวณควอนตัมแบบทางเดียวทั้งหมดโปรโตคอล (ซึ่งชื่อแนะนำต้องใช้การดำเนินการที่ไม่สามารถย้อนกลับได้)

แผนการที่น่าสังเกตมากที่สุดสำหรับการคำนวณควอนตัมเชิงแสงด้วยโฟตอนเดี่ยวยังต้องการการวัดและบางครั้งการเลือกเพื่อโพสต์เพื่อพัวพันสถานะของโฟตอนที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นโปรโตคอล KLMสร้างประตูที่น่าจะเป็นดังนั้นอย่างน้อยก็ไม่สามารถย้อนกลับได้บางส่วน การตรวจสอบที่ดีในหัวข้อเป็นquant-PH / 0512071

ตัวอย่างที่ใช้งานง่ายมีให้โดยวิศวกรรมสถานะควอนตัมที่เกิดจากการสลายตัว (เช่น1402.0529หรือsrep10656 ) ในโปรโตคอลเหล่านี้เราใช้ไดนามิกแผนที่ dissipative ไดนามิกและวิศวกรการโต้ตอบของรัฐกับสภาพแวดล้อมในลักษณะที่ว่าสถานะคงที่เป็นเวลานานของระบบเป็นที่ต้องการ

ความเสี่ยงในการออกนอกหัวข้อจากการคำนวณควอนตัมและฟิสิกส์ฉันจะตอบสิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นคำถามย่อยที่เกี่ยวข้องของหัวข้อนี้และใช้เพื่อแจ้งการอภิปรายของประตูรวมในการคำนวณควอนตัม

คำถามที่นี่คือ: ทำไมเราต้องการความเป็นหน่วยในประตูควอนตัม?

คำตอบที่เฉพาะเจาะจงน้อยกว่านั้นก็คือทำให้เราสามารถ 'พลิกกลับได้' หรือตามที่นักฟิสิกส์มักพูดถึงมันซึ่งเป็นสมมาตรแบบหนึ่งสำหรับระบบ ฉันการเรียนในกลศาสตร์ควอนตัขณะนี้และวิธีที่ประตูรวมกันตัดขึ้นในหลักสูตรที่ได้รับแรงบันดาลใจจากความปรารถนาที่จะมีการเปลี่ยนแปลงทางกายภาพU : กระทำที่เป็นสมมาตร นี้กำหนดเงื่อนไขที่สองในการเปลี่ยนแปลงU :$\hat{U}$$\hat{U}$

1. การแปลงควรกระทำเป็นเส้นตรงกับสถานะ (นี่คือสิ่งที่ทำให้เรามีการแทนเมทริกซ์)
2. การแปลงควรรักษาความน่าจะเป็นหรือเฉพาะภายในผลิตภัณฑ์เพิ่มเติม ซึ่งหมายความว่าหากเรากำหนด:

การเก็บรักษาผลิตภัณฑ์ภายในหมายความว่า ⟩ จากสเปคที่สองนี้สามารถหาค่าหน่วยได้ (สำหรับรายละเอียดทั้งหมดดูบันทึกย่อของดร. van van Ramsdonk ที่นี่ )$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$

ดังนั้นสิ่งนี้จึงตอบคำถามว่าทำไมการดำเนินการที่ทำให้สิ่งที่ "ย้อนกลับ" ต้องรวมกัน

คำถามที่ว่าทำไมการวัดด้วยตัวเองจึงไม่รวมกันนั้นเกี่ยวข้องกับการคำนวณควอนตัมมากกว่า การวัดเป็นการประมาณบนพื้นฐาน ในสาระสำคัญมันจะต้อง "ตอบ" กับรัฐหนึ่งหรือมากกว่านั้นเป็นรัฐพื้นฐาน นอกจากนี้ยังออกจากรัฐในลักษณะที่สอดคล้องกับ "คำตอบ" ในการวัดและไม่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นพื้นฐานที่รัฐเริ่มต้นด้วย ดังนั้นการดำเนินการที่เป็นไปตามข้อมูลจำเพาะ 1. การแปลงของเราแต่แน่นอนไม่ตรงตามข้อกำหนด 2 การฝึกอบรมไม่ได้ถูกสร้างขึ้นเท่ากันทั้งหมด!$U$

ในการปัดเศษสิ่งต่าง ๆ กลับไปที่การคำนวณควอนตัมความจริงที่ว่าการวัดนั้นเป็นการทำลายและการฉายภาพ (เช่นเราสามารถสร้างการซ้อนทับใหม่ผ่านการวัดซ้ำของรัฐที่เหมือนกันซ้ำ ๆ เท่านั้นและการวัดทุกครั้ง การแยกระหว่างการคำนวณควอนตัมและการคำนวณแบบละเอียด (และเป็นส่วนหนึ่งของเหตุผลว่าทำไมจึงยากที่จะปักหมุดลง) หนึ่งอาจสันนิษฐานว่าการคำนวณควอนตัมมีประสิทธิภาพมากขึ้นเนื่องจากขนาดของพื้นที่ Hilbert เพียงกับ superpositions รัฐเหล่านั้นทั้งหมดที่มีให้เรา แต่ความสามารถของเราในการแยกข้อมูลนั้นมี จำกัด อย่างมาก

As far as I understand it this shows that for information storage purposes, a qubit is only as good as a regular bit, and no better. But we can be clever in quantum computation with the way that information is traded around, because of the underlying linear-algebraic structure.

There are several misconceptions here, most of them originate from exposure to only the pure state formalism of quantum mechanics, so let's address them one by one:

1. All quantum operations must be unitary to allow reversibility, but what about measurement?

This is false. In general, the states of a quantum system are not just vectors in a Hilbert space $\mathcal{H}$ but density matrices $-$ unit-trace, positive semidefinite operators acting on the Hilbert space $\mathcal{H}$ i.e., $\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$, $Tr(\rho) = 1$, and $\rho \geq 0$ (Note that the pure state vectors are not vectors in the Hilbert space but rays in a complex projective space; for a qubit this amounts to the Hilbert space being $\mathbb{C}P^1$ and not $\mathbb{C}^2$). Density matrices are used to describe a statistical ensemble of quantum states.

The density matrix is called pure if $\rho^2 = \rho$ and mixed if $\rho^2 < \rho$. Once we are dealing with a pure state density matrix (that is, there's no statistical uncertainty involved), since $\rho^2 = \rho$, the density matrix is actually a projection operator and one can find a $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ such that $\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$.

The most general quantum operation is a CP-map (completely positive map), i.e., $\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$ such that

Now, coming to the OP's claim that all quantum operations are unitary to allow reversibility -- this is just not true. The unitarity of time evolution operator ($e^{-iHt/\hbar}$) in quantum mechanics (for closed system quantum evolution) is simply a consequence of the Schrödinger equation.

However, when we consider density matrices, the most general evolution is a CP-map (or CPTP for a closed system to preserve the trace and hence the probability).

2. Are there any situations where non-unitary gates might be allowed?

Yes. An important example that comes to mind is open quantum systems where Kraus operators (which are not unitary) are the "gates" with which the system evolves.

Note that if there is only a single Kraus operator then, $\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$. But there's only one $i$, therefore, we have, $K^\dagger K = \mathbb{I}$ or, $K$ is unitary. So the system evolves as $\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$ (which is the standard evolution that you may have seen before). However, in general, there are several Kraus operators and therefore the evolution is non-unitary.

Coming to the final point:

3. Measurement can be represented as a matrix, and that matrix is applied to qubits, so that seems equivalent to the operation of a quantum gate. That's definitively not reversible.

In standard quantum mechanics (with wavefunctions etc.), the system's evolution is composed of two parts $-$ a smooth unitary evolution under the system's Hamiltonian and then a sudden quantum jump when a measurement is made $-$ also known as wavefunction collapse. Wavefunction collapses are described as some projection operator say $|\phi\rangle \langle\phi|$ acting on the quantum state $|\psi\rangle$ and the $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ gives us the probability of finding the system in the state $|\phi\rangle$ after the measurement. Since the measurement operator is after all a projector (or as the OP suggests, a matrix), shouldn't it be linear and physically similar to the unitary evolution (also happening via a matrix). This is an interesting question and in my opinion, difficult to answer physically. However, I can shed some light on this mathematically.

If we are working in the modern formalism, then measurements are given by POVM elements; Hermitian positive semidefinite operators, $\{M_{i}\}$ on a Hilbert space $\mathcal{H}$ that sum to the identity operator (on the Hilbert space) $\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$. Therefore, a measurement takes the form

The $\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$ is the probability of the measurement outcome being $M_i$ and is used to renormalize the state to unit trace. Note that the numerator, $\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$ is a linear operation, but the probabilistic dependence on $p_i$ is what brings in the non-linearity or irreversibility.

Edit 1: You might also be interested Stinespring dilation theorem which gives you an isomorphism between a CPTP map and a unitary operation on a larger Hilbert space followed by partial tracing the (tensored) Hilbert space (see 1, 2).

I'll add a small bit complementing the other answers, just about the idea of measurement.

Measurement is usually taken as a postulate of quantum mechanics. There's usually some preceding postulates about hilbert spaces, but following that

• Every measurable physical quantity $A$ is described by an operator $\hat{A}$ acting on a Hilbert space $\mathcal{H}$. This operator is called an observable, and it's eigenvalues are the possibly outcomes of a measurement.
• If a measurement is made of the observable $A$, in the state of the system $\psi$, and the outcome is $a_n$, then the state of the system immediately after measurement is $$\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$$ where $\hat{P}_n$ is the projector onto the eigen-subspace of the eigenvalue $a_n$.

Normally the projection operators themselves should satisfy $\hat{P}^\dagger=\hat{P}$ and $\hat{P}^2=\hat{P}$, which means they themselves are observables by the above postulates, and their eigenvalues $1$ or $0$. Supposing we take one of the $\hat{P}_n$ above, we can interpret the $1,0$ eigenvalues as a binary yes/no answer to whether the observable quantity $a_n$ is available as an outcome of measurement of the state $|\psi\rangle$.

Measurements are unitary operations, too, you just don't see it: A measurement is equivalent to some complicated (quantum) operation that acts not just on the system but also on its environment. If one were to model everything as a quantum system (including the environment), one would have unitary operations all the way.

However, usually there is little point in this because we usually don't know the exact action on the environment and typically don't care. If we consider only the system, then the result is the well-known collapse of the wave function, which is indeed a non-unitary operation.

Quantum states can change in two ways: 1. quantumly, 2. classically.

1. All the state changes taking place quantumly, are unitary. All the quantum gates, quantum errors, etc., are quantum changes.

2. There is no obligation on classical changes to be unitary, e.g. measurement is a classical change.

All the more reason, why it is said that the quantum state is 'disturbed' once it's measured.