เราสามารถใช้ควอนตัมขนานในการคำนวณฟังก์ชั่นหลาย ๆ อย่างพร้อมกันได้หรือไม่?

9

เป็นที่ทราบกันดีว่าด้วยการใช้ความเท่าเทียมกันของควอนตัมเราสามารถคำนวณฟังก์ชันสำหรับค่าต่าง ๆ ของพร้อมกัน อย่างไรก็ตามการปรับเปลี่ยนที่ชาญฉลาดบางอย่างนั้นจำเป็นสำหรับการดึงข้อมูลของแต่ละค่าออกมาเช่นด้วยอัลกอริทึมของ Deutsch $f(x)$ $x$

พิจารณากรณีที่ตรงกันข้าม: เราสามารถใช้ควอนตัมขนานในการคำนวณฟังก์ชั่นมากมาย (พูด ) พร้อมกันสำหรับค่าเดียว ? $f(x),g(x),\dots$ $x_0$

algorithm speedup

— donnydm
แหล่งที่มา

ในการประเมิน

f (x_{0})

$f(x_0)$ และ

g (x_{0})

$g(x_0)$ คุณต้องทำสำเนา

x_{0}

$x_0$ สำหรับการดำเนินการแต่ละอย่างซึ่งโดยทั่วไปไม่สามารถทำได้โดยทฤษฎีที่ไม่มีการโคลนนิ่ง หากในอีกทางหนึ่งคุณเพียงแค่เตรียมสถานะซึ่งเป็นสองเท่าของ

x_{0}

$x_0$ คุณเพียงแค่เรียกคืนความขนานแบบคลาสสิก

@HenriMenke วิธีการโคลนไม่สมบูรณ์เกี่ยวกับ?

— donnydm

@ HenriMenke: ความคิดของคุณเกี่ยวกับสิ่งที่ 'การโคลนนิ่ง' นั้นกว้างมากจนถึงจุดที่วางอุปสรรคบางอย่างต่อความสามารถของคุณในการแก้ไขปัญหา

— Niel de Beaudrap

5

คำตอบที่แน่นอนขึ้นอยู่กับประเภทของการทับซ้อนที่คุณต้องการ คำตอบของปิรามิดและนีแอลทำให้คุณได้รับสิ่งที่ชอบ

A \sum_{t = 1}^{n} | f_{t} (x) ⟩ \otimes | F_{t} ⟩

$A\sum_{t=1}^n |\,\,f_t (x)\,\,\rangle \otimes |F_t\rangle$

ที่นี่ฉันได้ติดตาม Niel ในการติดฉลากฟังก์ชั่นที่แตกต่างกัน ,ฯลฯ โดยมีเป็นจำนวนฟังก์ชั่นทั้งหมดที่คุณต้องการซ้อนทับ นอกจากนี้ฉันใช้เพื่อแสดงคำอธิบายฟังก์ชันเป็นโปรแกรมที่เก็บไว้ เป็นเพียงสิ่งที่ต้องการจำนวนที่จะมีสำหรับรัฐที่จะปกติ $f_1$ $f_2$ $n$ $F_t$ $f_t$ $A$

โปรดทราบว่านี้ไม่ได้เป็นเพียงการทับซ้อนของ(x) มันเข้าไปพัวพันกับโปรแกรมที่เก็บไว้ หากคุณกำลังจะออกติดตามโปรแกรมที่เก็บไว้คุณก็จะมีส่วนผสมของ(x) ซึ่งหมายความว่าโปรแกรมที่จัดเก็บอาจประกอบด้วย 'ขยะ' ซึ่งป้องกันผลกระทบจากสัญญาณรบกวนที่คุณอาจคาดหวัง หรืออาจจะไม่ ขึ้นอยู่กับวิธีใช้การซ้อนทับนี้ในการคำนวณของคุณ $f_t(x)$ $f_t(x)$

หากคุณต้องการกำจัดขยะสิ่งต่าง ๆ ก็ยิ่งยุ่งยากมากขึ้น ตัวอย่างเช่นสมมติว่าสิ่งที่คุณต้องการคือรวมกันซึ่งมีผลกระทบ $U$

U : | x ⟩ \otimes | 0 ⟩^{\otimes N} \to A \sum_{t = 1}^{n} | f_{t} (x) ⟩

$U : \,\,\, | x \rangle \otimes |0\rangle^{\otimes N} \rightarrow A \sum_{t=1}^n |\,\,f_t (x)\,\,\rangle$

สำหรับอินพุตที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ซึ่งฉันสมมติว่าเป็นบิตสตริงที่เขียนในพื้นฐานการคำนวณ) โปรดทราบว่าฉันได้รวม qubits ว่างไว้ที่ด้านอินพุตในกรณีที่ฟังก์ชั่นมีเอาต์พุตยาวกว่าอินพุต $x$

จากนี้เราสามารถหาเงื่อนไขที่ฟังก์ชั่นจะต้องตอบสนองอย่างรวดเร็ว: เนื่องจากสถานะอินพุตเป็นชุดฉากฉากดังนั้นผลลัพธ์จึงต้อง สิ่งนี้จะทำให้ข้อ จำกัด ที่สำคัญเกี่ยวกับประเภทของฟังก์ชั่นที่สามารถรวมกันในวิธีนี้

— James Wootton
แหล่งที่มา

ขอบคุณฉันคิดว่าด้วยวิธีนี้เราอาจเร่งความเร็วเช่นการคำนวณการขยายตัวของเทย์เลอร์ อย่างไรก็ตามโปรแกรมที่เก็บไว้สามารถเข้าถึง / วัดผลเพื่อรับข้อมูลบางอย่างหรือเป็นเพียงเครื่องมือหรือไม่?

— donnydm

โปรแกรมที่เก็บไว้จะถูกเขียนในการลงทะเบียนของ qubits ดังนั้นจึงสามารถจัดการได้อย่างแน่นอน

— James Wootton

5

ฟังก์ชั่นที่คุณต้องการประเมินในสาขาการคำนวณต่าง ๆ จะต้องสามารถคำนวณได้ในบางวิธี (เช่นลำดับของประตูตรรกะแบบคลาสสิก) และชุดของฟังก์ชั่นที่คุณต้องการคำนวณควรจะคำนวณได้เอง: สำหรับกำหนดคุณต้องสามารถคำนวณสเปคของที่จะคำนวณบนอาร์กิวเมนต์ของมันได้ ผล: คุณต้องมีวิธีการอธิบายฟังก์ชั่นเป็นโปรแกรมที่เก็บไว้ (สิ่งเหล่านี้จำเป็นทั้งหมดก่อนที่เราจะพิจารณาการคำนวณควอนตัมสำหรับคำถามของ "คำนวณหนึ่ง / ฟังก์ชั่นทั้งหมดบนอินพุต $f,g,\ldots$ $\{ f_1, f_2 , \ldots \}$ $t$ $f_t$ $f_t$ $f_1, f_2, \ldots$ $x_0$ "มีความหมาย)

เมื่อคุณมีวิธีการระบุฟังก์ชั่นเป็นโปรแกรมที่เก็บไว้คุณก็ทำเสร็จแล้ว: โปรแกรมนั้นเป็นอินพุตอีกประเภทหนึ่งซึ่งคุณสามารถเตรียมในการซ้อนทับและเช่นประเมินค่าอินพุตแบบคงที่หรือการซ้อนของอินพุตโดยการคำนวณ ฟังก์ชั่นจากข้อกำหนดของพวกเขาในแต่ละสาขา

เพื่อให้ได้ข้อได้เปรียบจากการทำเช่นนั้นเป็นเรื่องที่แตกต่างกันและจะต้องเกี่ยวข้องกับโครงสร้างเฉพาะบางอย่างในฟังก์ชั่น $f_t$ ที่คุณสามารถใช้ประโยชน์จาก แต่เพียง "การประเมินในการซ้อนทับ" ทำได้ง่าย ๆ ถ้าคุณมีข้อมูลเพียงพอที่คำถามจะสมเหตุสมผล

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

3

ใช่ (ขึ้นอยู่กับความหมายของ "คำนวณฟังก์ชั่นมากมายในครั้งเดียว")

อธิบายวงจรที่ให้ฟังก์ชั่น $f$ เช่น $U_f$ และวงจรให้ $g$ เช่น $U_g$ มีสองสามวิธีที่จะทำสิ่งนี้:

เริ่มต้นด้วยการลงทะเบียน qubit $\left|00x\right>$ เตรียมสถานะ $\alpha\left|01\right>+\beta\left|10\right>$ ในการลงทะเบียนสองครั้งแรก สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการใช้การรวมกัน¹ในการลงทะเบียนครั้งแรกที่จะนำการลงทะเบียนที่อยู่ในรัฐ $\alpha\left|0\right> + \beta\left|1\right>$ ก่อนที่จะใช้ CNOT แล้ว $I\otimes X$ . จากนั้นนำไปใช้ $CU_f$ จากการลงทะเบียนครั้งแรกถึงครั้งที่สามและ $CU_g$ จากที่สองถึงที่สาม

1.1 นี่ทำให้การลงทะเบียนครั้งที่สามอยู่ในสถานะ $\left(\alpha U_f + \beta U_g\right)\left|x\right>$ เมื่อการดำเนินการเริ่มต้น (ถึง $I\otimes X$ ) ในการลงทะเบียนสองครั้งแรกจะกลับรายการ อย่างไรก็ตามเนื่องจากความยากลำบากทั่วไปของการใช้งานการดำเนินการรวมกันโดยพลการควบคุม (เช่นเดียวกับการใช้ qubits พิเศษโดยไม่จำเป็น) มันอาจจะง่ายต่อการใช้งานโดยตรงโดยการเรียกเลขหมายรวม $\alpha U_f + \beta U_g$ . โปรดทราบว่านี่ไม่ได้ใช้งาน $f$ ไม่ $g$ แต่เป็นฟังก์ชั่นใหม่ที่แตกต่าง $f+g$

1.2 การไม่ย้อนกลับการดำเนินการเริ่มต้นในการลงทะเบียนสองครั้งแรกทำให้อันดับที่สามอยู่ในสถานะที่ยุ่งเหยิง $f$ และ $g$ ซึ่งจะกล่าวถึงในคำตอบอื่น ๆ
เริ่มต้นด้วยรัฐ $\left|xx\right>$ และการสมัคร $U_f$ เพื่อลงทะเบียนครั้งแรกและ $U_g$ ไปที่สอง นี่คือความใกล้เคียงที่สุดกับการขนานแบบคลาสสิกโดยที่ทั้งสองฟังก์ชั่นจะถูกนำไปใช้อย่างอิสระกับสำเนาของสถานะเดียวกัน นอกเหนือจากการกำหนดจำนวน qubits สองครั้งปัญหาที่นี่คือเนื่องจากไม่มีการโคลนเพื่อคัดลอก $\left|x\right>$ มันจะต้องเป็นที่รู้จักหรือเป็นรัฐคลาสสิก (กล่าวคือไม่เกี่ยวข้องกับการทับซ้อนในพื้นฐานการคำนวณ) สามารถใช้การโคลนนิ่งโดยประมาณได้
เริ่มต้นด้วยรัฐ $\left|0x\right>$ เช่นเดียวกับทะเบียนคลาสสิก ใช้^{1 แบบ}รวมเพื่อทำให้การลงทะเบียนครั้งแรกในการทับซ้อน $\alpha\left|0\right>+\beta\left|1\right>$ . ตอนนี้วัดทะเบียนนี้ (วางผลในการลงทะเบียนคลาสสิก) และใช้คลาสสิกIF RESULT = 0 U_f ELSE U_gการดำเนินงาน ในขณะที่สิ่งนี้อาจดูมีพลังน้อยกว่าการดำเนินการข้างต้นอย่างใดอย่างหนึ่งนี่เป็นความหมายบางอย่างเทียบเท่ากับช่องควอนตัม $\mathcal E\left(\rho\right) = \lvert\alpha\rvert^2U_f\rho U_f^\dagger + \lvert\beta\rvert^2U_g\rho U_g^\dagger$ . วิธีการดังกล่าวสามารถใช้ในการสร้างหน่วยสุ่มซึ่งมีการใช้งานในตัวอย่างการสุ่มตัวอย่างโบซอนและการเปรียบเทียบแบบสุ่ม

^{1 มอบให้โดย}

(\begin{matrix} α & - β^{*} \\ β & α^{*} \end{matrix})

$\begin{pmatrix}\alpha &&-\beta^* \\ \beta && \alpha^*\end{pmatrix}$

— Mithrandir24601
แหล่งที่มา

สิ่งนี้น่าสนใจบางส่วนเนื่องจากไม่จำเป็นต้องใช้โปรแกรมที่จัดเก็บไว้ CNOT ในหมายเลข 1 จำเป็นหรือไม่

— donnydm

2

ใช่หนึ่งสามารถ เคล็ดลับคือการกำหนด (และนำไปใช้) ฟังก์ชั่นใหม่ $f_\mathrm{all}(y,x)$ ที่ประเมินถึง $f(x)$ ถ้า $y=0$ , ถึง $g(x)$ ถ้า $y=1$ ฯลฯ จากนั้นหนึ่งเตรียม qubits แทน $y$ ในการซ้อนทับและการตั้งค่าที่ต้องการ $x$ ถึง $x_0$ .

— ปิรามิด
แหล่งที่มา