ผู้ดำเนินการแพร่กระจายของโกรเวอร์ทำงานอย่างไรและทำไมจึงเหมาะสมที่สุด

ในคำตอบนี้อธิบายถึงอัลกอริทึมของ Grover คำอธิบายบ่งชี้ว่าอัลกอริทึมนั้นอาศัยตัวดำเนินการกระจาย Groverอย่างมากแต่ไม่ได้ให้รายละเอียดเกี่ยวกับการทำงานภายในของตัวดำเนินการนี้

โดยย่อ Grover Diffusion Operator สร้าง 'การผกผันเกี่ยวกับค่าเฉลี่ย' เพื่อสร้างความแตกต่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ในขั้นตอนก่อนหน้านี้ให้ใหญ่พอที่จะวัดได้

คำถามอยู่ในขณะนี้:

ตัวดำเนินการแพร่ของ Grover บรรลุเป้าหมายอย่างไร
ทำไมส่งผลให้เวลาในการค้นหาฐานข้อมูลที่ไม่มีการเรียงลำดับดีที่สุด? $O(\sqrt{n})$

algorithm grovers-algorithm

— จิ้งจกไม่ต่อเนื่อง
แหล่งที่มา

เพียงแสดงความคิดเห็นในคำถามที่สอง มีงานแสดงให้เห็นว่าการติดตามของรัฐในอัลกอริทึมของโกรเวอร์เป็นไปตามที่ระบุเนื้อที่เชื่อมต่อสถานะเริ่มต้นของอัลกอริทึมและสถานะปลายทาง ดังนั้นมันจึงดีที่สุด

— XXDD

คำตอบ:

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ เนื่องจากคำถามดั้งเดิมเกี่ยวกับคำอธิบายของคนธรรมดาฉันจึงเสนอวิธีแก้ปัญหาที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยซึ่งอาจจะง่ายกว่าที่จะเข้าใจ (ขึ้นอยู่กับพื้นหลัง) ตามเวลาต่อเนื่อง วิวัฒนาการ. (ฉันไม่มีข้ออ้างว่ามันเหมาะสำหรับคนธรรมดาอย่างไร)

เราเริ่มต้นจากสถานะเริ่มต้นซึ่งเป็นชุดซ้อนของทุกรัฐ และเราตั้งเป้าหมายที่จะหาสถานะที่สามารถจดจำได้ว่าเป็นคำตอบที่ถูกต้อง (สมมติว่ามีสถานะหนึ่งเช่นนั้นแม้ว่าจะสามารถสรุปได้ทั่วไป) ในการทำเช่นนี้เรามีวิวัฒนาการในเวลาภายใต้การกระทำของ Hamiltonian คุณลักษณะที่สวยงามอย่างแท้จริงของการค้นหา Grover's คือ ณ จุดนี้เราสามารถลด maths ให้เป็น subspace ของสถานะเพียงสองสถานะแทนที่จะต้องใช้ทั้งหมด เป็นการง่ายกว่าที่จะอธิบายถ้าเราสร้างพื้นฐาน orthonormal จากรัฐเหล่านี้โดยที่

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \sum_{y \in {0, 1}^{n}} | y ⟩

$\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{y\in\{0,1\}^n}\ket{y}$

| x ⟩

$\ket{x}$

H = | x ⟩ ⟨ x | + | ψ ⟩ ⟨ ψ | .

$H=\proj{x}+\proj{\psi}.$

{| x ⟩, | ψ ⟩}

$\{\ket{x},\ket{\psi}\}$

2^{n}

$2^n$

{| x ⟩, | ψ^{⊥} ⟩}

$\{\ket{x},\ket{\psi^\perp}\}$

| ψ^{⊥} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2^{n} - 1}} \underset{Y \in {0, 1}^{n} : Y \neq x}{Σ} | Y ⟩ .

$\ket{\psi^{\perp}}=\frac{1}{\sqrt{2^n-1}}\sum_{y\in\{0,1\}^n:y\neq x}\ket{y}.$ การใช้พื้นฐานนี้วิวัฒนาการเวลาสามารถเขียนเป็น ที่และเป็นเมทริกซ์มาตรฐานของ Pauli สิ่งนี้สามารถเขียนใหม่เป็น ดังนั้นถ้าเราวิวัฒนาการเป็นเวลา

e^{- i H t} | ψ ⟩

$e^{-iHt}\ket{\psi}$

{อี}^{- ผม เสื้อ (ผม + 2^{- n} Z + \frac{\sqrt{2^{n} - 1}}{2^{n}} X)} \cdot (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \\ \sqrt{1 - \frac{1}{2^{n}}} \end{matrix}),

$e^{-it\left(\mathbb{I}+2^{-n}Z+\frac{\sqrt{2^n-1}}{2^{n}}X\right)}\cdot\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2^n}} \\ \sqrt{1-\frac{1}{2^n}} \end{array}\right),$

X

$X$

Z

$Z$

{อี}^{- ผม เสื้อ} (ผม \cos (\frac{เสื้อ}{2^{n / 2}}) - ผม \frac{1}{2^{n / 2}} บาป (\frac{เสื้อ}{2^{n / 2}}) (Z + X \sqrt{2^{n} - 1})) (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \\ \sqrt{1 - \frac{1}{2^{n}}} \end{matrix}) .

$e^{-it}\left(\mathbb{I}\cos\left(\frac{t}{2^{n/2}}\right)-i\frac{1}{2^{n/2}}\sin\left(\frac{t}{2^{n/2}}\right)\left(Z+X\sqrt{2^n-1}\right)\right)\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2^n}} \\ \sqrt{1-\frac{1}{2^n}} \end{array}\right).$

t = \frac{π}{2} 2^{n / 2}

$t=\frac{\pi}{2}2^{n/2}$ และไม่สนใจเฟสโกลบอลสถานะสุดท้ายคือ กล่าวอีกนัยหนึ่งด้วยความน่าจะเป็น 1 เราจะได้สถานะที่เรากำลังค้นหา คำอธิบายตามวงจรตามปกติของการค้นหาของ Grover เป็นเพียงการวิวัฒนาการเวลาต่อเนื่องที่แบ่งออกเป็นขั้นตอนโดยสิ้นเชิงด้วยข้อเสียเล็กน้อยที่คุณมักจะไม่ได้รับความน่าจะเป็นที่ 1 สำหรับผลลัพธ์ของคุณใกล้กับมันมาก

\frac{1}{2^{n / 2}} (Z + X \sqrt{2^{n} - 1}) (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2^{n}}} \\ \sqrt{1 - \frac{1}{2^{n}}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2^{n}} \\ - \frac{\sqrt{2^{n} - 1}}{2^{n}} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 - \frac{1}{2^{n}} \\ \frac{\sqrt{2^{n} - 1}}{2^{n}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) .

$\frac{1}{2^{n/2}}\left(Z+X\sqrt{2^n-1}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2^n}} \\ \sqrt{1-\frac{1}{2^n}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2^n} \\ -\frac{\sqrt{2^n-1}}{2^n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 1-\frac{1}{2^n} \\ \frac{\sqrt{2^n-1}}{2^n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right).$

| x ⟩

$\ket{x}$

ข้อแม้หนึ่งข้อต่อไปนี้: คุณสามารถกำหนดใหม่และวิวัฒนาการโดยใช้และเวลาวิวัฒนาการจะสั้นลง 5 เท่า หากคุณต้องการหัวรุนแรงจริงๆให้แทนที่ 5 ด้วยและการค้นหาของ Grover จะทำงานในเวลาที่แน่นอน! แต่คุณไม่ได้รับอนุญาตให้ทำสิ่งนี้โดยพลการ การทดลองใด ๆ ที่กำหนดจะมีความแข็งแรงสูงสุดต่อการมีเพศสัมพันธ์คงที่ (เช่นตัวคูณคงที่) ดังนั้นการทดลองที่แตกต่างกันมีเวลาการทำงานที่แตกต่างกัน แต่การปรับขนาดของพวกเขาคือเดียวกัน2} มันเหมือนกับบอกว่าค่าใช้จ่ายประตูในรูปแบบวงจรเป็นค่าคงที่มากกว่าสมมติว่าถ้าเราใช้วงจรของความลึกแต่ละประตูสามารถทำเพื่อให้ทำงานในเวลาที่ k $\tilde H=5H$ $\tilde H$ $2^{n/2}$ $2^{n/2}$ $k$ $1/k$

หลักฐานในการมองโลกในแง่ดีเกี่ยวข้องกับการแสดงว่าหากคุณทำการตรวจจับสถานะที่มีเครื่องหมายหนึ่งได้เร็วขึ้นมันจะทำการตรวจจับสถานะที่ทำเครื่องหมายแตกต่างกันช้ากว่า เนื่องจากอัลกอริทึมควรทำงานได้ดีเท่าเทียมกันไม่ว่าสถานะใดจะถูกทำเครื่องหมายวิธีนี้จึงเป็นวิธีที่ดีที่สุด $\ket{x}$ $\ket{y}$

— DaftWullie
แหล่งที่มา

วิธีหนึ่งในการกำหนดโอเปอเรเตอร์การกระจายคือ¹ , โดยที่เป็นเฟสพยากรณ์ของ $D = -H^{\otimes n}U_0H^{\otimes n}$ $U_0$

U_{0} | 0^{\otimes n} ⟩ = - | 0^{\otimes n} ⟩, U_{0} | x ⟩ = | x ⟩ for | x ⟩ \neq | 0^{\otimes n} ⟩ .

$U_0\left|0^{\otimes n}\right> = -\left|0^{\otimes n}\right>,\,U_0\left|x\right> = \left|x\right>\,\text{for} \left|x\right>\neq\left|0^{\otimes n}\right>.$

นี้แสดงให้เห็นว่ายังสามารถเขียนเป็นให้ที่n} $U_0$ $U_0 = I-2\left|0^{\otimes n}\rangle\langle0^{\otimes n}\right|$

D = 2 | + ⟩ ⟨ + | - I,

$D= 2\left|+\rangle\langle+\right| - I,$

| + ⟩ = 2^{- n / 2} {(| 0 ⟩ + | 1 ⟩)}^{\otimes n}

$\left|+\right> = 2^{-n/2}\left(\left|0\right> + \left|1\right>\right)^{\otimes n}$

สิ่งนี้ให้²ว่าตัวดำเนินการการแพร่เป็นการสะท้อนเกี่ยวกับ $\left|+\right>$

ในฐานะที่เป็นส่วนอื่น ๆ ของอัลกอริทึมของโกรเวอร์เป็นยังสะท้อนเหล่านี้รวมถึงการหมุนของรัฐในปัจจุบันใกล้ชิดกับ 'การสืบค้นสำหรับ' ค่าx_0มุมนี้จะลดลงแบบเส้นตรงตามจำนวนรอบการหมุน (จนกว่าจะเกินกว่าค่าการค้นหา) ซึ่งทำให้ความน่าจะเป็นในการวัดค่าที่ถูกต้องจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าอย่างถูกต้อง $x_0$

Bennet et อัล แสดงให้เห็นว่านี่เป็นสิ่งที่ดีที่สุด ด้วยการนำโซลูชั่นแบบคลาสสิกไปสู่ปัญหา NP ทำให้อัลกอริทึมของโกรเวอร์สามารถใช้ความเร็วสองระดับนี้ อย่างไรก็ตามการใช้ภาษาสำหรับฟังก์ชันรักษาความยาว (ที่นี่, พยากรณ์), ใด ๆ ที่ จำกัด - ข้อผิดพลาด oracle ตามควอนตัมเครื่องทัวริงไม่สามารถยอมรับภาษานี้ในช่วงเวลาที่ขวา) $\mathcal L_A = \left\lbrace y:\exists x\, A\left(x\right) = y\right\rbrace$ $A$ $T\left(n\right)=\mathcal o\left(2^{n/2}\right)$

สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการใช้ชุดของ oracles ที่ไม่มีสิ่งที่ตรงกันข้าม (ดังนั้นจึงไม่มีอยู่ในภาษา) อย่างไรก็ตามสิ่งนี้มีอยู่ในภาษาใหม่ตามคำจำกัดความ ความแตกต่างของความน่าจะเป็นของเครื่องที่รับและอีกเครื่องที่รับ $\left|1\right>^{\otimes n}$ $\mathcal L_{A_y}$ $\mathcal L_A$ $\mathcal L_{A_y}$ ในเวลาน้อยกว่าดังนั้นจึงไม่ยอมรับภาษาและอัลกอริธึมของ Grover นั้นแน่นอน asymptotically ที่ดีที่สุด ³ $T\left(n\right)$ $1/3$

Zalkaต่อมาแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมของโกรเวอร์เป็นตรงที่ดีที่สุด

^{1 ในอัลกอริธึมของโกรเวอร์เครื่องหมายลบสามารถเคลื่อนย้ายได้รอบดังนั้นเครื่องหมายลบคือโดยพลการและไม่จำเป็นต้องอยู่ในคำจำกัดความของโอเปอเรเตอร์การกระจาย}

^{2 อีกทางหนึ่งการกำหนดโอเปอเรเตอร์การกระจายโดยไม่มีเครื่องหมายลบจะให้ภาพสะท้อนเกี่ยวกับ $\left|+^\perp\right>$}

^{3 การกำหนดเครื่องโดยใช้ oracleเป็นและเครื่องที่ใช้ oracleเป็นนี่เป็นเพราะความจริงที่ว่ามีชุดของบิตสตริงที่สถานะของและในเวลามี -close ⁴กับ cardinality 2 oracle ที่ตัดสินใจได้อย่างถูกต้องหากอยู่ในสามารถแมปกับเพื่อตัดสินใจอย่างถูกต้อง ถ้า $A$ $M^A$ $A_y$ $M^{A_y}$ $S$ $M^A$ $M^{A_y}$ $t$ $\epsilon$ $<2T^2/\epsilon^2$ $M^A$ $\left|1\right>^{\otimes n}$ $\mathcal L_A$ $2^n - \text{Card}\left(S\right)$ oracle ที่ล้มเหลว $M^A$ $\left|1\right>^{\otimes n}$ เป็นภาษาของ oracle อย่างไรก็ตามมันจะต้องให้คำตอบที่เป็นไปได้อย่างใดอย่างหนึ่งดังนั้นถ้าเครื่องจะไม่สามารถ กำหนดสมาชิกภาพของ $2^n-1$ $T\left(n\right)=\mathcal o\left(2^{n/2}\right)$ $\mathcal L_A$ L_A}

^{4 ใช้ระยะทางแบบยุคลิดสองเท่าของระยะการติดตาม}

— Mithrandir24601
แหล่งที่มา