มีคำอธิบายของคนธรรมดาสำหรับสาเหตุที่อัลกอริทึมของ Grover ทำงานอย่างไร

นี้บล็อกโพสต์โดยสกอตต์ Aaronsonเป็นคำอธิบายที่มีประโยชน์และเรียบง่ายของขั้นตอนวิธีของชอร์

ฉันสงสัยว่าถ้ามีเช่นคำอธิบายขั้นตอนวิธีควอนตัมที่มีชื่อเสียงมากที่สุดที่สอง: อัลกอริทึมของโกรเวอร์เพื่อการค้นหาเรียงลำดับฐานข้อมูลของขนาด$O(n)$ใน$O(\sqrt{n})$เวลา

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันต้องการเห็นสัญชาตญาณที่เข้าใจได้สำหรับผลเริ่มต้นที่น่าประหลาดใจของเวลาทำงาน!

มีคำอธิบายที่ดีโดย Craig Gidney ที่นี่ (เขายังมีเนื้อหาที่ยอดเยี่ยมอื่น ๆ รวมถึงตัวจำลองวงจรในบล็อกของเขา )

โดยพื้นฐานแล้วอัลกอริทึมของ Grover จะนำไปใช้เมื่อคุณมีฟังก์ชั่นซึ่งจะคืนค่าTrueเป็นหนึ่งในอินพุตที่เป็นไปได้และFalseสำหรับส่วนอื่น ๆ ทั้งหมด Trueงานของอัลกอริทึมที่จะหาคนที่ผลตอบแทน

ในการทำเช่นนี้เราแสดงอินพุตเป็นสตริงบิทและเข้ารหัสสิ่งเหล่านี้โดยใช้$|0\rangle$และ$|1\rangle$สถานะของสตริงของ qubits ดังนั้นสตริงบิต0011จะถูกเข้ารหัสในสี่สถานะ qubit $|0011\rangle$ยกตัวอย่างเช่น

นอกจากนี้เรายังต้องสามารถใช้งานฟังก์ชั่นโดยใช้ประตูควอนตัม โดยเฉพาะเราจำเป็นต้องค้นหาลำดับของประตูที่จะใช้งาน$U$รวมเช่นนั้น

$U | a \rangle = - | a \rangle, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, U | b \rangle = | b \rangle$

ที่คือสตริงบิตที่ฟังก์ชั่นจะกลับมาและขใด ๆ ซึ่งมันก็จะกลับมา$a$True$b$False

หากเราเริ่มต้นด้วยการซ้อนทับของสตริงบิตที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งค่อนข้างง่ายที่จะทำโดยเพียงแค่ Hadamarding ทุกอย่างอินพุตทั้งหมดเริ่มต้นด้วยแอมพลิจูดเดียวกัน$\frac{1}{\sqrt{2^n}}$ (โดยที่$n$คือความยาวของสตริงบิตที่เรากำลังค้นหาดังนั้นจำนวน qubits ที่เราใช้) แต่ถ้าเราใช้ oracle$U$แอมพลิจูดของสถานะที่เรากำลังมองหาจะเปลี่ยนเป็น$-\frac{1}{\sqrt{2^n}}$ n

นี่ไม่ใช่ความแตกต่างที่สังเกตได้ง่ายดังนั้นเราต้องขยายมัน การทำเช่นนี้เราจะใช้โกรเวอร์แพร่ Operator , D$D$ผลกระทบของโอเปอเรเตอร์นี้คือการดูว่าแต่ละแอมพลิจูดแตกต่างจากแอมพลิจูดเฉลี่ยแล้วกลับเปลี่ยนความแตกต่างนี้ ดังนั้นถ้าแอมพลิจูดบางตัวมีจำนวนมากกว่าแอมพลิจูดเฉลี่ยมันจะกลายเป็นจำนวนเดียวกันนั้นน้อยกว่าค่าเฉลี่ยและในทางกลับกัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณมีการซ้อนทับของสตริงบิต$b_j$ตัวดำเนินการแพร่จะมีผลกระทบ

$D: \,\,\,\, \sum_j \alpha_j \, | b_j \rangle \,\,\,\,\,\, \mapsto \,\,\,\,\,\, \sum_j (2\mu \, - \, \alpha_j) \, | b_j \rangle$

โดยที่$\mu = \sum_j \alpha_j$คือแอมพลิจูดเฉลี่ย ดังนั้นใด ๆ กว้าง$\mu + \delta$ได้รับกลายเป็น$\mu - \delta$ δ เพื่อดูว่าทำไมมันมีผลกระทบนี้และวิธีการที่จะใช้มันให้ดูเอกสารประกอบการบรรยายเหล่านี้

แอมพลิจูดส่วนใหญ่จะเล็กกว่าค่าเฉลี่ยเล็กน้อยเล็กน้อย (เนื่องจากเอฟเฟกต์ของ single $-\frac{1}{\sqrt{2^n}}$ ) ดังนั้นพวกเขาจะน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเล็กน้อยผ่านการดำเนินการนี้ ไม่ใช่การเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่

สถานะที่เรากำลังมองหาจะได้รับผลกระทบมากขึ้น แอมพลิจูดของมันมีค่าน้อยกว่าค่าเฉลี่ยมากและจะกลายเป็นค่าเฉลี่ยที่มากขึ้นหลังจากใช้โอเปอเรเตอร์การกระจาย ผลสุดท้ายของผู้ดำเนินการแพร่กระจายคือสาเหตุที่ทำให้เกิดสัญญาณรบกวนในสถานะที่ skims แอมพลิจูดของ$\frac{1}{\sqrt{2^n}}$จากคำตอบที่ผิดทั้งหมดและเพิ่มไปยังคำตอบที่ถูกต้อง ด้วยการทำซ้ำขั้นตอนนี้เราสามารถไปยังจุดที่ทางออกของเราโดดเด่นจากฝูงชนมากจนเราสามารถระบุได้

แน่นอนทั้งหมดนี้แสดงให้เห็นว่างานทั้งหมดกระทำโดยผู้ดำเนินการแพร่กระจาย การค้นหาเป็นเพียงแอปพลิเคชันที่เราสามารถเชื่อมต่อได้

ดูคำตอบของคำถามอื่น ๆ สำหรับรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการที่ฟังก์ชั่นและผู้ประกอบการแพร่กระจายจะดำเนินการ

ฉันพบว่าวิธีการแบบกราฟิกค่อนข้างดีสำหรับการให้ข้อมูลเชิงลึกโดยไม่ต้องใช้เทคนิคเกินไป เราต้องการอินพุตบางส่วน:

• เราสามารถสร้างรัฐด้วยไม่ใช่ศูนย์ทับซ้อนกับ 'เครื่องหมาย' รัฐ| x ⟩ : ⟨ x | ψ ⟩ ≠ 0$|\psi\rangle$$|x\rangle$$\langle x|\psi\rangle\neq 0$
• เราสามารถใช้การดำเนินการ$U_1=-(\mathbb{I}-2|\psi\rangle\langle\psi|)$
• เราสามารถใช้การดำเนินการ.$U_2=\mathbb{I}-2|x\rangle\langle x|$

การดำเนินการครั้งสุดท้ายนี้เป็นสิ่งที่สามารถทำเครื่องหมายรายการที่เราทำเครื่องหมายด้วยเฟส -1 นอกจากนี้เรายังสามารถกำหนดสถานะจะเป็น orthonormal ไป| x ⟩เช่นนั้น{ | x ⟩ , | ψ ⊥ ⟩ }รูปแบบพื้นฐาน orthonormal สำหรับช่วงของ{ | x ⟩ , | ψ ⟩ } ทั้งการดำเนินการที่เราได้กำหนดไว้สงวนพื้นที่นี้: คุณเริ่มต้นด้วยบางสถานะในช่วงของ{ | x ⟩ , | ψ ⊥ ⟩ $|\psi^\perp\rangle$$|x\rangle$$\{|x\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$$\{|x\rangle,|\psi\rangle\}$$\{|x\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$และพวกเขากลับสถานะภายในช่วง ยิ่งไปกว่านั้นทั้งสองยังรวมกันดังนั้นความยาวของเวกเตอร์อินพุตจึงถูกสงวนไว้

เวกเตอร์ที่มีความยาวคงที่ภายในพื้นที่สองมิติสามารถมองเห็นเป็นเส้นรอบวงของวงกลม ลองตั้งค่าวงกลมที่มีสองทิศตั้งฉากกับและ| x ⟩ $|\psi^\perp\rangle$$|x\rangle$

$|\psi\rangle$$|x\rangle$$|\psi^\perp\rangle$$|\psi\rangle$$|\psi\rangle$$|\psi^\perp\rangle$$\theta$

$U_1$$|\psi\rangle$$U_2$$|\psi^\perp\rangle$

$U_2$$U_1$$2\theta$$|x\rangle$

$|\psi\rangle$$\theta$$|x\rangle$$x$

$|x\rangle$$|\psi\rangle$$p\ll 1$$O(1/p)$$\sqrt{p}=\sin\theta\approx\theta$$\theta$$r$$\sin((2r+1)\theta)\approx 1$$r\approx \frac{\pi}{2\theta}\approx \frac{\pi}{2\sqrt{p}}$

$1/\sqrt{N}$$\sqrt{N}$$1$