อะไรที่ทำให้ควอนตัมคอมพิวเตอร์ดีในการคำนวณปัจจัยสำคัญ?

19

หนึ่งในข้อเรียกร้องทั่วไปเกี่ยวกับคอมพิวเตอร์ควอนตัมคือความสามารถในการ "ถอดรหัส" การเข้ารหัสแบบดั้งเดิม นี่เป็นเพราะการเข้ารหัสแบบดั้งเดิมนั้นมีพื้นฐานมาจากปัจจัยสำคัญบางอย่างซึ่งมีราคาแพงสำหรับคอมพิวเตอร์ทั่วไปในการคำนวณ แต่เป็นปัญหาที่ไม่สำคัญสำหรับคอมพิวเตอร์ควอนตัม

คุณสมบัติของคอมพิวเตอร์ควอนตัมทำให้พวกเขามีความสามารถในการทำงานที่คอมพิวเตอร์ทั่วไปล้มเหลวและqubits ถูกนำไปใช้กับปัญหาการคำนวณปัจจัยสำคัญอย่างไร

speedup classical-computing

— พอลเทอร์เนอร์
แหล่งที่มา

12

คำตอบสั้น ๆ

$\newcommand{\modN}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,N}\newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}}$ ควอนตัมคอมพิวเตอร์สามารถเรียกใช้รูทีนย่อยของอัลกอริทึมสำหรับการแยกตัวเร็วกว่าเลขคลาสสิกใด ๆ ที่รู้จัก นี่ไม่ได้หมายความว่าคอมพิวเตอร์คลาสสิกไม่สามารถทำได้เร็วเกินไปเราก็ไม่รู้เหมือนกันว่าวันนี้เป็นวิธีสำหรับอัลกอริธึมดั้งเดิมที่จะทำงานได้อย่างมีประสิทธิภาพเหมือนกับอัลกอริธึมเชิงควอนตัม

คำตอบที่ยาว

คอมพิวเตอร์ควอนตัมดีที่การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง มีหลายอย่างที่เล่นที่นี่ซึ่งไม่ได้ถูกจับโดย " มันขนาน " หรือ " มันเร็ว " ดังนั้นเรามาเข้าสู่กระแสเลือดของสัตว์ร้าย

ปัญหาแฟคือต่อไปนี้: รับจำนวนที่เป็นช่วงเวลาที่คุณจะทำอย่างไรกู้คืนและ ? วิธีหนึ่งคือการบันทึกสิ่งต่อไปนี้: $N = pq$ $p,q$ $p$ $q$

ถ้าฉันดูตัวเลขดังนั้นจะใช้ปัจจัยร่วมกับหรือไม่เช่นนั้น $\modN{x}$ $x$ $N$

ถ้าใช้ร่วมกันเป็นปัจจัยร่วมและไม่ใช่ตัวคูณเราก็สามารถถามได้ว่าอะไรคือปัจจัยร่วมของและ $x$ $N$ $x$ $N$ คืออะไร (ผ่านอัลกอริธึมแบบยุคลิดสำหรับปัจจัยทั่วไปที่ยิ่งใหญ่ที่สุด)

ตอนนี้เป็นความจริงที่ไม่ชัดเจนดังนั้นชุดของทุกที่ไม่ได้ร่วมปัจจัยร่วมกันกับรูปแบบกลุ่มคูณN นั่นหมายความว่าอย่างไร? คุณสามารถดูความหมายของกลุ่มในวิกิพีเดียที่นี่ ให้การดำเนินการของกลุ่มเป็นการคูณเพื่อเติมรายละเอียด แต่สิ่งที่เราสนใจจริงๆที่นี่คือผลที่ตามมาของทฤษฎีซึ่งก็คือ: ลำดับ $x$ $N$ $\on{mod} N$

x^{0} \mod N, x^{1} \mod N, x^{2} \mod N, . . .

$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$

เป็นระยะเมื่อไม่แชร์ปัจจัยทั่วไป (ลอง , ) เพื่อดูว่ามือแรกเป็น: $x,N$ $x = 2$ $N = 5$

1 \mod 5 = 1, 4 \mod 5 = 4, 8 \mod 5 = 3, 16 \mod 5 = 1.

$\newcommand{\mod}[1]{#1\,\operatorname{mod}\,5} \mod1 = 1,\quad \mod4 = 4,\quad \mod8 = 3,\quad \mod{16} = 1.$

ตอนนี้จำนวนธรรมชาติน้อยกว่าไม่ได้ใช้ปัจจัยร่วมกันกับ ? นั่นคือคำตอบโดยtotient ฟังก์ชันออยเลอร์ , มัน(Q-1) $x$ $N$ $N$ $(p-1)(q-1)$

สุดท้ายให้แตะที่หัวข้อของทฤษฎีกลุ่มความยาวของโซ่ซ้ำ

x^{0} \mod N, x^{1} \mod N, x^{2} \mod N, . . .

$\modN{x^0}, \quad\modN{x^1}, \quad\modN{x^2}, ...$

แบ่งว่าจำนวน(Q-1) ดังนั้นถ้าคุณรู้ระยะเวลาของพลังของคุณสามารถเริ่มเดาสิ่งที่ได้ ยิ่งกว่านั้นถ้าคุณรู้ว่าคืออะไรและคืออะไร(นั่นคือ N อย่าลืม!) คุณก็มีสมการ 2 อันที่มี 2 unknowns ซึ่งสามารถแก้ไขได้ผ่านพีชคณิตเบื้องต้นเพื่อแยก $(p-1)(q-1)$ $x \mod N$ $(p-1)(q-1)$ $(p-1)(q-1)$ $pq$ $p,q$ Q

คอมพิวเตอร์ควอนตัมมาจากไหน? การหาช่วงเวลา มีการดำเนินการที่เรียกว่าการแปลงฟูริเยร์ซึ่งใช้ฟังก์ชันเขียนเป็นผลรวมของฟังก์ชันตามช่วงเวลาโดยที่เป็นตัวเลขเป็นฟังก์ชันตามรอบระยะเวลาด้วยและแมปไปยังฟังก์ชันใหม่เช่นว่าÄ_i $g$ $a_1 e_1 + a_2 e_2 ...$ $a_i$ $e_i$ $p_i$ $\hat{f}$ $\hat{f}(p_i) = a_i$

คำนวณแปลงฟูเรียมักจะเป็นที่รู้จักในฐานะที่เป็นหนึ่ง แต่เมื่อคุณต้องการเพียงแค่ใช้มันไปยังอาร์เรย์ของข้อมูล (การที่ผม^THองค์ประกอบของอาร์เรย์คือ ) คุณสามารถใช้เครื่องมือนี้เรียกว่าไม่ต่อเนื่องแปลงฟูเรีย $f(I)$ ซึ่งเป็นจำนวนเงิน การคูณ "อาร์เรย์" ของคุณราวกับว่าเป็นเวกเตอร์โดยเมทริกซ์รวมที่ใหญ่มาก

เน้นการรวมคำว่า: มันเป็นสถานที่ให้บริการโดยพลจริงๆอธิบายไว้ที่นี่ แต่สิ่งสำคัญคือสิ่งต่อไปนี้:

ในโลกแห่งฟิสิกส์ผู้ปฏิบัติงานทุกคนจะปฏิบัติตามหลักการทางคณิตศาสตร์ทั่วไปแบบเดียวกันนั่นคือหน่วยหนึ่งคือหนึ่ง

นั่นหมายความว่ามันไม่สมควรที่จะทำซ้ำการดำเนินการเมทริกซ์ DFT ในฐานะผู้ดำเนินการควอนตัม

ตอนนี้ที่นี่คือที่ที่มันลึก Qubit Array สามารถเป็นตัวแทนขององค์ประกอบอาร์เรย์ที่เป็นไปได้ (ดูที่ใดก็ได้ทางออนไลน์เพื่อดูคำอธิบายหรือลบความคิดเห็น) $n$ $2^n$

และในทำนองเดียวกันผู้ดำเนินการควอนตัม Qubit สามารถดำเนินการกับพื้นที่ควอนตัมทั้งหมดและสร้างคำตอบที่เราสามารถตีความได้ $n$ $2^n$

ดูบทความ Wikipedia นี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

หากเราสามารถแปลงฟูริเยร์นี้ในชุดข้อมูลขนาดใหญ่ชี้แจงโดยใช้เพียง Qubits แล้วเราสามารถหาช่วงเวลาได้อย่างรวดเร็ว $n$

หากเราสามารถหาช่วงเวลาได้อย่างรวดเร็วเราสามารถรวบรวมการประมาณสำหรับ $(p-1)(q-1)$

หากเราสามารถทำได้อย่างรวดเร็วจากนั้นให้ความรู้ของเราของเราสามารถแทงที่ตรวจสอบ $N=pq$ $p,q$ Q

นั่นคือสิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่ในระดับที่สูงมาก

— frogeyedpeas
แหล่งที่มา

3

สิ่งที่ทำให้คอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถใช้แฟคตอริ่งจำนวนมากได้นั้นคือความสามารถในการแก้ปัญหาการค้นหาช่วงเวลา (และความจริงทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาปัจจัยสำคัญในการค้นหาช่วงเวลา) นั่นคืออัลกอริทึมของชอร์โดยย่อ แต่มันเป็นเพียงแค่คำถามที่ทำให้คอมพิวเตอร์ควอนตัมดีในการค้นหาช่วงเวลา

ที่แกนกลางของการค้นหาช่วงเวลาคือความสามารถในการคำนวณค่าของฟังก์ชันเหนือโดเมนทั้งหมด (นั่นคือสำหรับทุกอินพุตที่นึกออก) สิ่งนี้เรียกว่าควอนตัมขนาน สิ่งนี้ในตัวมันเองไม่ดีพอ แต่เมื่อรวมกับการแทรกแซง

ฉันคิดว่าคำตอบนี้อาจเป็นที่แขวนของหน้าผา: ใครใช้ความสามารถเหล่านี้เพื่อแยกแยะความจริงได้อย่างไร? ค้นหาคำตอบว่าในวิกิพีเดียในขั้นตอนวิธีของชอร์

— ปิรามิด
แหล่งที่มา

1

ประการแรกแฟคตอริ่งสามารถทำได้บนคอมพิวเตอร์ควอนตัม (ด้วยการใช้ 'ประตู' รวมกันของควอนตัม) โดยใช้อัลกอริทึมของชอร์ขั้นตอนวิธีของชอร์

คำอธิบายที่ไม่จำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูงหรือความรู้ด้านฟิสิกส์ขั้นสูงใด ๆโพสต์บล็อกนี้โดย Scott Aaronsonชื่อ "Shor ฉันจะทำมัน"

สรุปความคิดโดยย่อของเขามีดังต่อไปนี้:

อันดับแรกเราเป็นตัวแทนของประตูควอนตัม / qubits ของเราที่มีนาฬิกา (ใช้ 'จำนวนเชิงซ้อนเป็นลูกศร (เช่นองค์ประกอบของมีการคูณแปลก), การแทน') $\mathbb{R}^2$

$\rho$ อัลกอริทึม)

ดังนั้นนาฬิกาควอนตัมแปลก ๆ ของเราสามารถช่วยให้เราคำนึงถึงปัจจัยได้อย่างมีประสิทธิภาพ!

— จิ้งจกไม่ต่อเนื่อง
แหล่งที่มา