ใน Quantum Turing Machine การตัดสินใจเคลื่อนย้ายไปตามเทปหน่วยความจำทำอย่างไร

อนุญาตสำหรับเครื่อง Quantum ทัวริง (QTM) ชุดสถานะเป็นและตัวอักษรของสัญลักษณ์เป็น∑ = { 0 , 1 }ซึ่งปรากฏขึ้นที่หัวเทป จากนั้นตามความเข้าใจของฉันในเวลาใดก็ตามในขณะที่กำลังคำนวณ QTM qubit ที่ปรากฏขึ้นที่หัวของมันจะถือเวกเตอร์ตามอำเภอใจV ∑ = a | 1 ⟩ + b | 0 ⟩ นอกจากนี้หาก| q 0 ⟩ , | qจากนั้นเวกเตอร์สถานะในอินสแตนซ์นั้นก็จะเป็นเวกเตอร์ตามอำเภอใจV q = $Q$$\sum=\{0,1\}$$V_\sum = a|1\rangle+b|0\rangle$$|q_0\rangle , |q_1\rangle, ... \in Q$.$V_q=b_0|q_0\rangle + b_1 |q_1\rangle+ ...$

ตอนนี้หลังจากครบรอบการสอนเวกเตอร์และV qจะตัดสินใจว่า QTM จะเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวาตามเทป Qubit คำถามของฉันคือ - เนื่องจากพื้นที่ฮิลแบร์ตที่สร้างขึ้นโดยQ ⊗ ∑เป็นเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดนับไม่ถ้วนและ{ ซ้าย, ขวา}เป็นชุดแยกการทำแผนที่ระหว่างพวกเขาจะเป็นการยากที่จะสร้าง$V_\sum$$V_q$$Q \otimes \sum$$\{\text{Left,Right}\}$

ดังนั้นการตัดสินใจที่จะย้ายไปทางซ้ายหรือขวาทำอย่างไร ที่ไม่ QTM ย้ายทั้งซ้ายและขวาในเวลาเดียวกันซึ่งหมายความว่าชุดยังรูปแบบพื้นที่ Hilbert ที่แตกต่างกันและด้วยเหตุนี้การเคลื่อนไหวของ QTM จะกลายเป็นสิ่งที่ต้องการ| ซ้าย⟩ + b | ขวา ⟩$\{\text{Left,Right}\}$$a|\text{Left}\rangle+b|\text{Right}\rangle$

หรือเหมือนกับเครื่องจักรทัวริงคลาสสิค QTM จะย้ายไปทางซ้ายหรือขวา แต่ไม่ใช่ทั้งสองอย่างในเวลาเดียวกัน?

$Q$$\Sigma = \{0,1\}$$a|0\rangle + b|1\rangle$$Q$

ในการเปรียบเทียบเราจะไม่อธิบายสถานะโกลบอลของเครื่องทัวริงน่าจะเป็นโดยการระบุการกระจายสำหรับสถานะภายในและสำหรับเทปสี่เหลี่ยมแต่ละช่องอย่างอิสระ แต่เราต้องอธิบายทุกอย่างเข้าด้วยกันเพื่อแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างส่วนต่าง ๆ ของเครื่อง ตัวอย่างเช่นบิตที่จัดเก็บในสแควร์เทปที่อยู่ห่างไกลสองแห่งอาจสัมพันธ์กันอย่างสมบูรณ์ทั้ง 0 ที่มีความน่าจะเป็น 1/2 และทั้ง 1 ที่มีความน่าจะเป็น 1/2

ดังนั้นในกรณีของควอนตัมและสมมติว่าเรากำลังพูดถึงสถานะที่บริสุทธิ์ของเครื่องควอนตัมทัวริงด้วยการวิวัฒนาการรวมกัน (ซึ่งแตกต่างจากโมเดลทั่วไปที่อิงตามสถานะผสม) รัฐทั่วโลกจะถูกแสดงด้วยเวกเตอร์ การกำหนดค่า (เช่นคำอธิบายแบบคลาสสิกของสถานะภายในตำแหน่งของหัวเทปและเนื้อหาของทุกเทปสี่เหลี่ยม) ของเครื่องทัวริง ควรสังเกตว่าโดยทั่วไปเราคิดว่ามีสัญลักษณ์ว่างเปล่าพิเศษในตัวอักษรของเทป (ซึ่งอาจเป็น 0 ถ้าเราต้องการให้สแควร์เทปของเราจัดเก็บ qubits) และเราเริ่มคำนวณด้วยจำนวนที่มากที่สุดอย่างไม่ จำกัด เพื่อให้ชุดของการกำหนดค่าที่สามารถเข้าถึงได้ทั้งหมดนับได้ ซึ่งหมายความว่าสถานะจะถูกแทนด้วยเวกเตอร์หน่วยในพื้นที่ฮิลแบร์ตที่แยกออกไม่ได้

ในที่สุดและนี่อาจเป็นคำตอบที่แท้จริงสำหรับคำถามที่ตีความอย่างแท้จริงการเคลื่อนไหวของหัวเทปถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการเปลี่ยนซึ่งจะกำหนด "แอมพลิจูด" ให้กับการกระทำแต่ละอย่างที่เป็นไปได้ (สถานะใหม่สัญลักษณ์ใหม่และการเคลื่อนไหวหัวเทป ) สำหรับคู่คลาสสิกทุกคน $(q,\sigma)$แสดงถึงสถานะปัจจุบันและสัญลักษณ์ที่สแกนในปัจจุบัน ไม่มีสิ่งใดบังคับให้หัวเทปเคลื่อนที่แบบกำหนดค่าได้ - แอมพลิจูดที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถกำหนดให้กับการกระทำสองอย่างหรือมากกว่านั้นซึ่งรวมถึงการเคลื่อนไหวของหัวเทปไปทางซ้ายและขวา - ดังนั้นจึงเป็นไปได้สำหรับหัวเทป QTM การทับซ้อน

ตัวอย่างเช่นคุณสามารถจินตนาการ QTM ด้วย $Q = \{0,1\}$ และ $\Sigma = \{0,1\}$(และเราจะใช้ 0 เป็นสัญลักษณ์ว่าง) เราเริ่มต้นในสถานะ 0 สแกนสแควร์ที่เก็บ 1 และสี่เหลี่ยมอื่น ๆ ทั้งหมดเก็บ 0 ฉันจะไม่เขียนฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงอย่างชัดเจน แต่จะอธิบายพฤติกรรมในคำพูด ในการย้ายแต่ละครั้งเนื้อหาของสแควร์เทปที่สแกนจะถูกตีความเป็นบิตควบคุมสำหรับการทำงานของ Hadamard ในสถานะภายใน หลังจากทำการควบคุม Hadamard แล้วหัวจะเลื่อนไปทางซ้ายหากสถานะ (ใหม่) เป็น 0 และเลื่อนไปทางขวาหากสถานะ (ใหม่) คือ 1 (ในตัวอย่างนี้เราไม่เคยเปลี่ยนเนื้อหาของเทป) หลังจากหนึ่งขั้นตอน QTM จะอยู่ในสถานะซ้อนทับน้ำหนักเท่ากันระหว่างอยู่ในสถานะ 0 ด้วยการสแกนหัวเทปสแควร์ -1 และอยู่ในสถานะ 1 ด้วยการสแกนหัวเทปสแควร์ +1 ในทุกการเคลื่อนไหวที่ตามมาตัวควบคุม - Hadamard ไม่ทำอะไรเลยเพราะทุกช่องนอกเหนือจากตาราง 0 ประกอบด้วยสัญลักษณ์ 0 หัวเทปจะเคลื่อนที่ต่อไปพร้อมกันทั้งซ้ายและขวาเช่นอนุภาคที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายและไปทางขวาในการซ้อนทับ

หากคุณต้องการคุณสามารถกำหนดตัวแปรของโมเดลเครื่องควอนตัมทัวริงซึ่งตำแหน่งหัวเทปและการเคลื่อนไหวเป็นสิ่งกำหนดได้และนี่จะไม่ทำลายความเป็นสากลเชิงคำนวณของโมเดล แต่นิยามของ "คลาสสิค" ของควอนตัมทัวริง เครื่องไม่ได้กำหนดข้อ จำกัด นี้

เครื่องทัวริงควอนตัมสามารถย้ายเข้าไปในการทับซ้อนของการเคลื่อนที่ไปทางซ้ายและขวา สิ่งนี้แตกต่างจากเครื่องทัวริงแบบคลาสสิคซึ่งสามารถเคลื่อนที่ได้ทั้งซ้ายหรือขวา